中职数学平面向量教案Word文件下载.doc

1、AB1C1了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量的模（即大小）有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标出起终点（见图7-2（2），此时可以以,等表示向量，而向量的模，也就对应地表示为|,|,|由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量 例1 设矩形ABCD的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的模是多少？课内练习1 1. 一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向量；若正六边形的边长为1，求全部向量

2、的模，并判断哪些向量是单位向量？ 2. 向量的比较 （1）向量相等 任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等（a=b）或不相等（ab）两种，只要根据两个数的大小就可以下结论因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b；否则a, b就不相等（ab）在例1中的相等向量有且仅有 =, =, =, =， 更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也

3、不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的即使两个向量a,b有相同的方向，且|a|b|，我们仍然只能说向量a的模大于向量b的模，而不能说向量a大于向量b 若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量 例2 物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4 （1）试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量； （2）在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是？为什么？ （

4、2）相反向量 对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即=-例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量： =-, =-, =-, =-, =-, =- 例3 对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A试以a,b表示第三、四次位移 （3）平行向量若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b

5、或向量b平行于向量a规定零向量平行于任意向量. 根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上（即a的始终点都在l上），则只要平移a的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量 例4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系课内练习2 1. 课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？第3题图WF1F 2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？ 3. 以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况（如附图），物体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论

6、矛盾吗？试作出合理的解释 （1）向量的加法运算向量加法运算的法则 向量a加向量b的结果a+b是按照下列法则生成的一个向量c：把b的始点移到a的终点后、从a的始点连到b的终点记作 c=a+b图9-9（1）图9-9（2）与数量相加一样，把a叫做被加向量，b叫做加向量，c叫做和向量 在a,b不平行的情况下，c是重合a,b的始点、以a,b为邻边组成的平行四边形的对角线向量，其指向与a,b同侧（平行四边形法则，见图9-9（1）；也是是以a的终点作为b的始点所组成的三角形的第三边向量（三角形法则，见图9-9（2）对于三角形法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连 例4 用两种方法作出图9-10（1）中向量a,b

7、的和向量c图9-10（3）图9-10（2）图9-10（1） 解 （1）按平行四边形法则，把的始点移到同一点构成一个以为相邻边的平行四边形，对角线向量即为和向量c（见图9-10（2） （2）移b的始点到a的终点，从a的始点连向b的终点的向量即为和向量c（见图9-10（3） 例5 （1）若b=-a，求c=a+b； （2）若a,b平行，求c=a+b图9-12df 例6 已知向量a,b, c, d如图9-12，求f=a+b+c+d 解 逐次应用向量加法的法则移加向量的始点到被加向量的终点，从被加向量的始点连向加向量的终点，得到和向量f如图9-12所示，其中虚线表示的向量，从左向右依次是a+b, a+b

8、+c课内练习3 1. 请举一个向量相加的实际问题 2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？第4题图 3. a+（-a）=0，因此|a|+|-a|=0，这个结论正确吗？一般地，c=a+b，因此|c|=|a|+|b|，这个结论正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？ 4. 矩形ABCD如图，试求 +,+,+,+得到的和向量之间有哪些关系？ 5. 矩形ABCD如第4题，求 （+）+,+（+）,+,+ 数量加法运算满足交换律（a+b=b+a）、结合律（a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c），向量的加法运算同样满足交换律和结合律 a+b=b+a， a+b+c=（

9、a+b）+c=a+（b+c）， （2）向量的减法运算图9-13（2）-b 如同数量a,b相减a-b，是被加数a与加数b的相反数-b相加一样，所谓向量a,b相减a-b，实际上是向量a与向量b的相反向量-b相加，即a+（-b）应用向量加法法则，可以得出向量减法运算的法则图9-图9-13（3）图9-13（1）13（1）中是已知向量a,b；显示了a+（-b）；图9-13（2）显示了a-b的直接运算法则，法则的文字表述是：a-b的结果是一个向量c，把a,b的始点移到同一点，从b的终点连向a的终点的向量就是c（三角形法则） 对于三角形法则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减记作 c=a-ba叫做被减向量

10、，b叫做减向量，c叫做差向量 例7 在DABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量为了使是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？ 例8 在DABC中，若边向量为,，求 （1）a=+；（2）求b=-课内练习4 1. 在DABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量为了使是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？ 2. 在矩形ABCD中的边向量为,，求 （1）a=-；（2）b=-；（3）c=-；（4）d=- 因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手

11、可得了，例如 a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-（b+c） （3）向量的数乘运算 在数量运算中，若a=2，b是a的两倍，则b=2a在例8向量运算中，我们两次都遇到a=+,b=+这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a=2,b=2呢？这完全取决与如何规定2,2的含义，若规定它们的含义确实与+,+相同，那么这种简写就完全合法且合理了为此我们作如下的定义： 一个实数a乘以向量a的结果是一个平行于a的向量b，b的模是a的模|a|倍，即 |b|=|a|a|；b的方向当a0时与a的方向相同，当a0时与a的方向相反记作 b=aa 或 b=aa，把向量的这种运算叫做向量的数乘运算 根据向量数

12、乘运算的这种规定，立即可知 -a=-1a，a+a=2a，-a-a=-2a 把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配律： （a+b）a=aa+ba，a （a+b）=aa+ab，其中a,b是任意实数，a,b是任意向量 根据向量的数乘运算,我们有：如果有一个实数a，使b=aa（a0），则a与b是平行向量；反之，如果a与b是平行向量，则有且只有一个实数a，使b=aa（a0） 例8 设c=-2a, d=-3a, f=-2b, g=a -2b，求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c 解 h=2a+3f-3d+4g+2b-2c =2a+3（-2b）-3（-3a）+4（a -2b）+2b-2（-2a） =2a-6b+9a+4a -8b+2b+4a=（2+9+4+4）a-（6+8-2）b=19a-12b 例9 DABC的AC边长为a，现把AB,BC边各延长原来的0.8倍成为DA1BC1，求边A1C1的长（见图9-15）课内练习5 1. 已知向量a，作出向量-2a, 3a 2. 已知向量a的模为s，求向量b=0.1a, c=-3a, d=2.5a的模 3. 设c=-a, d=-3b, f=2b, g=-2a -b，求h=2a-