关于线性代数的数学建模实验报告Word格式.doc

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2013年2月21日

关于线性代数的数学建模实验报告

【实验目的】

1.对数学实验与数学建模的原理和概念的理解。

2.对MATLAB软件了解和认识。

3.对MATLAB软件去验证数学公式和实际问题有新的认识。

4.通过对MATLAB软件的学习，能把生活中的数学问题数学模型化。

【实验内容】

一、投入产出问题

【模型准备】某地有一座煤矿,一个发电厂和一条铁路.经成本核算,每生产价值1元钱的煤需消耗0.3元的电;

为了把这1元钱的煤运出去需花费0.2元的运费;

每生产1元的电需0.6元的煤作燃料;

为了运行电厂的辅助设备需消耗本身0.1元的电,还需要花费0.1元的运费;

作为铁路局,每提供1元运费的运输需消耗0.5元的煤,辅助设备要消耗0.1元的电.现煤矿接到外地6万元煤的订货,电厂有10万元电的外地需求,问:

煤矿和电厂各生产多少才能满足需求?

【模型假设】假设不考虑价格变动等其他因素.

【模型建立】设煤矿,电厂,铁路分别产出x元,y元,z元刚好满足需求.则有下表

表3消耗与产出情况

产出（1元）

产出

消耗

订单

煤

电

运

0.6

0.5

x

0.6y+0.5z

60000

0.3

0.1

y

0.3x+0.1y+0.1z

100000

0.2

z

0.2x+0.1y

根据需求,应该有

即

【模型求解】在Matlab命令窗口输入以下命令

>

A=[1,-0.6,-0.5;

-0.3,0.9,-0.1;

-0.2,-0.1,1];

b=[60000;

100000;

0];

x=A\b

Matlab执行后得

x=

1.0e+005*

1.9966

1.8415

0.5835

可见煤矿要生产1.9966´

105元的煤,电厂要生产1.8415´

105元的电恰好满足需求.

【模型分析】令x=,A=,b=,其中x称为总产值列向量,A称为消耗系数矩阵,b称为最终产品向量,则

Ax==

根据需求,应该有x-Ax=b,即（E-A）x=b.故x=（E-A）-1b.

二、一阶常系数线性齐次微分方程组的求解

【模型准备】一只虫子在平面直角坐标系内爬行.开始时位于点P0（1,0）处.如果知道虫子在点P（x,y）处沿x轴正向的速率为4x-5y,沿y轴正向的速率为2x-3y.如何确定虫子爬行的轨迹的参数方程?

O

1

何去何从?

图31虫子爬行的轨迹

【模型假设】设t时刻虫子所处位置的坐标为（x（t）,y（t））.

【模型构成】由已知条件和上述假设可知

而且（x（0）,y（0））=（1,0）.

现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程.

【模型求解】令A=,则|lE-A|==（l+1）（l-2）.可见A的特征值为l1=-1,l2=2.

（-E-A）x=0的一个基础解系为:

x1=（1,1）T;

（2E-A）x=0的一个基础解系为:

x2=（5,2）T.

令P=（x1,x2）,则P-1AP=.

记X=,Y=,并且作线性变换X=PY,则Y=P-1X,

=P-1=P-1AX=P-1APY=Y,

=,

故u=c1e-t,v=c2e2t,即Y=.因而

=Y|t=0=P-1X|t=0==.

于是

Y=,X=PY==.

这就是说,虫子爬行的轨迹的参数方程为

如果在Matlab命令窗口输入以下命令

ezplot（'

-2/3*exp（-t）+5/3*exp（2*t）'

'

-2/3*exp（-t）+2/3*exp（2*t）'

[0,1]）

gridon;

axis（[0,12,0,5]）

图32Matlab绘制的虫子爬行轨迹

三、交通流问题

图3-3给出了某城市部分单行街道在一个下午早些时候的交通流量（每小时车辆数目）。

计算该网络的车流量。

【实验总结】

通过这次线性代数方面的数学建模实验的学习，我们对数学有了更进一步的理解，通过MATLAB可以把生活中的数学问题模型化，建立成数学模型。

可以把抽象的问题通过MATLAB让其生动化，MATLAB具有强大的矩阵运算功能，而且具有强大的图形表达功能。

数学建模实验学习让我对高等数学的学习兴趣更加浓厚，让我们对数学有了更近一步的理解和认识。

同时我们三人增加了彼此的默契配合能力，我们三人各自完成一个线性代数方面的实验，为以后继续参加——数学建模大赛做准备！