关于线性代数的数学建模实验报告Word格式.doc

1、成员： xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx2013年2月21日 关于线性代数的数学建模实验报告【实验目的】1.对数学实验与数学建模的原理和概念的理解。2.对MATLAB软件了解和认识。3.对MATLAB软件去验证数学公式和实际问题有新的认识。4.通过对MATLAB软件的学习，能把生活中的数学问题数学模型化。【实验内容】 一、投入产出问题【模型准备】某地有一座煤矿, 一个发电厂和一条铁路. 经成本核算, 每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电; 为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费; 每生产1元的电需0.6元的煤作燃料; 为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电, 还需要花费

2、0.1元的运费; 作为铁路局, 每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤, 辅助设备要消耗0.1元的电. 现煤矿接到外地6万元煤的订货, 电厂有10万元电的外地需求, 问: 煤矿和电厂各生产多少才能满足需求? 【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素. 【模型建立】设煤矿, 电厂, 铁路分别产出x元, y元, z元刚好满足需求. 则有下表表3 消耗与产出情况产出（1元）产出消耗订单煤电运0.60.5x0.6y + 0.5z600000.30.1y0.3x + 0.1y + 0.1z1000000.2z0.2x + 0.1y根据需求, 应该有, 即【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令 A

3、 = 1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.1,1; b = 60000;100000;0; x = Ab Matlab执行后得x = 1.0e+005 * 1.9966 1.8415 0.5835可见煤矿要生产1.9966105元的煤, 电厂要生产1.8415105元的电恰好满足需求. 【模型分析】令x =, A =, b =, 其中x称为总产值列向量, A称为消耗系数矩阵, b称为最终产品向量, 则Ax =根据需求, 应该有x - Ax = b, 即（E - A）x = b. 故x = （E - A）-1b. 二、一阶常系数线性齐次微分方程组的求解【模型准备】

4、一只虫子在平面直角坐标系内爬行. 开始时位于点P0（1, 0）处. 如果知道虫子在点P（x, y）处沿x轴正向的速率为4x - 5y, 沿y轴正向的速率为2x - 3y. 如何确定虫子爬行的轨迹的参数方程?O1何去何从?图31 虫子爬行的轨迹【模型假设】设t时刻虫子所处位置的坐标为（x（t）, y（t）. 【模型构成】由已知条件和上述假设可知而且（x（0）, y（0） = （1, 0）. 现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程. 【模型求解】令A =, 则|lE-A| = （l+1）（l-2）. 可见A的特征值为l1 = -1, l2 = 2. （-E-A）x = 0的一个基础解系为: x1 =

5、 （1, 1）T;（2E-A）x = 0的一个基础解系为: x2 = （5, 2）T. 令P = （x1, x2）, 则P-1AP =. 记X =, Y =, 并且作线性变换X = PY, 则Y = P-1X, = P-1= P-1AX = P-1APY =Y, =, 故u = c1e-t, v = c2e2t, 即Y =. 因而= Y|t =0 = P-1X|t =0 =. 于是Y =, X = PY =.这就是说, 虫子爬行的轨迹的参数方程为如果在Matlab命令窗口输入以下命令ezplot（-2/3*exp（-t）+5/3*exp（2*t）,-2/3*exp（-t）+2/3*exp（2*

6、t）,0,1） grid on; axis（0, 12, 0, 5）图32 Matlab绘制的虫子爬行轨迹三、交通流问题 图3-3给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时候的交通流量（每小时车辆数目）。计算该网络的车流量。【实验总结】 通过这次线性代数方面的数学建模实验的学习，我们对数学有了更进一步的理解，通过MATLAB可以把生活中的数学问题模型化，建立成数学模型。可以把抽象的问题通过MATLAB让其生动化，MATLAB具有强大的矩阵运算功能，而且具有强大的图形表达功能。数学建模实验学习让我对高等数学的学习兴趣更加浓厚，让我们对数学有了更近一步的理解和认识。同时我们三人增加了彼此的默契配合能力，我们三人各自完成一个线性代数方面的实验，为以后继续参加数学建模大赛做准备！