层次分析法-、效益分配、幻方Word下载.doc

1、准则层C措施层P改善职工的工作与生活环境C3给职工发奖金P1扩建职工的福利设施P2提高职工的技术水平P3技术水平扩大生产规模P4图6.8.1图中的连线反映了各因素的关联关系。描绘层次结构图是一项细致的分析工作,要有一定经验.根据层次结构图确定每一层的各因素的相对重要性的权数,直至计算出措施层各方案的相对权数.利用这些权重，可计算资金的分配比例.2.构造判断矩阵要比较n个因子对某因素F的影响大小, 通常采取对因子进行两两比较的办法,建立成对比较矩阵。设aij表示因子Bi和Bj对因素F的影响大小之比,再设矩阵，称A为判断矩阵或成对比较矩阵。显然，矩阵 A具有性质：（1）; （2）.（i,j=1,2

2、,n）. （6.8.1）满足这两个性质的矩阵称为正互反矩阵。根据心理学的研究结果,若分级太多，则会超越人们的判断能力,因此通常用数字19及其倒数作为矩阵 A的标度。如表6.8.1所示。表6.8.1标度aij含 义135792,4,6,8倒数因子Bi和Bj同等重要因子Bi比Bj略重要因子Bi比Bj较重要因子Bi比Bj非常重要因子Bi比Bj绝对重要以上两判断的中间状态因子Bj与Bi比较时，标度为在例6.8.1中，为了确定各准则在目标中所占的权重，我们构造O-C层的判断矩阵.例如，决策者认为准则C1与准则C3比较，在目标中所占的权重应为2:1; 准则C2与准则C3比较，在目标中所占的权重应为5: 准

3、则C2与准则C1比较，在目标中所占的权重应为2:1.则有下面的判断矩阵.OC1C2C31/221/5类似地，可构造C-P层的判断矩阵. 确定措施层中P1,P2,P3在C1中的权重P1P2P341/4再确定措施层中P3,P4在C2中的权重P4然后确定措施层中P1,P2,P3在C3中的权重1/33. 判断矩阵的一致性检验我们知道，若有三个物体甲、乙、丙，甲的重量是乙的2倍，而乙的重量又是丙的3倍，则甲的重量必是丙的23=6倍. 根据这个原理,判断矩阵还应满足: （6.8.2）满足（6.8.2）的判断矩阵称为一致矩阵. 但在构造判断矩阵时,要做次成对比较, 当n较大时,要做到完全一致是十分困难的.另

4、外,在成对比较时,我们采用了19的标度,就意味着接受一定程度的误差.因此,不应要求判断矩阵具有严格的一致性,而是允许判断矩阵在一定程度上非一致. 于是,就要考虑如何检验判断矩阵是否严重地非一致, 以便确定是否可以接受它.设为判断矩阵A的最大特征值, 可以证明,当A是一致矩阵时, ,否则, . 比n大得越多, 判断矩阵A的非一致程度越严重,于是利用如下平均值, （6.8.3）作为判断一致性指标.当且仅当判断矩阵A为一致矩阵时,CI=0. CI的值越大,A的非一致性越严重。由代数知识可知, 判断矩阵A的n个特征根之和等于其对角线元素之和n. 若以S表示A的除外的其余n-1个特征根的和，则.因此可见

5、，CI其实是A的除外其余n-1个特征根的平均值的绝对值。当CI稍大于0时,A具有较为满意的一致性，否则,A的一致性就较差。虽然CI值能反映出判断矩阵A的非一致性的严重程度,但未能指明该非一致性是否可以接受。因此,我们还需要引入一个度量的标准。即所谓随机一致性指标RI。它是用从19及其倒数中随机抽取的数字构造的n阶正互反矩阵,算出相应的CI，取充分大的样本，计算得的样本均值。表6.8.2列出了部分结果。表6.8.2n681011RI0.580.901.121.241.321.411.451.491.51当n3时，把CI与RI之比定义为一致性比率CR， （6.8.4）由于1,2阶正互反矩阵总是一致

6、矩阵，故RI=0,此时,我们定义CR=0。当CR0.10时，可以接受判断矩阵A，否则，要对判断矩阵A做修正。对于例6.8.1, 利用公式（6.8.3）和（6.8.4）,一致性检验数据如表6.8.3示。表6.8.3 判断矩阵CICRA03.005540.002770.00478A1A2A33.003690.001850.00318可见，4个判断矩阵的一致性比率均有CR0.10.即均可通过一致性检验。4. 权向量我们设想把一块单位重的大石头O砸成n小块,若称得每小块的重量分别是，并把这些小石块两两比较重量，设，则成对比较矩阵为显然矩阵A是一致矩阵，再记, 则该向量反映了n块小石块的相对于小石块的权

7、重。同时，它显然满足 （1）,即w是归一化向量；（2） Aw=nw. 即w是矩阵A的特征值n的特征向量. 一般地，判断矩阵A的关于最大特征值的归一化特征向量w反映了各因子对某因素的影响权重，称为权向量。在例6.8.1中，各判断矩阵的最大特征值的归一化特征向量如表6.8.4所示。表6.8.4 权向量w（0.276, 0.596,0.128）T（0.466, 0.433,0.101）T（0.50, 0.50）T（0.582, 0.309,0.109）T可见，在准则层中，准则C2对目标的权重最大，达0.596, 准则C1次之，占0.276, 权重最小的是C3, 仅占0.128.其余类推。5. 组合权

8、向量设上一层（A层）含m个因素，它们对目标O的权向量为。再设其下一层（B层）含n个因子，它们关于因素Ai的权向量分别为，i=1,2,m. （注：当Bj与Ai无联系时，bij=0）。则B层对于目标O的权向量为。计算方法见表6.8.5.表6.8.5B层A层B1B2BnA1 a1A2 a2Am amb11b21bm1b12b22bm2b1nb2nbmnB层对于目标的权重对于例6.8.1，利用表6.8.4的数据，可以求出P层对目标的权向量。如表6.8.6所示。表6.8.6P层C层C1 0.276C2 0.596C3 0.1280.4660.5820.4330.3090.1010.5000.109P层对

9、于0.2030.1590.3400.298 从表6.8.6可见，根据P层对于目标的权重，工厂决策者应该把留成利润的20.3%用于给职工发奖金；15.9%用于扩建职工的福利设施；34.0%用于提高职工的技术水平; 29.8%用于扩大生产规模.6. 总体一致性检验在应用AHP法解决重大决策问题时，除了要对每个判断矩阵作一致性检验外，还需作组合一致性检验和总体一致性检验。组合一致性检验是逐层进行的。设第k-1层有t个因素，共s层,第k层的各判断矩阵一致性指标分别为，随机一致性指标分别为第k-1层对目标O的权向量为w（k-1）. 则第k层组合一致性比率定义为， k=3,4,s （6.8.5）CR（1）

10、=0, CR（2）为准则层判断矩阵的一致性比率.第k层通过组合一致性检验的条件一般为CR（k）0.1.总体一致性比率定义为， （6.8.6）对于重大的决策问题，应控制CR*适当地小，才能认为总体上通过一致性检验。对于例6.8.1, , , 可见，总体一致性很好。7. 判断矩阵A的最大特征值与特征向量的计算应用AHP法解决问题时，自然要计算判断矩阵A的最大特征值与特征向量。若利用数学软件Mathematica,则只需调用函数EigensystemA,即可返回矩阵A的特征值与特征向量。例如欲求矩阵的最大特征值与特征向量，先在软件Mathematica中定义再调用函数EigensystemA0/N,

11、 则返回可见，A0的最大特征值是3.00554,对应的特征向量的（2.15443,4.64159,1）T.再作归一化处理便得 （0.276, 0.596,0.128）T.若身边缺乏计算机或无相关软件，则可以用下面的简便近似算法直接求判断矩阵的权向量。步骤如下：（1）把判断矩阵A每列归一化，即令（2）把各行元素求和，得向量，其分量，i =1,2,n（3）将向量归一化得向量w, 其分量,这就近似求得A的权向量。例如，求例6.8.1中A0的权向量：最后结果就是A0的权向量的近似值，与（0.276, 0.596,0.128）T比较，可见效果不错。效益的合理分配一.引例 设有甲、乙、丙三人经商，若各人单干，则每人仅能获利1元；若甲乙合作,可获利7元,甲丙合作可获利5元，乙丙合作可获利4元，三人合作可获利10元。问三人合作时应如何合理分配10元的利益。由题可见，有甲参加的合作，获利最