行列式的若干解法.docx
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行列式的若干解法
行列式的若干解法
一、定义法
注意到“上下三角形”行列式的值等于对角线元素的乘积，由行列式的定义可直接计算元素非常稀疏或本身就是上下三角形式的简单行列式.
010
200
000
00n
（n1）（n2）
解:
Dn不为零的项一般表示为ain-1a2n2玄“1咼“n!
故Dn
（1）2n!
.
二、行列式在初等变换下的性质
行列式经初等行变换和初等列变换，行列式值的变化有一定规律：
1•行列式的行列互换（即方阵转置），行列式不变；
2•互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；
3•行列式中某行各元同时乘以一个数等于行列式乘以这个数；
4.行列式中某行（列）各元同时乘以一个数，加到另外一行（列）上，行列式不变；
5•行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；
6.行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆成另两个行列式的和；
7•行列式各行或各列若线性相关，行列式为零.
一些特征明显的行列式可以直接用行列式的性质求解.
例2一个n阶行列式Dnaij的元素满足ajaj「i,j1,2,,n,则称为反对称
行列式，证明：
奇阶数行列式为零.
证明：
由aij
aji知aii
a，即
a0,i
1,2,
n.故行列式可表示为
0
a12
a13
a1n
a12
0
a23
a2n
Dn
a13
a23
0
a3n
5
a1n
a2n
a3n
0
由行列式的性质A
由行列式的定义，计算一般n阶行列式的值的复杂度为
O（n!
），对n>4的非稀疏方阵
并不实用，因此有必要寻找更好的方法.用行（列）初等变换将方阵化为上（下）三角形状,
是计算行列式的基本方法.
原则上，每个行列式都可利用行列式在初等变换下的性质化为三角形行列式•这个变
解：
这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算.
根据行列式的性质，把第2,3,…,
n列都加到第1列上，行列式不变，得
Bmm
（1）mnAnJ|Bmm
11231
02041
12
（1）
（1）（6）12•
00102
00010
00006
四、行列初等变换成上下三角形式
但对于阶数高的行列式，高斯消元法仍然有着较高的复杂度，且仅适用于数值行列式
的计算，难以推广到含参数行列式.因此，对元素排列较有规律的行列式，应利用行列式的
性质将其变形成三角形行列式，而不是直接使用解线性方程组的高斯消元法.
a
b
b
L
b
b
a
b
L
b
例4计算n阶行列式D
b
b
a
L
b
M
M
M
M
b
b
b
L
a
解：
这个行列式的特点是每行
（列）元素的和均相等,
阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式
应用行列式的Laplace展开，把一个
（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性递推关系式•根据递推关系式及某个低阶初始
行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列
式的方法称为递推法.
［注意］用此方法一定要看Laplace展开后的行列式是否具有较低阶的相同结构•如果
没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法.
例5证明如下行列式:
0L00
1
01
MM
00
LOO
L00
MMM
0L1
证明：
n1n1
Dn,其中
［分析］虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之.
此行列式的特点是：
除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零,
Dn1与Dn具有相同
这种行列式称"三对角”行列式.从行列式的左上方往右下方看，即知的结构.因此可考虑利用递推关系式计算.
证明：
按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有:
Dn（+）Dn-厂
Dn-2
这是由D-1和D-2表示D的递推关系式.若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可
考虑将其变形为：
现可反复用低阶代替高阶，有:
因此当时
'（Dn-3—Dn—4）
（）]nLL
（1）
'（Dn-3—Dn—4）
（）]nLL⑵
n1n1
由
（1）
（2）式可解得：
Dn证毕.
例6计算行列式D
a1x
由此，对任意的正整数n，
六、加边法
X1,X2,…,Xn相乘，第二行为X2与X1,X2,…,Xn相乘，,第n行为Xn与X1,X2,…,Xn相乘.这
样就知道了该行列式每行有相同的因子X1,X2,…,Xn,从而就可考虑此法.
解：
1,L,n）
2
Xn
对行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同的行列式，在“加边法”的框架下，有针对此种问题的特殊解法.
1）在行列式D的各元素中加上一个相同的元素x,使新行列式D*除主对角线外，其余元素均为0;
2）计算D*的主对角线各元素的代数余子式Ai（i1,2丄n）;
3）D
D*
n
XAj
i,j1
例8•求下列n阶行列式的值:
11L
11L
MM
2n1L
12n
2n1
MM
11
解：
在Dn的各元素上加上
（1）后，则有:
七、拆行（列）法
由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素,
a12
L
a1n
a22
L
a2n
1
M
M
an2
L
ann
且满足ajaji,i,j1,2丄，n,对任意数b,求n阶行列式
a11
b
a12
b
L
a21
b
a22
b
L
M
M
an1
b
an2
b
L
amba2nb
M
9nnb
［分析］该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是常数b,显然用
拆行（列）法.可以首先举一些例子进行试验，发现待求行列式总是等于1，因此求值问题
转化为证明问题，对解题过程更有启发.注意到条件中给出了一个反对称方阵的行列式，但
暂时不知道该如何应用，在解题过程中要时刻注意题目条件.
解：
有：
A1,且A'A
*
由A1=Ar
|A|
得:
A
_1
A1A
A*=A"
*'又（A）
1'
（A1）
（A）1（A）
A*也为反对称矩阵
又Aj（i,j1,2丄，n）为A*的元素
n
有Aj0
i1,j1
n
从而知：
Dn1bAj1
i1,j1
［点评］求解到中途时，发现待解行列式的一部分变成了一个新行列式的代数余子式
之和的形式，很容易联想到伴随方阵与逆矩阵行列式的关系，此时应用题目中反对称方阵的
条件、转置方阵的性质，易得结论.
此题也提醒我们在解行列式时，应注意与后续章节（如矩阵）的关联.
八、多项式法
如果行列式D中有一些元素是变数x（或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D当作一个多项式f（x），然后对行列式施行某些变换，求出f（x）的互素的一次因式，使得f（x）
与这些因式的乘积g（x）只相差一个常数因子C,比较f（x）与g（x）的某一项的系数，求出C值,便可求得D=Cg（x）.
具体地说，若行列式中存在两个同时含变量x的行（列），若x等于某一数ai时，使得
两行相同，根据行列式的性质，可得D=0•那么xai便是一个一次因式.由此便可找出行
列式（多项式）的若干因式•如果行列式的最高次数与这些因式乘积的次数相等，
那么行列
式与这些因式的乘积便成比例（只差-
一个常数因子）
•
例10求如下行列式的值：
x
a
a2
L
an
a
x
a2
L
an
Dn1
M
M
M
M
a
a2
a3
L
an
a
a2
a3
L
x
［分析］根据该行列式的特点，
当xa
.i
1,2,L
n时，有Dn1
0.但大家认真
看下，该行列式Dn+1是一个
n+1次多项式，
而这时我们只找出了
n个一次因式
x3i.i1,2丄，n,那么能否用多项式法呢？
我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是
n
一样的，为：
aix，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式
i1
aix，这样行列式的次数就降了一次.
i1
解:
n
令:
1
a
a2
Lan
1
x
a2
L
an
Dn1
M
M
M
M
1
a2
a3
L
an
1
a2
a3
L
x
显然当：
xai.
i1,2,L,n时，
Dn
1
1
0.
又Dn1'为n次多项式.
I
设DniC（xaj（xa?
）L（xan）
Dn1（xaj（x
a2）L
（x
an）
因此得：
Dn1
n
（
i1
1
aix）Dn1
n
（
i1
aix）（xaj（xa2）L（xa.）
又Dnl'中X的最高次项为xn，系数为1,
C=1
九、Vandermonde行歹U式法范德蒙行列式：
1
1
1
1
%
X2
X3
Xn
2
2
2
2
X1
X2
X3
Xn
n1
n1
n1
n1
X1
X2
X3
Xn
（x为）
1jin
例11计算n阶行列式
（a
A、n
n1）
1（an2）n
1
（a
n1）
2（an2）n
2
Dn
M
M
an1
an2
1
1
（a
八n1
n1）
（an2）n1
L
（a
八n2
n1）
（an2）n2
L
Dn
M
M
a
n1
an2
L
1
1
L
n1n1
L（a1）a
n2n2
L（a1）a
MM
La1a
L11
/八n1n1
（a1）a
（a1）a
MM
a1a
11
上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式得:
EnAB
EmBA
n（n1）
Dn
（1）F
n（n1）
[（ani）（anj）]（1产
n
（i
in
j）
［分析］从某种意义上说，范德蒙行列式也是上文中提到的一种“范式”项式乘积的行列式都与范德蒙行列式存在某种关联.
，很多类似多
例12计算如下行列式的值:
Dn
［分析］显然若直接化为三角形行列式，意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1列开始乘以一1加到第n列，第n-2列乘以一1加到第n-1列，一直到第一列乘以一加到第2列•然后把第1行乘以-1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了.
计算很繁，
n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第
1
解:
所以我们要充分利用行列式的性质.注
111L
211L
Dn311L
MMM
n1n1L
11
11n
1n1
MM
11
（i2,L,n）
rr;
11L
00L
00L
MM
n0L
11
0n
n0
MM
00
1
A-r
n
n
1）
1
n（n
n
2
（n
1）
n1n
2
（i2,L,n）〔
［问题推广］本题中，显然是
Ln
0
L
0
0
1
0
L
0
n
2
0
L
n
0
M
M
M
M
n2
0
L
0
0
n1
n
L
0
0
（n1）（n2）
（n）n1
（1）^^
n（n1）
1
0
0inumn2
0
n
0L
0L
M
nL
0L
0n
n0
MM
00
00
1,2，…，n-1,n这n个数在循环，那么如果是
ao,a1,…，an-2,an-1这n
个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？
把这种行列式称为“循环行列式”
a。
q
an1
Sd
Dn
M
M
a2
S3
a1
S2
a0
a2
L
an1
a0
a1
L
解：
令
AM
M
M
a2
ag
a4
L
a
a2
ag
L
从而推广到一般，求下列行列式:
a2Lan1
a1Lan2
MM（aic,i0,1（-,n1）
a4La
agLsb
an1
an2
M
a1
a。
首先注意，若u为n次单位根（即U=1）,则有:
1
a03|U
l
n1
an1u
u
an1a0U
l
n1
an2u
2u
M
（这里Qun1,用到uun
1等）
M
a2a3u
l
n1
a〔u
n1u
aa2u
l
n1
a°u
a0a1uL
n1
an1u
1
2
a°ua〔u
l
n
an1u
u
M
（a。
aeLa.1un1）
2u
n2n1
a0ua1u
l
2n3
an1u
M
n1n
a0ua1u
l
2n2
an1u
n1u
1
u
f（u）u2
其中f（u）a0a1uLan1un1
M
n1u
cos2k+isin2
k
为n次本原单位根
ni
n
:
w
nk
1,w1（0
k
n）
A
设w
1互异且为单位根
n
有
于是：
w,w2,L
w
记：
wj
w
w2j
M
（n1）j
w
（j0,1,L,n1）方阵w
（W°,W」,Wn
i）
（f（W0）W°,f（W）W1,L,f（Wn1）Wn1）
（W0,W1,L,Wn1）
f（w0）
O
f（wn1）
1
1
1
1
w
n1
W
显然w（w0,W1,L,wn1）
1
2w
w2（n1}为范德蒙行列式
1
n1
W
W（n1）（n1}
则由上述知：
Awjfwiwj故Aw（Aw0,Aw1,L,Awn1）
wf⑴f（w）Lf（wn1）A
w0
从而有：
Aw
ADnf
（1）f（w）Lf（wn1）
又例12中，循环的方向与该推广在方向上相反所以例12与
相对应
（n1）（n2）
而Dn与D：
只相差（一1）个符号
（n1）（n2）
对单位根uw
1,总有：
f（u）1
2u3u2
Lnun1
f
（1）1
2Ln
n（n1）
2
f（u）
uf（u）1
2（n1
uuLun
f（u）
n
1u
n
n1
而又X
1
（X
wk）1xX2L
X
1k1
令X1
n1
则有：
（1wk）
1+1+L+1n
从而当（%,印丄，寺1）（12丄，n）时
n
n1X
从而有:
（n1）（n2）
（-1）2
n（n1）
n（n1）
1）F
n（n1）
1）h
n（n1）
1）F
wk）
1
rTTw
（n1）（n2）
D：
（-1）2f
（1）f（w）Lf（wn1）
与例12的答案一致.
［点评］例12本身并不困难，但在“循环行列式”的推广中，运用了多项式单位根的相关理论，是比较难以想到的.由上述问题的求解可知，行列式的求值有时需要综合利用多种方法，上例就用到了Vandermonde行列式和多项式理论.
十、矩阵理论法
有些行列式通过“矩阵”一章与行列式相关的某些等式，可以快速求解.
引理：
设A为nm型矩阵，B为mn型矩阵，En,Em分别表示n阶，m阶单位矩
阵，则有det（EnmBA）det（EmmBA）
En
EnA
BEm
En
En0
1同样两边取行列式有
BBAEm
0
EnA
BEm
n
答案是肯定的.
证:
En
B
Em
En0
BEm
En
0
AB
Em
即得:
则当
有:
En
B
En
En
B
En
B
A
Em
AB
eA
En
AB
AEn
Em
En
Em
0
1
-BAEm
对A,B分别为
1
En|—BAEm
Em
BA
EmBA
mn矩阵,
EnmAB
0时，有:
Em
mBA
1时，有：
EnmAB
Em
mBA
引理得证.
例13计算如下行列式的值:
解:
令矩阵A
ai
ai
3i
M
Dn
a2
a2
a2
M
a2
a
ai
M
3s
93
3s
as
3s
a2
a2b
a2
M
a2
3s
asas
as
as
an
an
an
M
anb
an
an
an
M
anb
a
a2
as
L
an
a
a2
3s
L
3n
AbEn
a
a2
as
L
an
M
M
3s
M
a
a2
3s
L
an
bEn
Bn
1Gn
其中Bn1
11
L
T
1
C
ai
则可得:
bEn
n
那么根据上面所提到的引理可得:
1
1
M
1
a2,L
an
Dn
a1,a2，
L,an
bEnBC
bn1b
CinBn1
1
又C1
nBn1
a1，还〕
L
1n
，ana
Mi1
1
可得：
Dn
n
n1
b（a
1
b）
［点评］例13还可用加边法解决，不过这里的解法显然更简洁，且其中蕴含的理论更深刻.
十^一、高等数学法
有些行列式可以看成函数，运用高等数学的求导、积分等方法解决.例14求下列行列式的值：
xyy...y
zxy...y
Dnzzx...y
■■■■■■■■■■■■■■I
zzz...x
解：
把Dn看作是x的函数（即
x的n次多项式），记作Dn（x），按Taylor公式在z处
zyy...y
zzy...y
Dn（z）=zzz...y
zzz...z
zy0
0zy
00
00
故有Dk（z）z（zy）k1,k1,2,...,n（*）
将Dn（z）对x求导，结果是n个行列式之和，而每个行列式是由Dn（x）对每一行求导
而其余各行不变得到的.例如，对第一行求导得到
100...0
zxy...y
zzx...y
■■■■■■■■■■■■■■I
zzz...x
将上述行列式按第一行展开，得到Dn,（x）•类似地，对任意的第k行求导，同样得到
Dni（x）•因此Dn'（x）nDm（x）.类似地有Dn「（x）（n1）Dn2（x），……,
D2'（x）2Di（x）,Di'（x）1（由于Di（x）x）
取xz处地导数，由（*）得
Dn'（z）nz（zy）n1,Dn''（z）n（n1）z（zy）n2,……,Dn"n°（z）n（n1）...2z,
Dn（n）（z）n（n1）...1n!
代入Taylor展开式，得
Dn（x）z（zy）n1nz（zy）n2（xz）...耳（xz）n
1!
n!
当yz时，上式简化为
Dn（x）0...0ny（xy）n1（xy）n（xy）n1[x（n1）y]
当yz时，上式简化为
z口门口1nVn
Dn（x）[（zy）-（zy）（xz）...（xz）]（xz）
zy1!
zy
—[（zy）（xz）]n丄（xz）n
zyzy
z（xy）ny（xz）n
zy
总结
行列式问题变化多端，但方法和范式只有若干种.对于正常难度的问题，首先运用初等变换的方式看能否容易地变成各种已知解法的“范式”；若不易求出，则应对低阶情况下的
行列式进行试验，尝试找出规律，再用数学归纳法证明，或利用初等变换、多项式法等，向结论“靠拢”.
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