中职数学平面向量教案Word文件下载.doc
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A
B1
C1
了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量
的模（即大小）．有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标
出起终点（见图7-2
（2）），此时可以以,,等表
示向量，而向量的模，也就对应地表示为||,||,||．
由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的．为了突出这一点，有时又把向量记作自由向量．
例1设矩形ABCD的边长为2和3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？
这些向量的模是多少？
课内练习1
1.一个正六边形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？
试写出全部所构成的向量；
若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？
2.向量的比较
（1）向量相等
任意两个数量a,b都可以比较，其关系不外乎相等（a=b）或不相等（a¹
b）两种，只要根据两个数的大小就可以下结论．因为向量不但有大小，而且有方向，所以比较两个向量a,b的相等与否，不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向．当且仅当a,b的大小相等、方向相同时，才能说a,b相等，并表示成a=b；
否则a,b就不相等（a¹
b）．在例1中的相等向量有且仅有
=,=,=,=，
更仔细地说，不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系，那么向量之间是否也能有大于、小于关系呢？
因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不能比较大小，即两个向量不能谈及孰大孰小．当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较大小的．即使两个向量a,b有相同的方向，且|a|>
|b|，我们仍然只能说向量a的模大于向量b的模，而不能说向量a大于向量b．
若a=b，则把表示a,b的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；
反之把两条箭头短线段的始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量或同一向量．
例2物体从点A出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；
然后继续沿铅直方向向下位移到C，位移量为4．
（1）试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量；
（2）在A的铅直下方4处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是？
为什么？
（2）相反向量
对数量，若两个数a,b的绝对值相等但符号相反，则把a,b叫做一对相反数．对向量，若两个向量a,b的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b或-a=b．对调一个向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即=-．例如在例1所有的向量中，共有如下六对相反向量：
=-,=-,=-,=-,=-,,=-．
例3对例2的问题，若记第一次位移向量为a，第二次位移向量为b，现继续作第三、四次位移，第三次位移是从C出发向左移动3到D，第四此则从D返回A．试以a,b表示第三、四次位移．
（3）平行向量
若两个向量a,b的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a平行于向量b或向量b平行于向量a．
规定零向量平行于任意向量.
根据平行向量的方向特征，若向量a位于直线l上（即a的始终点都在l上），则只要平移a的平行向量b，b也必定能位于直线l上，因此又把平行向量叫做共线向量．
例4找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系．
课内练习2
1.课内练习1的所有向量中，有哪些是相等向量？
哪些是相反向量？
第3题图
W
F1
F
·
2.作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？
这些向量之间存在哪些关系？
3.以F,F1都表,示方向向上、大小为10N的力，考察把F作用在
物体W的左上角和F1作用在物体W的右上角两种情况（如附图），物
体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？
试作出合理
的解释．
（1）向量的加法运算
向量加法运算的法则．
向量a加向量b的结果a+b是按照下列法则生成的一个向量c：
把b的始点移到a的终点后、从a的始点连到b的终点．记作
c=a+b．
图9-9
（1）
图9-9
（2）
与数量相加一样，把a叫做被加向量，b叫做加向量，c叫做和向量．
在a,b不平行的情况下，c是重合a,b的始
点、以a,b为邻边组成的平行四边形的对角线向量，
其指向与a,b同侧（平行四边形法则，见图9-9
（1））；
也是是以a的终点作为b的始点所组成的三角形的
第三边向量（三角形法则，见图9-9
（2））．对于三角形
法则我们可以归纳为：
首尾相连首尾连．
例4用两种方法作出图9-10
（1）中向量a,b
的和向量c．
图9-10（3）
图9-10
（2）
图9-10
（1）
解
（1）按平行四边形法则，把的始
点移到同一点构成一个以为相邻边的平
行四边形，对角线向量即为和向量c．
（见图9-10
（2））
（2）移b的始点到a的终点，从a的
始点连向b的终点的向量即为和向量c（见图9-10（3））．
例5
（1）若b=-a，求c=a+b；
（2）若a,b平行，求c=a+b．
图9-12
d
f
例6已知向量a,b,c,d如图9-
12，求f=a+b+c+d．
解逐次应用向量加法的法则——
移加向量的始点到被加向量的终点，从
被加向量的始点连向加向量的终点，得
到和向量f如图9-12所示，其中虚线表
示的向量，从左向右依次是a+b,a+b+c．
课内练习3
1.请举一个向量相加的实际问题．
2.向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？
第4题图
3.a+（-a）=0，因此|a|+|-a|=0，这个结论正确吗？
一般地，c=a+b，因此|c|=|a|+|b|，这个结论正确吗？
由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？
4.矩形ABCD如图，试求
+,+,+,+
得到的和向量之间有哪些关系？
5.矩形ABCD如第4题，求
（+）+,+（+）,++,++．
数量加法运算满足交换律（a+b=b+a）、结合律（a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c）），向量的加法运算同样满足交换律和结合律
a+b=b+a，a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c），
（2）向量的减法运算
图9-13
（2）
-b
如同数量a,b相减a-b，是被加数a与加数b的相反数-b相加一样，所谓向量a,b相减a-b，实际上是向量a与向量b的相反向量-b相加，即a+（-b）．应用向量加法法则，可以得出向量减法运算的法则．图9-
图9-13（3）
图9-13
（1）
13
（1）中是已知向量a,b；
显示了a+（-b）；
图9-13
（2）显示了
a-b的直接运算法则，法则的文字
表述是：
a-b的结果是一个向量c，
把a,b的始点移到同一点，从b的终点连向a的终点的向量就是c（三角形法则）对于三角形法则我们可以归纳为：
首同尾连，剪头指向被减．
记作c=a-b．a叫做被减向量，b叫做减向量，c叫做差向量．
例7在DABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？
例8在DABC中，若边向量为,,，求
（1）a=++；
（2）求b=--．
课内练习4
1.在DABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向量．为了使是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？
2.在矩形ABCD中的边向量为,,，求
（1）a=-；
（2）b=-；
（3）c=-；
（4）d=--．
因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如
a-b=-b+a，a-b-c=a-c-b=a-（b+c）．
（3）向量的数乘运算
在数量运算中，若a=2，b是a的两倍，则b=2a．在例8向量运算中，我们两次都遇到a=+,b=+这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a=2,
b=2呢？
这完全取决与如何规定2,2的含义，若规定它们的含义确实与+,+相同，那么这种简写就完全合法且合理了．为此我们作如下的定义：
一个实数a乘以向量a的结果是一个平行于a的向量b，b的模是a的模|a|倍，即
|b|=|a|×
|a|；
b的方向当a>
0时与a的方向相同，当a<
0时与a的方向相反．记作
b=a×
a或b=aa，
把向量的这种运算叫做向量的数乘运算．
根据向量数乘运算的这种规定，立即可知
-a=-1×
a，a+a=2a，-a-a=-2a．
把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足下述两个分配律：
（a+b）a=aa+ba，a（a+b）=aa+ab，
其中a,b是任意实数，a,b是任意向量．
根据向量的数乘运算,我们有：
如果有一个实数a，使b=a×
a（a≠0），则a与b是平行向量；
反之，如果a与b是平行向量，则有且只有一个实数a，使b=a×
a（a≠0）．
例8设c=-2a,d=-3a,f=-2b,g=a-2b，求h=2a+3f-3d+4g+2b-2c．
解h=2a+3f-3d+4g+2b-2c=2a+3（-2b）-3（-3a）+4（a-2b）+2b-2（-2a）
=2a-6b+9a+4a-8b+2b+4a=（2+9+4+4）a-（6+8-2）b=19a-12b．
例9DABC的AC边长为a，现把AB,BC边各延长原来的0.8倍成为DA1BC1，求边A1C1的长（见图9-15）．
课内练习5
1.已知向量a，作出向量-2a,3a．
2.已知向量a的模为s，求向量b=0.1a,c=-3a,d=2.5a的模．
3.设c=-a,d=-3b,f=2b,g=-2a-b，求h=2a-
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