函数的极值教案Word文档下载推荐.doc

1、图 1 函数值（）xf1与函数（）xf在点x1附近的函数值进行比较，会有什么结论呢？那么，在x2、x3、x4与x5点处的情况如何呢？主要内容与主要内容与时 间 分 配时 间 分 配（大约）（大约）极值的概念 10 分钟 极值的必要条件 15 分钟 第一充分条件 15 分钟 第二充分条件 15 分钟 极值求法应用举例 20 分钟 小结、巩固练习 15 分钟 参考书目参考书目 x b o a X1 X2 X3 X4 X5 y 二、探究新课二、探究新课 （一）、（一）、函数极值的定义函数极值的定义 定义定义 1 1 设函数（）xf在点x0的某一邻域（）xU0内有定义，如果对于去心邻域0U（）x0内的

2、任一x，都有（）（）xfxf0（或（）（）xfxf0）则称函数值（）xf0是函数（）xf的一个极大值（或极小值）函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点 对极值定义的理解对极值定义的理解：1、函数的极大值、极小值概念是局部性的概念 2、函数的极大值不一定比极小值大 3、函数的极值点一定出现在区间内部 （二二）、函数）、函数存在存在极值的极值的必要条件必要条件 观察图 1，极值点处的切线有什么特点？结合导数的几何意义，我们能否得到什么样的结论？定理定理 1极值的必要条件设函数（）xf在x0处可导，且在x0处取得极值，则一定有（）00=xf 分析：分析：我们知道函数的极值

3、就是局部的最值，而证明极值点处的导数为零只要在极值点的某一邻域内考虑即可，那么就是证明这一邻域内的最值处导数为零，而这实际上就是费马（Fermat）引理的内容 证明：证明：设（）xf0为极大值（）xf0为极小值时可类似证明）根据极值的定义，对于0Ux（）x0，恒有（）（）xfxf0，于是 当xx0，（）（）000 xxxfxf，故（）（）（）00lim000=xxxxfxfxfx 当xx0，（）（）000 xxxfxf，故（）（）（）00lim000=+xxxxfxfxfx 1、高等数学辽宁省师范院校初等教育专业教材 2、高等数学同济大学第五版 从而，（）00=xf（三）、函数存在极（三）、函

4、数存在极值的充分条件值的充分条件 定义定义 2 2 使导数（）0=xf的点称为函数的驻点（稳定点）定理 1 表明：可导函数的极值点必定是驻点。讨论讨论：1、函数的驻点一定是极值点吗？2、函数的导数不存在的点可能是极值点吗？3、观察图 1，极大值点与极小值点左右两侧的函数的导数符号如何变化？注意注意：驻点不一定是极值点，例如函数（）xxf3=的驻点0=x就不是极值点定理 1 表明，对可导函数而言求极值点应先找出驻点，然后对驻点进行判断，哪些是极值点哪些不是极值点根据极值的定义及函数单调性的判定法不难知道：如果在驻点两侧函数导数的符号相反，则驻点必然是使函数单调性改变的点，从而一定是函数的极值点由

5、此我们得到下面的定理 定理定理 2（极值的第一充分条件）设函数（）xf在点x0处连续，且在点x0的某一邻域（）xU0（点x0可除外）内具有导数，对于0Ux（）x0，（1）若当xx0时，（）0 xf，当xx0，（）0 xf，则（）xf0是函数（）xf的极大值；（2）若当xx0时，（）0 xf，当xx0，（）0 xf，则（）xf0是函数（）xf的极小值；（3）若在x0两侧，（）xf 的符号相同，则（）xf0不是（）xf的极值 分析：显然（1）与（2）的证明是类似的由于证明极值是比较x0处的函数值与其邻域内的其它点处的函数值，而拉格朗日（Lagrange）中值定理就是讨论函数值之差与自变量之差之间的

6、关系的，因此应用拉格朗日（Lagrange）中值定理可证明 证证 明：明：仅证，设x为0U（）x0内任意一点，根据拉格朗日（Lagrange）中值定理得（）（）（）（）（）之间与在xxxxxffxf000=由（1）的条件可知：当xx0时，（）0 xf，所 以（）（）00 xxf，所 以（）（）xfxf0；当xx0，（）0 xf，所以（）（）00 xxf，所以（）（）xfxf0 对于0U（）x0内任意一点x，都有（）（）xfxf0根据极值的定义知（）xf0是函数（）xf的极大值（2）、（3）的证明是类似的，建议学生给出 定理 2 表明：如果在点x0两侧的导数符号相反，x0就一定是极值点，如果在点

7、x0两侧的导数符号相同，则x0就一定不是极值点 问题：问题：根据定理 2 能否寻求到求函数极值的方法？求极值的步骤：（1）求出导数（）xf；（2）求出（）xf的全部驻点和不可导点；（3）根据定理 2 确定这些点是不是极值点，如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；（4）求出各极值点处的函数值,就得到函数（）xf的全部极值 应用举例：应用举例：例 1 求函数（）59323+=xxfxx的极值 解该函数的定义域为（）+,（）（）（）3139632+=xxxxfx 令（）0=xf，得驻点11=x，32=x驻点将定义域分成三部分，现列表讨论如下：x（）1,-1（）3,1 3（）+,3（）xf

8、+0-0+（）xf 极大值 极小值 由表可知，函数（）xf在1=x处取得极大值，极大值为（）101=f；在3=x处取得极小值，极小值为（）223=f 上述有关极值的充分条件和必要条件都是对可导函数而言的，在此条件下，极值点一定是驻点，因此只要求出函数的驻点，再由定理 2 考察各个驻点是否为极值点就行了但是如果函数有不可导点，就不能肯定极值点一定是驻点了，因为在导数不存在的点处，函数也可能取得极值。请看下例：例例 2 求函数（）（）2321=xxf的极值 解该函数的定义域为（）+,当2x时，（）32132=xxf；当2=x时，（）xf 不存在 当2x时，（）0 xf；当2x时，（）0 xf，又（

9、）xf在2=x处连续，所以2=x是函数（）xf的极大值点，极大值为（）12=f 注意：注意：以上是利用函数的一阶导数来讨论函数的极值，当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下面的定理用二阶导数来判断函数在驻点处是取得极大值还是极小值 定理定理 3极值的第二充分条件设函数（）xf在点x0处具有二阶导数，且（）00=xf，（）00 xf，则（1）当（）00 xf时，函数（）xf在点x0处取得极大值；（2）当（）00 xf时，函数（）xf在点x0处取得极小值 证明只证情形，情形的证明是类似的 由导数的定义及（）00=xf和（）00 xf，得（）（）（）（）0limlim000000=xx

10、xxxxfxxfxfxfxx 根据函数极限的局部保号性定理，对于0Ux（）x0，有（）00 xxxf 因此，当xx0时，（）0 xf；当xx0，（）0 xf 根据定理 2，函数（）xf在点x0处取得极大值 定理 3 表明，如果函数（）xf在其驻点x0处的二阶导数（）00 xf，则驻点x0一定是函数（）xf的极值点 注意注意：如果（）00=xf，就不能用定理 3 来判断x0是否为极值点事实上，当（）00=xf，（）00=xf，（）xf在x0处可能有极大值，也可能有极小值，也可能没有极值 例如（）xxf4=，（）xxg4=，（）xxh3=，这三个函数就分别属于这三种情况。所以，当函数在驻点处的二阶

11、导数为零时，只能用定理 2 来判断，即：由驻点左右两侧一阶导数的符号来判断 应用举例：例例 3 求函数（）（）1213+=xxf的极值 解：（）（）1622=xxxf 令（）0=xf，得11=x，02=x，13=x（）（）（）151622=xxxf 因（）060=f，所以（）xf在0=x处取得极小值，极小值为（）00=f 又（）（）011=ff，此时定理 3 失效，仍用定理 2 来判断 当1x时，（）0 xf；当01x时，（）0 xf，所以（）xf在1=x处没有极值同理，（）xf在1=x处没有极值 三、巩固练习三、巩固练习 P167 习题 62 1、求下列函数的极值 （1）xxy2332=（2）xxy+=1 2、a为何值时，函数（）xxaxf3sin31sin+=在3=x取得极值，它是极大值还是极小值，求此极值 四、课堂小结四、课堂小结 1、函数极值的概念 2、函数存在极值的必要条件 3、函数存在极值的充分条件 4、求函数极值的方法 五、思考题五、思考题 1、证明：定理 2（第一充分条件）的（2）、（3）结论 2、求函数exxy=的极值 3、试证明：如果函数dcxbayxx+=23满足条件032 acb，那么函数没有极值