层次分析法-、效益分配、幻方Word下载.doc

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准则层C

措施层P

改善职工的工作与生活环境C3

给职工发奖金P1

扩建职工的福利设施P2

提高职工的技术水平P3

技术水平

扩大生产规模P4

图6.8.1

图中的连线反映了各因素的关联关系。

描绘层次结构图是一项细致的分析工作,要有一定经验.根据层次结构图确定每一层的各因素的相对重要性的权数,直至计算出措施层各方案的相对权数.利用这些权重，可计算资金的分配比例.

2.构造判断矩阵

要比较n个因子对某因素F的影响大小,通常采取对因子进行两两比较的办法,建立成对比较矩阵。

设aij表示因子Bi和Bj对因素F的影响大小之比,再设矩阵，称A为判断矩阵或成对比较矩阵。

显然，矩阵A具有性质：

（1）;

（2）.（i,j=1,2,…,n）.（6.8.1）

满足这两个性质的矩阵称为正互反矩阵。

根据心理学的研究结果,若分级太多，则会超越人们的判断能力,因此通常用数字1~9及其倒数作为矩阵A的标度。

如表6.8.1所示。

表6.8.1

标度aij

含义

1

3

5

7

9

2,4,6,8

倒数

因子Bi和Bj同等重要

因子Bi比Bj略重要

因子Bi比Bj较重要

因子Bi比Bj非常重要

因子Bi比Bj绝对重要

以上两判断的中间状态

因子Bj与Bi比较时，标度为

在例6.8.1中，为了确定各准则在目标中所占的权重，我们构造O-C层的判断矩阵.例如，决策者认为准则C1与准则C3比较，在目标中所占的权重应为2:

1;

准则C2与准则C3比较，在目标中所占的权重应为5:

准则C2与准则C1比较，在目标中所占的权重应为2:

1.则有下面的判断矩阵.

O

C1

C2

C3

1/2

2

1/5

类似地，可构造C-P层的判断矩阵.确定措施层中P1,P2,P3在C1中的权重

P1

P2

P3

4

1/4

再确定措施层中P3,P4在C2中的权重

P4

然后确定措施层中P1,P2,P3在C3中的权重

1/3

3.判断矩阵的一致性检验

我们知道，若有三个物体甲、乙、丙，甲的重量是乙的2倍，而乙的重量又是丙的3倍，则甲的重量必是丙的2×

3=6倍.根据这个原理,判断矩阵还应满足:

（6.8.2）

满足（6.8.2）的判断矩阵称为一致矩阵.但在构造判断矩阵时,要做次成对比较,当n较大时,要做到完全一致是十分困难的.另外,在成对比较时,我们采用了1~9的标度,就意味着接受一定程度的误差.因此,不应要求判断矩阵具有严格的一致性,而是允许判断矩阵在一定程度上非一致.于是,就要考虑如何检验判断矩阵是否严重地非一致,以便确定是否可以接受它.

设为判断矩阵A的最大特征值,可以证明,当A是一致矩阵时,,否则,.比n大得越多,判断矩阵A的非一致程度越严重,于是利用如下平均值

（6.8.3）

作为判断一致性指标.

当且仅当判断矩阵A为一致矩阵时,CI=0.CI的值越大,A的非一致性越严重。

由代数知识可知,判断矩阵A的n个特征根之和等于其对角线元素之和n.若以S表示A的除外的其余n-1个特征根的和，则.因此

可见，CI其实是A的除外其余n-1个特征根的平均值的绝对值。

当CI稍大于0时,A具有较为满意的一致性，否则,A的一致性就较差。

虽然CI值能反映出判断矩阵A的非一致性的严重程度,但未能指明该非一致性是否可以接受。

因此,我们还需要引入一个度量的标准。

即所谓随机一致性指标RI。

它是用从1~9及其倒数中随机抽取的数字构造的n阶正互反矩阵,算出相应的CI，取充分大的样本，计算得的样本均值。

表6.8.2列出了部分结果。

表6.8.2

n

6

8

10

11

RI

0.58

0.90

1.12

1.24

1.32

1.41

1.45

1.49

1.51

当n≥3时，把CI与RI之比定义为一致性比率CR

，（6.8.4）

由于1,2阶正互反矩阵总是一致矩阵，故RI=0,此时,我们定义CR=0。

当CR<

0.10时，可以接受判断矩阵A，否则，要对判断矩阵A做修正。

对于例6.8.1,利用公式（6.8.3）和（6.8.4）,一致性检验数据如表6.8.3示。

表6.8.3

判断矩阵

CI

CR

A0

3.00554

0.00277

0.00478

A1

A2

A3

3.00369

0.00185

0.00318

可见，4个判断矩阵的一致性比率均有CR<

0.10.即均可通过一致性检验。

4.权向量

我们设想把一块单位重的大石头O砸成n小块,若称得每小块的重量分别是，并把这些小石块两两比较重量，设，则成对比较矩阵为

显然矩阵A是一致矩阵，再记,则该向量反映了n块小石块的相对于小石块的权重。

同时，它显然满足

（1）,即w是归一化向量；

（2）Aw=nw.即w是矩阵A的特征值n的特征向量.

一般地，判断矩阵A的关于最大特征值的归一化特征向量w反映了各因子对某因素的影响权重，称为权向量。

在例6.8.1中，各判断矩阵的最大特征值的归一化特征向量如表6.8.4所示。

表6.8.4

权向量w

（0.276,0.596,0.128）T

（0.466,0.433,0.101）T

（0.50,0.50）T

（0.582,0.309,0.109）T

可见，在准则层中，准则C2对目标的权重最大，达0.596,准则C1次之，占0.276,权重最小的是C3,仅占0.128.其余类推。

5.组合权向量

设上一层（A层）含m个因素，它们对目标O的权向量为。

再设其下一层（B层）含n个因子，它们关于因素Ai的权向量分别为，i=1,2,…,m.（注：

当Bj与Ai无联系时，bij=0）。

则B层对于目标O的权向量为。

计算方法见表6.8.5.

表6.8.5

B层

A层

B1

B2

…

Bn

A1a1

A2a2

Amam

b11

b21

bm1

b12

b22

bm2

b1n

b2n

bmn

B层对于

目标的权重

对于例6.8.1，利用表6.8.4的数据，可以求出P层对目标的权向量。

如表6.8.6所示。

表6.8.6

P层

C层

C10.276

C20.596

C30.128

0.466

0.582

0.433

0.309

0.101

0.500

0.109

P层对于

0.203

0.159

0.340

0.298

从表6.8.6可见，根据P层对于目标的权重，工厂决策者应该把留成利润的20.3%用于给职工发奖金；

15.9%用于扩建职工的福利设施；

34.0%用于提高职工的技术水平;

29.8%用于扩大生产规模.

6.总体一致性检验

在应用AHP法解决重大决策问题时，除了要对每个判断矩阵作一致性检验外，还需作组合一致性检验和总体一致性检验。

组合一致性检验是逐层进行的。

设第k-1层有t个因素，共s层,第k层的各判断矩阵一致性指标分别为，随机一致性指标分别为

第k-1层对目标O的权向量为w（k-1）.则第k层组合一致性比率定义为

，k=3,4,…,s（6.8.5）

CR

（1）=0,CR

（2）为准则层判断矩阵的一致性比率.第k层通过组合一致性检验的条件一般为CR（k）<

0.1.

总体一致性比率定义为

，（6.8.6）

对于重大的决策问题，应控制CR*适当地小，才能认为总体上通过一致性检验。

对于例6.8.1,,

可见，总体一致性很好。

7.判断矩阵A的最大特征值与特征向量的计算

应用AHP法解决问题时，自然要计算判断矩阵A的最大特征值与特征向量。

若利用数学软件Mathematica,则只需调用函数Eigensystem[A],即可返回矩阵A的特征值与特征向量。

例如欲求矩阵

的最大特征值与特征向量，先在软件Mathematica中定义

再调用函数Eigensystem[A0]//N,则返回

可见，A0的最大特征值是3.00554,对应的特征向量的（2.15443,4.64159,1）T.再作归一化处理便得（0.276,0.596,0.128）T.

若身边缺乏计算机或无相关软件，则可以用下面的简便近似算法直接求判断矩阵的权向量。

步骤如下：

（1）把判断矩阵A每列归一化，即令

（2）把各行元素求和，得向量，其分量，i=1,2,…,n

（3）将向量归一化得向量w,其分量,这就近似求得A的权向量。

例如，求例6.8.1中A0的权向量：

最后结果就是A0的权向量的近似值，与（0.276,0.596,0.128）T比较，可见效果不错。

效益的合理分配

一.引例

设有甲、乙、丙三人经商，若各人单干，则每人仅能获利1元；

若甲乙合作,可获利7元,甲丙合作可获利5元，乙丙合作可获利4元，三人合作可获利10元。

问三人合作时应如何合理分配10元的利益。

由题可见，有甲参加的合作，获利最