行列式的若干解法.docx

1、行列式的若干解法行列式的若干解法一、定义法注意到“上下三角形”行列式的值等于对角线元素的乘积，由行列式的定义可直接计 算元素非常稀疏或本身就是上下三角形式的简单行列式.0 1 02 0 00 0 00 0 n(n 1)( n 2)解:Dn不为零的项一般表示为 ain-1 a2n 2玄“1咼“ n!,故Dn （ 1） 2 n!.二、行列式在初等变换下的性质行列式经初等行变换和初等列变换，行列式值的变化有一定规律：1 行列式的行列互换（即方阵转置） ，行列式不变；2互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3 行列式中某行各元同时乘以一个数等于行列式乘以这个数；4.行列式中某行（列）各元同时乘以一个

2、数，加到另外一行（列）上，行列式不变；5 行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；6.行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆成另两个行列 式的和；7 行列式各行或各列若线性相关，行列式为零.一些特征明显的行列式可以直接用行列式的性质求解.例2 一个n阶行列式Dn aij的元素满足aj aji,j 1,2, , n,则称为反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零 .证明：由aijaji 知 aiia，即a 0,i1,2,n .故行列式可表示为0a12a13a1 na120a23a2nDna13a230a3n5a1 na2na3n0由行列式的性质 A由行列式的定义，计算一般

3、n阶行列式的值的复杂度为O（ n!），对n 4的非稀疏方阵并不实用，因此有必要寻找更好的方法. 用行（列）初等变换将方阵化为上 （下）三角形状,是计算行列式的基本方法.原则上，每个行列式都可利用行列式在初等变换下的性质化为三角形行列式这个变解：这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算.根据行列式的性质，把第2,3,n列都加到第1列上，行列式不变，得Bmm(1)mn AnJ |Bmm112 3 10 2 0 4 11 2( 1)( 1)( 6) 12 0 0 10 20 0 0 1 00 0 0 0 6四、行列初等变换成上下三角形式但对于阶数高的行列式，高斯消元法仍然有

4、着较高的复杂度，且仅适用于数值行列式的计算，难以推广到含参数行列式. 因此，对元素排列较有规律的行列式， 应利用行列式的性质将其变形成三角形行列式，而不是直接使用解线性方程组的高斯消元法.abbLbbabLb例4计算n阶行列式DbbaLbMMMMbbbLa解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等,阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式应用行列式的 Laplace展开，把一个（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性递推关系式根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值， 便可递推求得所给 n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法.注意用此方法一定要看 Lap

5、lace展开后的行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法.例5证明如下行列式:0 L 0 010 1M M0 0LOOL 0 0M MM0 L 1证明：n 1 n 1Dn ,其中分析虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之.此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零,Dn 1与Dn具有相同这种行列式称三对角”行列式.从行列式的左上方往右下方看，即知 的结构.因此可考虑利用递推关系式计算.证明：按第1列展开，再将展开后的第二项中 n-1阶行列式按第一行展开有:Dn ( + )Dn-厂Dn-2这是由D-1和D-2

6、表示D的递推关系式.若由上面的递推关系式从 n阶逐阶往低阶递推， 计算较繁，注意到上面的递推关系式是由 n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：现可反复用低阶代替高阶，有:因此当 时(Dn- 3 Dn4)()nL L (1)(Dn- 3 Dn4)()nL L n 1 n 1由（1） （2）式可解得：Dn 证毕.例6计算行列式 Da1 x由此，对任意的正整数 n，六、加边法X1,X2,Xn相乘，第二行为 X2与X1,X2,Xn相乘， ,第n行为 Xn与 X1,X2,Xn相乘.这样就知道了该行列式每行有相同的因子 X1,X2,Xn,从而就可考虑此法.解：1,L , n)2X

7、n对行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同的行列式，在“加边法”的 框架下，有针对此种问题的特殊解法.1） 在行列式D的各元素中加上一个相同的元素 x,使新行列式D*除主对角线外，其余 元素均为0;2） 计算D*的主对角线各元素的代数余子式 Ai（i 1,2丄n）;3) DD*nX Aji,j 1例8 求下列n阶行列式的值:1 1 L1 1 LM M2 n 1 L1 2 n2 n 1M M1 1解：在Dn的各元素上加上（1）后，则有:七、拆行（列）法由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可 拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之

8、一为该行（列）的元素,a12La1na22La2n1MMan2Lann且满足aj aji ,i, j 1,2丄，n,对任意数b,求n阶行列式a11ba12bLa21ba22bLMMan1ban2bLam b a2n bM9nn b分析该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是常数 b,显然用拆行（列）法.可以首先举一些例子进行试验，发现待求行列式总是等于 1，因此求值问题转化为证明问题，对解题过程更有启发. 注意到条件中给出了一个反对称方阵的行列式， 但暂时不知道该如何应用，在解题过程中要时刻注意题目条件.解：有：A 1,且 A A*由 A 1= Ar|A|得: A_1A 1 A

9、A*= A* 又(A)1 (A1)(A) 1 (A)A*也为反对称矩阵又Aj（i, j 1,2丄，n）为A*的元素n有 Aj 0i 1,j 1n从而知：Dn 1 b Aj 1i 1,j 1点评求解到中途时，发现待解行列式的一部分变成了一个新行列式的代数余子式之和的形式，很容易联想到伴随方阵与逆矩阵行列式的关系， 此时应用题目中反对称方阵的条件、转置方阵的性质，易得结论.此题也提醒我们在解行列式时，应注意与后续章节(如矩阵)的关联.八、多项式法如果行列式D中有一些元素是变数 x (或某个参变数) 的多项式，那么可以将行列式 D 当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出 f(x)的互

10、素的一次因式，使得 f(x)与这些因式的乘积 g(x)只相差一个常数因子 C,比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C值, 便可求得D=Cg(x).具体地说，若行列式中存在两个同时含变量 x的行(列)，若x等于某一数ai时，使得两行相同，根据行列式的性质，可得 D=0 那么x ai便是一个一次因式.由此便可找出行列式(多项式)的若干因式如果行列式的最高次数与这些因式乘积的次数相等，那么行列式与这些因式的乘积便成比例(只差-一个常数因子)例10求如下行列式的值：xaa2Lanaxa2LanDn 1MMMMaa2a3Lanaa2a3Lx分析根据该行列式的特点，当 x a.i1,2,L,n时，有

11、Dn 10 .但大家认真看下，该行列式 Dn+1是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了n个一次因式x 3i. i 1,2丄，n,那么能否用多项式法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是n一样的，为： ai x，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式i 1ai x，这样行列式的次数就降了一次.i 1解:n令:1aa2L an1xa2LanDn 1MMMM1a2a3Lan1a2a3Lx显然当：x ai.i 1,2,L , n 时，Dn110.又Dn 1为n次多项式.I设Dn i C(x aj(x a?)L (x an)Dn 1 (x aj(xa2)L(xan)因此得：Dn

12、 1n(i 11ai x)Dn 1n(i 1ai x)(x aj(x a2)L (x a.)又Dn l中X的最高次项为xn，系数为1 ,C=1九、Van derm onde行歹U式法 范德蒙行列式：1111%X2X3Xn2222X1X2X3Xnn 1n 1n 1n 1X1X2X3Xn(x为)1 j i n例11计算n阶行列式(aA、nn 1)1 (a n 2)n1(an 1)2 (a n 2)n2DnMMa n 1a n 211(a八n 1n 1)(a n 2)n1L(a八n 2n 1)(a n 2)n 2LDnMMan 1a n 2L11Ln 1 n 1L (a 1) an 2 n 2L (

13、a 1) aM ML a 1 aL 1 1/ 八n 1 n 1(a 1) a(a 1) aM Ma 1 a1 1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式得:En ABEm BAn(n 1)Dn ( 1)Fn(n 1)(a n i) (a n j) ( 1产n(ii nj)分析从某种意义上说，范德蒙行列式也是上文中提到的一种“范式” 项式乘积的行列式都与范德蒙行列式存在某种关联.，很多类似多例12计算如下行列式的值:Dn分析显然若直接化为三角形行列式， 意到从第1列开始；每一列与它一列中有 n-1列开始乘以一1加到第n列，第n-2列乘以一1加到第n-1列，一直到第一列乘以一 加到第2

14、列然后把第1行乘以-1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多 了.计算很繁，n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第1解:所以我们要充分利用行列式的性质.注11 1 L21 1 LDn 3 1 1 LM M Mn 1 n 1 L1 11 1 n1 n 1M M1 1(i 2,L , n)r r;1 1 L0 0 L0 0 LM Mn 0 L1 10 nn 0M M0 01A - rnn1)1n(nn2(n1)n 1 n2(i 2,L,n)问题推广 本题中，显然是L n0L0010L0n20Ln0MMMMn 20L00n 1nL00(n 1)(n 2)(n)n 1 ( 1)n(n

15、1)100 inu m n 20n0 L0 LMn L0 L0 nn 0M M0 00 01,2，n-1,n这n个数在循环，那么如果是ao,a 1,，a n-2 ,a n-1 这 n个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”a。qan 1SdDnMMa2S3a1S2a0a2Lan 1a0a1L解：令A MMMa2aga4Laa2agL从而推广到一般，求下列行列式:a2 L an 1a1 L an 2M M (ai c,i 0,1(- ,n 1)a4 L aag L sban 1an 2Ma1a。首先注意，若u为n次单位根（即 U=1）,则有:1a0 3|Uln 1a

16、n 1uuan 1 a0Uln 1an 2u2 uM(这里Q un 1,用到u un1等)Ma2 a3uln 1aun 1 ua a2uln 1aua0 a1u Ln 1an 1u12au aulnan 1uuM(a。 ae L a. 1un 1)2 un 2 n 1a0u a1ul2n 3an 1uMn 1 na0u a1ul2n 2an 1un 1 u1uf(u) u2其中f (u) a0 a1u L an 1un 1Mn 1 ucos2k+isin2k为n次本原单位根n in:wn k1,w 1(0kn)A设w1互异且为单位根n有于是：,w, w2,L,w记：wjww2jM(n 1)jw

17、(j 0,1,L ,n 1)方阵 w(W,W,Wni)(f(W0)W,f(W)W1,L ,f(Wn1)Wn1)(W0, W1,L ,Wn 1)f(w0)Of (wn 1)1111wn 1W显然w (w0,W1,L ,wn 1)12 ww2(n 1 为范德蒙行列式1n 1WW(n 1)(n 1则由上述知：A wj f wi wj 故 Aw (Aw0, Aw1 ,L , Awn 1)w f f(w) L f(wn 1) Aw 0从而有：AwA Dn f(1) f(w) L f(wn1)又例12中，循环的方向与该推广在方向上相反 所以例12与相对应(n1)(n 2)而Dn与D：只相差(一1) 个符号

18、(n 1)( n 2)对单位根u w1,总有：f(u) 12u 3u2L nun 1f(1) 12 L nn(n 1)2f(u)uf (u) 12( n 1u u L u nf(u)n1 unn 1而又X1(Xwk) 1 x X2 LX1 k 1令X 1n 1则有：(1 wk)1+1+L +1 n从而当(%,印丄，寺1)(12丄，n)时nn 1 X从而有:(n 1)(n 2)(-1) 2n(n 1)n(n 1)1)Fn(n 1)1)hn(n 1)1)Fwk)1rTT w(n 1)(n 2)D： (-1) 2f(1) f(w) L f(wn1)与例12的答案一致.点评例12本身并不困难，但在“循

19、环行列式”的推广中，运用了多项式单位根的 相关理论，是比较难以想到的.由上述问题的求解可知，行列式的求值有时需要综合利用多 种方法，上例就用到了 Van dermo nde行列式和多项式理论.十、矩阵理论法有些行列式通过“矩阵”一章与行列式相关的某些等式，可以快速求解.引理：设A为n m型矩阵，B为m n型矩阵，En, Em分别表示n阶，m阶单位矩阵，则有 det(EnmBA) det(EmmBA)EnEn AB EmEnEn 01 同样两边取行列式有B BA Em0En AB Emn答案是肯定的.证:EnBEmEn 0B EmEn0ABEm即得:则当有:EnBEnEnBEnBAEmABeAE

20、nABA EnEmEnEm01-BA Em对A,B分别为1En|BA EmEmBAEm BAm n矩阵,En mAB0时，有:EmmBA1 时，有：EnmABEmmBA引理得证.例13计算如下行列式的值:解:令矩阵Aa iai3iMDna2a2a2Ma2aaiM3s933sas3sa2a2 ba2Ma23sas asasasanananMan banananMan baa2asLanaa23sL3nA bEnaa2asLanMM3sMaa23sLanbEnBn1 G n其中Bn11 1LT1,Cai则可得:bEnn那么根据上面所提到的引理可得:11M1a2 , L,anDna1 , a2 ，L

21、 ,anbEn BCbn 1 bCi n Bn 11又C1n Bn 1a1，还,L1 n，an aM i 11可得：Dnnn 1b ( a1b)点评例13还可用加边法解决，不过这里的解法显然更简洁，且其中蕴含的理论更 深刻.十一、高等数学法有些行列式可以看成函数，运用高等数学的求导、积分等方法解决. 例14求下列行列式的值：x y y . yz x y . yDn z z x . y Iz z z . x解：把Dn看作是x的函数(即x的n次多项式)，记作Dn(x)，按Taylor公式在z处z y y . yz z y . yDn(z)= z z z . yz z z . zz y 00 z y

22、0 00 0故有 Dk(z) z(z y)k 1 , k 1,2,., n (*)将Dn(z)对x求导，结果是n个行列式之和，而每个行列式是由 Dn(x)对每一行求导而其余各行不变得到的.例如，对第一行求导得到1 0 0 . 0z x y . yz z x . y Iz z z . x将上述行列式按第一行展开，得到 Dn ,(x) 类似地，对任意的第 k行求导，同样得到Dni(x) 因此 Dn(x) nDm(x).类似地有 Dn(x) (n 1)Dn 2(x)，,D2(x) 2Di(x) , Di (x) 1 (由于 Di(x) x )取x z处地导数，由(* )得Dn(z) nz(z y)n

23、 1, Dn (z) n(n 1)z(z y)n 2,Dnn (z) n(n 1).2z ,Dn(n)(z) n(n 1).1 n!代入Taylor展开式，得Dn(x) z(z y)n 1 nz(z y)n 2(x z).耳(x z)n1! n!当y z时，上式简化为Dn(x) 0 . 0 ny(x y)n 1 (x y)n (x y)n 1x (n 1)y当y z时，上式简化为z 口门口1 nV nDn(x) (z y) -(z y) (x z) . (x z) (x z)z y 1! z y(z y) (x z)n 丄(x z)nz y z yz(x y)n y(x z)nz y总结行列式问题变化多端，但方法和范式只有若干种.对于正常难度的问题，首先运用初等 变换的方式看能否容易地变成各种已知解法的“范式” ；若不易求出，则应对低阶情况下的行列式进行试验，尝试找出规律，再用数学归纳法证明，或利用初等变换、多项式法等，向 结论“靠拢”.