1、(A)不一定收敛 (B) 必收敛,和为(C)必收敛,和为 (D) 必收敛,和为5.设矩阵与相似,则().(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 66.设3阶方阵的特征值是,它们所对应的特征向量依次为,令,则().(A)(B)(C)(D)7. 设随机变量服从上的均匀分布,则与().(A)不相关 (B)相关 (C)独立 (D)相关且不独立8. 设是取自正态总体一个简单随机样本,则下列结论中错误的是(). 二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分,把答案填在题中横线上)9.设函数具有连续偏导数,且,则 . 10.微分方程的通解为 . 11.设,则 .12.设为锥面外侧,则 .13.设为阶矩
2、阵,其伴随矩阵的元素全为1,则齐次方程组的通解为 .14.设随机变量与相互独立,且都服从正态分布,则 .三、解答题(本题共9小题,满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本题满分9分)设,而是由方程所确定的隐函数,其中具有连续偏导数,而具有连续导数,求.16. (本题满分10分)设在上连续,且.求; 设,求级数的和.17. (本题满分10分)设球体的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比(比例系数),求球体的质量及球体绕轴旋转的转动惯量.18. (本题满分11分)设函数在上连续,在内可导,且,证明:存在,使得.19. (本题满分10分)(数学一)证明:在右半平面上,曲线积分
3、与路径无关,并求一个二元函数,使得.20. (本题满分11分)设二维随机向量联合概率密度为求条件概率密度;概率密度.21.(本题满分11分)设是取自总体一个简单随机样本,的概率密度为,求未知参数的矩估计量;求未知参数的最大似然估计量.22.(11分)已知两个向量组与.为何值时,两个向量组等价?两个向量组等价时,求出它们之间的线性表示式.23.(11分)已知二维向量不是二阶方阵的特征向量.证明线性无关; 若,求的全部特征值,并判断能否与对角矩阵相似. 解 选择B. 由题设知,为偶函数,故为奇函数.解 选择B. ,故是的跳跃间断点.解 选择C. 由函数与在内可导知, 与在内连续,而,故.5. 已知
4、级数和分别收敛于,则级数()解 选择D. 由级数收敛知,设, 的前项和分别为,则,故,所以,级数收敛,和为.解 选择A. 矩阵与相似,则与相似,故.解 因为分别为的对应特征值的特征向量,故.解 选择A. 经计算得,.解 选择D. 由一个正态总体的抽样分布知A,B,C都正确,但是它们不独立,不能推出.解 答案为. 方程两边对求导,得令,得,故.解 答案为. .解 答案为. 解 答案为. 关于面反向对称,关于为偶函数,故 .解 答案为,为任意常数. 由题设知,且,故的列向量是的基础解系.14.设随机变量与相互独立,且都服从正态分布,则 .解 答案为. 解 取全微分,解 令,则,故,即,上式两边对求
5、导,得,即. ,级数, 解 由题设知,球体上任一点的密度,球体的质量转动惯量证 令,则,由积分中值定理知,存在,使得,即,由罗尔定理知,存在,使得,即,即.证 ,在右半平面上,故曲线积分与路径无关.解 所求函数,取积分路径为到,再到的折线段,则解 画出联合概率密度的非零区域.关于的边缘密度条件概率密度的取值范围为当时,当时,解 ,令,所以的矩估计为.似然函数, ,解得,所以的最大似然估计为.解 对矩阵作初等行变换,得当时,可由线性表示,且, , 可由线性表示,即两个向量组等价.两个向量组等价时,故,.证 设,则,否则,是的特征向量,与题设矛盾,将代入,得,又,故,所以线性无关;解 或者, ,又,故有一个特征值为,从而有一个特征值为,同理,有一个特征值为,从而有一个特征值为,故的特征值为和.由于二阶方阵有两个不同的特征值,故能与对角矩阵相似.
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