普通高等学校招生全国统一考试新课标全国卷Ⅱ数学理科.docx
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普通高等学校招生全国统一考试新课标全国卷Ⅱ数学理科
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅱ）数学（理科）
A.4B.3C.2D.0
√
5.双曲线𝑥2−𝑦2=1（𝑎>0,𝑏>0）的离心率为3，则其渐近线方程为（）
𝑎2𝑏2
试卷副标题
A.𝑦=±√2𝑥B.𝑦=±√3𝑥C.𝑦=±√2𝑥D.𝑦=±√3𝑥
22
考试范围：
xxx；考试时间：
120分钟；命题人：
xxx
6.在△𝐴𝐵𝐶中，𝑐𝑜𝑠𝐶
题号
一
二
三
总分
得分
2
=√5
5
，𝐵𝐶=1，𝐴𝐶=5，则𝐴𝐵=（）
学校:
姓名：
班级：
考号：
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题
第I卷（选择题）
A.4√2B.√30C.√29D.2√5
7.为计算，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）
1+2𝑖
1.
1−2𝑖
=（）
A.−4
5
−3𝑖B.−4
55
+3𝑖C.−3
55
−4𝑖D.−3+
55
4𝑖
5
2.已知集合𝐴={（𝑥,𝑦）|𝑥2+𝑦2⩽3，𝑥∈𝑍，𝑦∈𝑍），则𝐴中元素的个数为（）
A.9B.8C.5D.4
3.函数𝑓（𝑥）=𝑒𝑥−𝑒−𝑥
𝑥2
的图象大致为（）
A.B.C.D.
A.𝑖=𝑖+1B.𝑖=𝑖+2C.𝑖=𝑖+3D.𝑖=𝑖+4
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）
A.
1
12
B.
1
14
C.
1
15
D.
1
18
9.在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=1，𝐴𝐴1=√3，则异面直线𝐴𝐷1与𝐷𝐵1所成角的余弦值为（）
A.1
5
B.√5
6
C.√5
5
D.√2
2
10.若𝑓（𝑥）=𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥在[−𝑎,𝑎]是减函数，则𝑎的最大值是（）
4.已知向量，
满足
，
，则
）
𝜋𝜋
A.
B.
42
C.3𝜋
4
D.𝜋
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………
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11.已知𝑓（𝑥）是定义域为（−∞,+∞）的奇函数，满足𝑓（1−𝑥）=𝑓（1+𝑥），若𝑓
（1）=2，则
）
A.−50B.0C.2D.50
22
12.已知𝐹，𝐹是椭圆𝐶：
𝑥+𝑦=1（𝑎>𝑏>0）的左、右焦点，𝐴是𝐶的左顶点，点𝑃在过𝐴且斜率
12𝑎2
𝑏2
为√3
6
的直线上，△𝑃𝐹1𝐹2为等腰三角形，∠𝐹1𝐹2𝑃=120∘，则𝐶的离心率为（）
A.2
3
B.1
2
C.1
3
D.1
4
第II卷（非选择题）
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
1.曲线𝑦=2𝑙𝑛（𝑥+1）在点（0,0）处的切线方程为．
2.若𝑥，𝑦满足约束条件
，则𝑧=𝑥+𝑦的最大值为．
3.已知𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽=1，𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛽=0，则𝑠𝑖𝑛（𝛼+𝛽）=．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了𝑦与时间变量𝑡的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量𝑡的值依次为1，2，…，17）建立模型①
；根据2010
：
年至2016年的数据（时间变量𝑡的值依次为1，2，…，7）建立模型②
．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？
并说明理由．
7
4.已知圆锥的顶点为𝑆，母线𝑆𝐴，𝑆𝐵所成角的余弦值为
8
，𝑆𝐴与圆锥底面所成角为45∘，若△𝑆𝐴𝐵的
面积为5√15，则该圆锥的侧面积为．
评卷人
得分
三、解答题
1.记𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，已知𝑎1=−7，𝑆3=−15．
（1）求{𝑎𝑛}的通项公式；
（2）求𝑆𝑛，并求𝑆𝑛的最小值．
2.如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额𝑦（单位：
亿元）的折线图．
3.设抛物线𝐶：
𝑦2=4𝑥的焦点为𝐹，过𝐹且斜率为𝑘（𝑘＞0）的直线𝑙与𝐶交于𝐴，𝐵两点，|𝐴𝐵|=8．
（1）求𝑙的方程；
（2）求过点𝐴，𝐵且与𝐶的准线相切的圆的方程．
4.如图，在三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2√2，𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶=𝐴𝐶=4，𝑂为𝐴𝐶的中点．
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………
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（1）证明：
𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶；
（2）若点𝑀在棱𝐵𝐶上，且二面角𝑀−𝑃𝐴−𝐶为30∘，求𝑃𝐶与平面𝑃𝐴𝑀所成角的正弦值．
5.已知函数𝑓（𝑥）=𝑒𝑥−𝑎𝑥2．
（1）若𝑎=1，证明：
当𝑥⩾0时，𝑓（𝑥）⩾1；
（2）若𝑓（𝑥）在（0,+∞）只有一个零点，求𝑎．
6.在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶的参数方程为
为参数），直线𝑙的参数方程为
为参数）．
（1）求𝐶和𝑙的直角坐标方程；
（2）若曲线𝐶截直线𝑙所得线段的中点坐标为（1,2），求𝑙的斜率．
7.设函数𝑓（𝑥）=5−|𝑥+𝑎|−|𝑥−2|．
（1）当𝑎=1时，求不等式𝑓（𝑥）⩾0的解集；
（2）若𝑓（𝑥）⩽1，求𝑎的取值范围．
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一、选择题
1．【答案】D
1+2𝑖=（1+2𝑖）（1+2𝑖）
参考答案
34
【解析】解：
1−2𝑖
（1−2𝑖）（1+2𝑖）
=−+
5
𝑖．
5
故选：
𝐷．
利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．
2．【答案】A
【解析】解：
当𝑥=−1时，𝑦2⩽2，得𝑦=−1，0，1，
当𝑥=0时，𝑦2⩽3，得𝑦=−1，0，1，
当𝑥=1时，𝑦2⩽2，得𝑦=−1，0，1，即集合𝐴中元素有9个，
故选：
𝐴．
分别令𝑥=−1，0，1，进行求解即可．
本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．
3．【答案】B
【解析】解：
函数𝑓（−𝑥）=𝑒−𝑥−𝑒𝑥=−𝑒𝑥−𝑒−𝑥=−𝑓（𝑥），
（−𝑥）2
𝑥2
则函数𝑓（𝑥）为奇函数，图象关于原点对称，排除𝐴，
当𝑥=1时，𝑓
（1）=𝑒−1
𝑒
>0，排除𝐷．
当时，
，排除𝐶，
故选：
𝐵．
判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键．
4．【答案】B
【解析】解：
向量
，
满足
，
，则
，故选：
𝐵．
根据向量的数量积公式计算即可．
本题考查了向量的数量积公式，属于基础题
5．【答案】A
【解析】解：
∵双曲线的离心率为𝑒=𝑐=√3，
𝑎
则𝑏=√𝑏2=√𝑐2−𝑎2=√（𝑐）2−1=√3−1=√2，
𝑎𝑎2𝑎2𝑎
即双曲线的渐近线方程为𝑦=±𝑏
𝑎
故选：
𝐴．
𝑥=±√2𝑥，
根据双曲线离心率的定义求出𝑎，𝑐的关系，结合双曲线𝑎，𝑏，𝑐的关系进行求解即可．
本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．
6．【答案】A
【解析】解：
在△𝐴𝐵𝐶中，𝑐𝑜𝑠𝐶
2
=√5
5
，𝑐𝑜𝑠𝐶=2×（
√52
5
−1=−3，
5
𝐵𝐶=1，𝐴𝐶=5，则𝐴𝐵=√𝐵𝐶2+𝐴𝐶2−2𝐵𝐶⋅𝐴𝐶𝑐𝑜𝑠𝐶=√1+25+2×1×5×3=
5
√32=4√2．故选：
𝐴．
利用二倍角公式求出𝐶的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．
7．【答案】B
【解析】解：
模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是
；累加步长是2，则在空白处应填入𝑖=𝑖+2．
故选：
𝐵．
模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的𝑆=𝑁−𝑇，由此知空白处应填入的条件．
本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．
8．【答案】C
【解析】解：
在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，
29共10个，
10
从中选2个不同的数有𝐶2=45种，
和等于30的有（7,23），（11,19），（13,17），共3种，
则对应的概率𝑃=3=1，
4515
故选：
𝐶．
利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键．
9．【答案】C
【解析】解：
以𝐷为原点，𝐷𝐴为𝑥轴，𝐷𝐶为𝑦轴，𝐷𝐷1为𝑧轴，建立空间直角坐标系，
∵在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=𝐵𝐶=1，
𝐴𝐴1=√3，
∴𝐴（1,0,0），𝐷1（0,0,√3），𝐷（0,0,0），
𝐵1（1,1,√3），
，，
设异面直线𝐴𝐷1与𝐷𝐵1所成角为𝜃，则，
∴异面直线𝐴𝐷1与𝐷𝐵1所成角的余弦值为√5．
5
故选：
𝐶．
以𝐷为原点，𝐷𝐴为𝑥轴，𝐷𝐶为𝑦轴，𝐷𝐷1为𝑧轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线𝐴𝐷1与𝐷𝐵1所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10．【答案】A
【解析】解：
𝑓（𝑥）=𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥=−（𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥）=−√2𝑠𝑖𝑛（𝑥−
𝜋），
4
由−𝜋
2
+2𝑘𝜋⩽𝑥−𝜋
4
⩽𝜋
2
+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，
得−𝜋
4
+2𝑘𝜋⩽𝑥⩽
3𝜋+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，
4
取𝑘=0，得𝑓（𝑥）的一个减区间为[−𝜋
4
由𝑓（𝑥）在[−𝑎,𝑎]是减函数，
3𝜋]，
4
得，∴𝑎⩽𝜋．
4
𝜋
则𝑎的最大值是．
4
故选：
𝐴．
𝜋
利用两角和差的正弦公式化简𝑓（𝑥），由−
2
+2𝑘𝜋⩽𝑥−𝜋
4
⩽𝜋
2
𝜋
+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，得−+
4
2𝑘𝜋⩽𝑥⩽
3𝜋+2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，取𝑘=0，得𝑓（𝑥）的一个减区间为[−𝜋
44
3𝜋]，结合已
4
知条件即可求出𝑎的最大值．
本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
11．【答案】C
【解析】解：
∵𝑓（𝑥）是奇函数，且𝑓（1−𝑥）=𝑓（1+𝑥），
∴𝑓（1−𝑥）=𝑓（1+𝑥）=−𝑓（𝑥−1），𝑓（0）=0，
则𝑓（𝑥+2）=−𝑓（𝑥），则𝑓（𝑥+4）=−𝑓（𝑥+2）=𝑓（𝑥），即函数𝑓（𝑥）是周期为4的周期函数，
∵𝑓
（1）=2，
∴𝑓
（2）=𝑓（0）=0，𝑓（3）=𝑓（1−2）=𝑓（−1）=−𝑓
（1）=−2，
𝑓（4）=𝑓（0）=0，
则𝑓
（1）+𝑓
（2）+𝑓（3）+𝑓（4）=2+0−2+0=0，
则
=𝑓
（1）+𝑓
（2）=2+0=2，
故选：
𝐶．
根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．
12．【答案】D
【解析】解：
由题意可知：
𝐴（−𝑎,0），𝐹1（−𝑐,0），𝐹2（𝑐,0），
直线𝐴𝑃的方程为：
𝑦=√3（𝑥+𝑎），
6
由∠𝐹1𝐹2𝑃=120∘，|𝑃𝐹2|=|𝐹1𝐹2|=2𝑐，则𝑃（2𝑐,√3𝑐），
代入直线𝐴𝑃：
√3𝑐=√3（2𝑐+𝑎），整理得：
𝑎=4𝑐，
6
∴题意的离心率𝑒=𝑐=1．
故选：
𝐷．
𝑎4
求得直线𝐴𝑃的方程：
根据题意求得𝑃点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．
二、填空题
1．【答案】𝑦=2𝑥
【解析】解：
∵𝑦=2𝑙𝑛（𝑥+1），
∴𝑦′=2，
𝑥+1
当𝑥=0时，𝑦′=2，
∴曲线𝑦=2𝑙𝑛（𝑥+1）在点（0,0）处的切线方程为𝑦=2𝑥．故答案为：
𝑦=2𝑥．
欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在𝑥=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决．
本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力.属于基础题．
2．【答案】9
【解析】解：
由𝑥，𝑦满足约束条件作出可行域如图，
化目标函数𝑧=𝑥+𝑦为𝑦=−𝑥+𝑧，
由图可知，当直线𝑦=−𝑥+𝑧过𝐴时，𝑧取得最大值，由
，解得𝐴（5,4），
目标函数有最大值，为𝑧=9．
故答案为：
9．
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
3．【答案】−1
2
【解析】解：
𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛽=1，
两边平方可得：
𝑠𝑖𝑛2𝛼+2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠2𝛽=1，①，
𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛽=0，
两边平方可得：
𝑐𝑜𝑠2𝛼+2𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽+𝑠𝑖𝑛2𝛽=0，②，
由①+②得：
2+2（𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽）=1，即2+2𝑠𝑖𝑛（𝛼+𝛽）=1，
∴2𝑠𝑖𝑛（𝛼+𝛽）=−1．
∴𝑠𝑖𝑛（𝛼+𝛽）=−1．
2
故答案为：
−1．
2
把已知等式两边平方化简可得2+2（𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2𝑠𝑖𝑛（𝛼+𝛽）=−1，可得结果．
本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．
4．【答案】40√2𝜋
【解析】解：
圆锥的顶点为𝑆，母线𝑆𝐴，𝑆𝐵所成角的余弦值为
8
，可得𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝑀𝐵=
7
√1−（）
8
=√15．
8
△𝑆𝐴𝐵的面积为5√15，
可得1𝑆𝐴2𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝑀𝐵=5√15，即1𝑆𝐴2×√15=5√15，即𝑆𝐴=4√5．
228
𝑆𝐴与圆锥底面所成角为45∘，可得圆锥的底面半径为：
√2×4√5=2√10．
2
则该圆锥的侧面积：
1×4√10×4√5𝜋=40√2𝜋.
2
故答案为：
40√2𝜋.
利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．
本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
三、解答题
1．【答案】解：
（1）∵等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=−7，𝑆3=−15，
∴𝑎1=−7，3𝑎1+3𝑑=−15，解得𝑎1=−7，𝑑=2，
∴𝑎𝑛=−7+2（𝑛−1）=2𝑛−9；
（2）∵𝑎1=−7，𝑑=2，𝑎𝑛=2𝑛−9，
𝑛1222
∴𝑆𝑛=2（𝑎1+𝑎𝑛）=2（2𝑛−16𝑛）=𝑛−8𝑛=（𝑛−4）
−16，
∴当𝑛=4时，前𝑛项的和𝑆𝑛取得最小值为−16．
【解析】
（1）根据𝑎1=−7，𝑆3=−15，可得𝑎1=−7，3𝑎1+3𝑑=−15，求出等差数列{𝑎𝑛}的公差，然后求出𝑎𝑛即可；
𝑛122
（2）由𝑎1=−7，𝑑=2，𝑎𝑛=2𝑛−9，得𝑆𝑛=2（𝑎1+𝑎𝑛）=2（2𝑛−16𝑛）=𝑛−
8𝑛=（𝑛−4）2−16，由此可求出𝑆𝑛以及𝑆𝑛的最小值．
本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前𝑛项的和公式，属于中档题．
2．【答案】解：
（1）根据模型①：
，
计算𝑡=19时，
；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；根据模型②：
，
计算𝑡=9时，
；．
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；
（2）模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，
从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以，利用模型②的预测值更可靠些．
【解析】
（1）根据模型①计算𝑡=19时
的值，根据模型②计算𝑡=9时
的值即可；
（2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较，
即可得出模型②的预测值更可靠些．
本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．3．【答案】解：
（1）方法一：
抛物线𝐶：
𝑦2=4𝑥的焦点为𝐹（1,0），当直线的斜率不存在时，|𝐴𝐵|=4，不满足；
设直线𝐴𝐵的方程为：
𝑦=𝑘（𝑥−1），设𝐴（𝑥1,𝑦1），𝐵（𝑥2,𝑦2），
则，整理得：
𝑘2𝑥2−2（𝑘2+2）𝑥+𝑘2=0，则𝑥
+𝑥
=2（𝑘2+2）
，𝑥𝑥
=1，
12𝑘212
由|𝐴𝐵|=𝑥1
+𝑥2
+𝑝=2（𝑘2+2）+2=8，解得：
𝑘2=1，则𝑘=1，
𝑘2
∴直线𝑙的
升级会员 