普通高等学校招生全国统一考试新课标全国卷Ⅱ数学理科.docx

1、普通高等学校招生全国统一考试新课标全国卷数学理科绝密启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）数学（理科）A.4 B.3 C.2 D.05. 双曲线𝑥2 𝑦2 = 1(𝑎 0, 𝑏 0) 的离心率为 3 ，则其渐近线方程为( )𝑎2 𝑏2试卷副标题 A.𝑦 = 2𝑥 B.𝑦 = 3𝑥 C.𝑦 = 2 𝑥 D.𝑦 = 3 𝑥2 2考试范围：xxx；考试时间

2、：120 分钟；命题人：xxx6. 在 𝐴𝐵𝐶 中，𝑐𝑜𝑠 𝐶题号一二三总分得分2= 55，𝐵𝐶 = 1 ，𝐴𝐶 = 5 ， 则 𝐴𝐵 = ( )学校: 姓名： 班级： 考号： 请点击修改第 I 卷的文字说明评卷人得分一、 选择题第 I 卷（选择题） A.42 B.30 C.29 D.257.为计算 ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入( )1+2𝑖1.12w

3、894;= ( )A. 45 3 𝑖 B. 45 5+ 3 𝑖 C. 35 5 4 𝑖 D. 3 +5 54 𝑖52. 已知集合𝐴 = (𝑥, 𝑦)|𝑥2 + 𝑦2 3 ，𝑥 𝑍 ，𝑦 𝑍) ，则𝐴 中元素的个数为( )A.9 B.8 C.5 D.43. 函数𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑒𝑥

4、;𝑥2的图象大致为( )A.B. C. D.A.𝑖 = 𝑖 + 1 B.𝑖 = 𝑖 + 2 C.𝑖 = 𝑖 + 3 D.𝑖 = 𝑖 + 48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果. 哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 = 7 + 23. 在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是( )A.112B.114C.115D.1189. 在长方体𝐴𝐵

5、𝐶𝐷 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中，𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 1 ，𝐴𝐴1 = 3 ，则异面直线𝐴𝐷1 与𝐷𝐵1 所成角的余弦值为 ( )A.15B.56C.55D.2210. 若𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛&#

6、119909; 在𝑎, 𝑎 是减函数，则𝑎 的最大值是( )4.已知向量 ， 满足 ， ，则 )𝜋 𝜋A.B.4 2C.3𝜋4D.𝜋 外 装 订 线 内 装 订 线 第 1 页 共 6 页 第 2 页 共 6 页11. 已知 𝑓(𝑥) 是定义域为 (, +) 的 奇 函 数 ， 满 足 𝑓(1 𝑥) = 𝑓(1 + 𝑥) ，若 𝑓(1) = 2 ，则 )A.50 B.0 C

7、.2 D.502 212. 已知𝐹 ，𝐹 是椭圆𝐶 ：𝑥 + 𝑦 = 1(𝑎 𝑏 0) 的左、右焦点，𝐴 是𝐶 的左顶点，点𝑃 在过𝐴 且斜率 1 2 𝑎2𝑏2为36的直线上， 𝑃𝐹1𝐹2 为等腰三角形，𝐹1𝐹2𝑃 = 120 ，则𝐶 的离心率为( )A.23B.12C.13D.

8、14第 II 卷（非选择题） 请不要在装订线内答题请点击修改第 II 卷的文字说明评卷人得分二、 填空题1. 曲线𝑦 = 2𝑙𝑛(𝑥 + 1) 在点(0,0) 处的切线方程为 2. 若𝑥 ，𝑦 满足约束条件 ，则𝑧 = 𝑥 + 𝑦 的最大值为 3. 已知𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 1 ，𝑐𝑜&#

9、119904;𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 = 0 ，则𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽) = 为了预测该地区2018 年的环境基础设施投资额，建立了𝑦 与时间变量𝑡 的两个线性回归模型. 根据2000 年至2016 年的数据( 时间变量𝑡 的值依次为1 ，2 ， ，17) 建立模型 ；根据2010：年至2016 年的数据( 时间变量𝑡 的值依次为1 ，2 ， ，7) 建立模型 (1)分别利用这两个

10、模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由74. 已知圆锥的顶点为𝑆 ，母线𝑆𝐴 ，𝑆𝐵 所成角的余弦值为8，𝑆𝐴 与圆锥底面所成角为45 ，若 𝑆𝐴𝐵 的面积为515 ，则该圆锥的侧面积为 评卷人得分三、 解答题1. 记𝑆𝑛 为等差数列𝑎𝑛 的前𝑛 项和，已知𝑎1 = 7 ，

11、𝑆3 = 15 (1) 求𝑎𝑛 的通项公式；(2) 求𝑆𝑛 ，并求𝑆𝑛 的最小值2.如图是某地区2000 年至2016 年环境基础设施投资额𝑦( 单位：亿元) 的折线图3. 设抛物线𝐶 ：𝑦2 = 4𝑥 的焦点为𝐹 ，过𝐹 且斜率为𝑘(𝑘 0) 的直线𝑙 与𝐶 交于𝐴 ，𝐵 两点，|Ү

12、60;𝐵| = 8 (1)求𝑙 的方程；(2)求过点𝐴 ，𝐵 且与𝐶 的准线相切的圆的方程4. 如图，在三棱锥𝑃 𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 22 ，𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 = 𝐴𝐶 = 4 ，𝑂 为𝐴𝐶 的中

13、点 内 装 订 线 外 装 订 线 第 3 页 共 6 页 第 4 页 共 6 页(1) 证明：𝑃𝑂 平面𝐴𝐵𝐶 ；(2) 若点𝑀 在棱𝐵𝐶 上，且二面角𝑀 𝑃𝐴 𝐶 为30 ，求𝑃𝐶 与平面𝑃𝐴𝑀 所成角的正弦值5. 已 知 函 数 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 

14、9886;𝑥2 (1) 若𝑎 = 1 ，证明：当𝑥 0 时，𝑓(𝑥) 1 ； (2) 若𝑓(𝑥) 在(0, +) 只有一个零点，求𝑎 6.在直角坐标系𝑥𝑂𝑦 中， 曲线𝐶 的参数方程为 为参数) ，直线𝑙 的参数方程为 为参数) (1)求𝐶 和𝑙 的直角坐标方程；(2)若曲线𝐶 截直线𝑙 所得线段的中点坐标为(1,2) ，求&

15、#119897; 的斜率7. 设函数𝑓(𝑥) = 5 |𝑥 + 𝑎| |𝑥 2| (1) 当𝑎 = 1 时，求不等式𝑓(𝑥) 0 的解集；(2) 若𝑓(𝑥) 1 ，求𝑎 的取值范围第 5 页 共 6 页 第 6 页 共 6 页一、 选择题1【答案】D1+2𝑖 = (1+2𝑖)(1+2𝑖) 参考答案3 4 【解析】解：12𝑖(12𝑖)(1+2&

16、#119894;)= +5𝑖 5故选：𝐷 利用复数的除法的运算法则化简求解即可本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查2【答案】A【解析】解：当𝑥 = 1 时，𝑦2 2 ，得𝑦 = 1 ，0 ，1 ，当𝑥 = 0 时，𝑦2 3 ，得𝑦 = 1 ，0 ，1 ，当𝑥 = 1 时，𝑦2 2 ，得𝑦 = 1 ，0 ，1 ， 即集合𝐴 中元素有9 个，故选：𝐴 分别令𝑥 =

17、 1 ，0 ，1 ，进行求解即可本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键3【答案】B【解析】解：函数𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥𝑒𝑥 = 𝑓(𝑥) ，(𝑥)2𝑥2则函数𝑓(𝑥) 为奇函数，图象关于原点对称，排除𝐴 ，当𝑥 = 1 时，𝑓(1) = 𝑒

18、 1𝑒 0 ，排除𝐷 当 时， ，排除𝐶 ，故选：𝐵 判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键4【答案】B【 解 析 】 解 ： 向 量 ， 满 足 ， ， 则 ， 故选：𝐵 根据向量的数量积公式计算即可本题考查了向量的数量积公式，属于基础题5【答案】A【解析】解： 双曲线的离心率为𝑒 = 𝑐 = 3 ，𝑎则 𝑏 = 𝑏2 = 

19、9888;2𝑎2 = ( 𝑐)2 1 = 3 1 = 2 ，𝑎 𝑎2 𝑎2 𝑎即双曲线的渐近线方程为𝑦 = 𝑏𝑎故选：𝐴 𝑥 = 2𝑥 ，根据双曲线离心率的定义求出𝑎 ，𝑐 的关系，结合双曲线𝑎 ，𝑏 ，𝑐 的关系进行求解即可本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键6【答案】A【解

20、析】解：在 𝐴𝐵𝐶 中，𝑐𝑜𝑠 𝐶2= 55，𝑐𝑜𝑠𝐶 = 2 (5 25 1 = 3 ，5𝐵𝐶 = 1 ，𝐴𝐶 = 5 ， 则 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 2𝐵𝐶 𝐴𝐶𝑐w

21、900;𝑠𝐶 = 1 + 25 + 2 1 5 3 =532 = 42 故选：𝐴 利用二倍角公式求出𝐶 的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可 本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力7【答案】B【解析】解：模拟程序框图的运行过程知， 该程序运行后输出的是 ； 累加步长是2 ，则在空白处应填入𝑖 = 𝑖 + 2 故选：𝐵 模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的𝑆 = 𝑁 𝑇 ， 由此知空白处应填入的条件本题考查了循环程序

22、的应用问题，是基础题8【答案】C【解析】解：在不超过30 的素数中有，2 ，3 ，5 ，7 ，11 ，13 ，17 ，19 ，23 ，29 共10 个，10从中选2 个不同的数有𝐶2 = 45 种，和等于30 的有(7,23) ，(11,19) ，(13,17) ，共3 种，则对应的概率𝑃 = 3 = 1 ，45 15故选：𝐶 利用列举法先求出不超过30 的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可 本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30 的素数是解决本题的关键9【答案】C【解析】解：以𝐷 为原点，𝐷&

23、#119860; 为𝑥 轴，𝐷𝐶 为𝑦 轴，𝐷𝐷1 为𝑧 轴，建立空间直角坐标系， 在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 中，𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 1 ，𝐴𝐴1 = 3 ， 𝐴(1,0,0) ，𝐷1(0,0, 3) ，𝐷

24、(0,0,0) ，𝐵1(1,1, 3) ， ，设异面直线𝐴𝐷1 与𝐷𝐵1 所成角为𝜃 ， 则 ， 异面直线𝐴𝐷1 与𝐷𝐵1 所成角的余弦值为5 5故选：𝐶 以𝐷 为原点，𝐷𝐴 为𝑥 轴，𝐷𝐶 为𝑦 轴，𝐷𝐷1 为𝑧 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线

25、𝐴𝐷1 与𝐷𝐵1 所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题10【答案】A【解析】解：𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 = (𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

26、;) = 2𝑠𝑖𝑛(𝑥 𝜋) ，4由 𝜋2+ 2𝑘𝜋 𝑥 𝜋4 𝜋2+ 2𝑘𝜋 ，𝑘 𝑍 ，得 𝜋4+ 2𝑘𝜋 𝑥 3 𝜋 + 2𝑘𝜋 ，𝑘 𝑍 ，4取𝑘 = 0 ，得𝑓(ү

27、09;) 的一个减区间为 𝜋4由𝑓(𝑥) 在𝑎, 𝑎 是减函数，, 3 𝜋 ，4得 ， 𝑎 𝜋 4𝜋则𝑎 的最大值是 4故选：𝐴 𝜋利用两角和差的正弦公式化简𝑓(𝑥) ，由2+ 2𝑘𝜋 𝑥 𝜋4 𝜋2𝜋+ 2𝑘𝜋 ，𝑘 Ү

28、85; ， 得 +42𝑘𝜋 𝑥 3 𝜋 + 2𝑘𝜋 ，𝑘 𝑍 ，取𝑘 = 0 ，得𝑓(𝑥) 的一个减区间为 𝜋4 4, 3 𝜋 ，结合已4知条件即可求出𝑎 的最大值本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查， 是基础题11【答案】C【解析】解： 𝑓(𝑥) 是奇函数，且𝑓(1 𝑥

29、) = 𝑓(1 + 𝑥) ， 𝑓(1 𝑥) = 𝑓(1 + 𝑥) = 𝑓(𝑥 1) ，𝑓(0) = 0 ，则𝑓(𝑥 + 2) = 𝑓(𝑥) ，则𝑓(𝑥 + 4) = 𝑓(𝑥 + 2) = 𝑓(𝑥) ， 即函数𝑓(𝑥) 是周期为4 的周期函数， 𝑓(

30、1) = 2 ， 𝑓(2) = 𝑓(0) = 0 ，𝑓(3) = 𝑓(1 2) = 𝑓(1) = 𝑓(1) = 2 ，𝑓(4) = 𝑓(0) = 0 ，则𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) + 𝑓(4) = 2 + 0 2 + 0 = 0 ，则 = 𝑓(1) + 𝑓(2) = 2 + 0 = 2 ，故选：𝐶 根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4

31、，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键12【答案】D【解析】解：由题意可知：𝐴(𝑎, 0) ，𝐹1(𝑐, 0) ，𝐹2(𝑐, 0) ，直线𝐴𝑃 的方程为：𝑦 = 3 (𝑥 + 𝑎) ，6由𝐹1𝐹2𝑃 = 120 ，|𝑃𝐹2| = |𝐹1&

32、#119865;2| = 2𝑐 ，则𝑃(2𝑐, 3𝑐) ，代入直线𝐴𝑃 ：3𝑐 = 3 (2𝑐 + 𝑎) ，整理得：𝑎 = 4𝑐 ，6 题意的离心率𝑒 = 𝑐 = 1 故选：𝐷 𝑎 4求得直线𝐴𝑃 的方程：根据题意求得𝑃 点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率 本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思

33、想，属于中档题二、 填空题1【答案】𝑦 = 2𝑥【解析】解： 𝑦 = 2𝑙𝑛(𝑥 + 1) ， 𝑦 = 2 ，𝑥+1当𝑥 = 0 时，𝑦 = 2 ， 曲线𝑦 = 2𝑙𝑛(𝑥 + 1) 在点(0,0) 处的切线方程为𝑦 = 2𝑥 故答案为：𝑦 = 2𝑥 欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在

34、19909; = 0 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率. 从而问题解决本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力. 属于基础题2【答案】9【解析】解：由𝑥 ，𝑦 满足约束条件 作出可行域如图，化目标函数𝑧 = 𝑥 + 𝑦 为𝑦 = 𝑥 + 𝑧 ，由图可知，当直线𝑦 = 𝑥 + 𝑧 过𝐴 时，𝑧 取得最大值， 由

35、，解得𝐴(5,4) ，目标函数有最大值，为𝑧 = 9 故答案为：9 由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题3【答案】 12【解析】解：𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 1 ，两边平方可得：𝑠𝑖𝑛2𝛼 + 2𝑠𝑖𝑛𝛼

36、𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 = 1 ， ，𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 = 0 ，两边平方可得：𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 2𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 + 𝑠

37、19894;𝑛2𝛽 = 0 ， ，由 + 得：2 + 2(𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽) = 1 ，即2 + 2𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽) = 1 ， 2𝑠𝑖𝑛(𝛼

38、 + 𝛽) = 1 𝑠𝑖𝑛(𝛼 + 𝛽) = 1 2故答案为： 1 2把已知等式两边平方化简可得2 + 2(𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽) = 1 ，再利用两角和差的正弦公式化简为2𝑠𝑖𝑛(

39、𝛼 + 𝛽) = 1 ，可得结果本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查， 是基础题4【答案】402𝜋【解析】解：圆锥的顶点为𝑆 ，母线𝑆𝐴 ，𝑆𝐵 所成角的余弦值为8，可得𝑠𝑖𝑛𝐴𝑀𝐵 =71 ( )8= 15 8 𝑆𝐴𝐵 的面积为515 ，可得1 𝑆𝐴2&

40、#119904;𝑖𝑛𝐴𝑀𝐵 = 515 ，即1 𝑆𝐴2 15 = 515 ，即𝑆𝐴 = 45 2 2 8𝑆𝐴 与圆锥底面所成角为45 ，可得圆锥的底面半径为：2 45 = 210 2则该圆锥的侧面积：1 410 45𝜋 = 402𝜋.2故答案为：402𝜋.利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所

41、成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力三、 解答题1【答案】解：(1) 等差数列𝑎𝑛 中，𝑎1 = 7 ，𝑆3 = 15 ， 𝑎1 = 7 ，3𝑎1 + 3𝑑 = 15 ，解得𝑎1 = 7 ，𝑑 = 2 ， 𝑎𝑛 = 7 + 2(𝑛 1) = 2𝑛 9 ；(2) 𝑎1 = 7 ，𝑑 = 2 ，𝑎𝑛 = 2&#

42、119899; 9 ，𝑛 1 2 2 2 𝑆𝑛 = 2 (𝑎1 + 𝑎𝑛) = 2 (2𝑛 16𝑛) = 𝑛 8𝑛 = (𝑛 4) 16 ， 当𝑛 = 4 时，前𝑛 项的和𝑆𝑛 取得最小值为16 【解析】(1) 根据𝑎1 = 7 ，𝑆3 = 15 ，可得𝑎1 = 7 ，3𝑎1 + 3Ү

43、89; = 15 ，求出等差数列𝑎𝑛 的公差，然后求出𝑎𝑛 即可；𝑛 1 2 2 (2) 由 𝑎1 = 7 ，𝑑 = 2 ，𝑎𝑛 = 2𝑛 9 ， 得 𝑆𝑛 = 2 (𝑎1 + 𝑎𝑛) = 2 (2𝑛 16𝑛) = 𝑛 8𝑛 = (𝑛 4)2 16 ，由此可求出𝑆

44、𝑛 以及𝑆𝑛 的最小值本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前𝑛 项的和公式，属于中档题2【答案】解：(1) 根据模型 ： ，计算𝑡 = 19 时， ；利用这个模型，求出该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值是226.1 亿元； 根据模型 ： ，计算𝑡 = 9 时， ；利用这个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值是256.5 亿元；(2) 模型 得到的预测值更可靠；因为从总体数据看，该地区从2000 年到2016 年的环境基础设施投资额是逐年上升的， 而从200

45、0 年到2009 年间递增的幅度较小些，从2010 年到2016 年间递增的幅度较大些， 所以，利用模型 的预测值更可靠些【解析】(1) 根据模型 计算𝑡 = 19 时 的值，根据模型 计算𝑡 = 9 时 的值即可；(2) 从总体数据和2000 年到2009 年间递增幅度以及2010 年到2016 年间递增的幅度比较，即可得出模型 的预测值更可靠些本 题 考 查 了 线 性 回 归 方 程 的 应 用 问 题 ， 是 基 础 题 3【答案】解：(1) 方法一：抛物线𝐶 ：𝑦2 = 4𝑥 的焦点为𝐹(

46、1,0) ，当直线的斜率不存在时，|𝐴𝐵| = 4 ，不满足；设直线𝐴𝐵 的方程为：𝑦 = 𝑘(𝑥 1) ，设𝐴(𝑥1, 𝑦1) ，𝐵(𝑥2, 𝑦2) ，则 ，整理得：𝑘2𝑥2 2(𝑘2 + 2)𝑥 + 𝑘2 = 0 ，则𝑥+ 𝑥= 2(𝑘2+2)，𝑥 𝑥= 1 ，1 2 𝑘2 1 2由|𝐴𝐵| = 𝑥1+ 𝑥2+ 𝑝 = 2(𝑘2+2) + 2 = 8 ，解得：𝑘2 = 1 ，则𝑘 = 1 ，𝑘2 直线𝑙 的