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1、最新考研高等数学模拟试题含参考答案2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：_ 姓名：_ 班级：_ 考号：_题号一总分得分一、解答题1求由参数式所确定的函数y对x的导数.解：2设，求.解：3若，求.解：令，则,即4试求过点(3，8)且与曲线相切的直线方程.解：曲线上任意一点处的切线斜率为.因此过(3，8)且与曲线相切的直线方程为：，且与曲线的交点可由方程组解得为(2，4)，(4，16)即为切点.故切线方程为：5求下列函数的高阶导数： 求； 求； 求.解： 6求由下列参数方程所确定函数的二阶导数： (为常数)； 设存在且不为零.解： .7利用麦克劳林公式，按乘幂展开函数.解：因为是的6次多项式

2、，所以计算出：，故8计算曲线y=cosh x上点(0，1)处的曲率.解：当x=0时，故 9设某种商品的需求弹性为0.8，则当价格分别提高10%，20%时，需求量将如何变化？解：因弹性的经济意义为：当自变量x变动1%，则其函数值将变动.故当价格分别提高10%，20%时，需求量将分别提高0.810%=8%，0.820%=16%.10设，且,在a，b内存在，证明：在（a，b）内至少有一点，使.证明：在a，b内存在，故在a，b上连续，在（a，b）内可导，且，故由罗尔定理知，使得，使得，又在上连续，在内可导，由罗尔定理知，使，即在（a，b）内至少有一点，使.11利用洛必达法则求下列极限： ; ; ; ;

3、 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .解： 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式. 原式=令原式=. 令，则原式=. 令，则原式=. 原式 原式 原式 令，则原式=. 令，则12讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:(1) 解：因为所以此函数在处连续.又，故此函数在处不可导.(2) 解：因为故函数在处连续.又,故函数在处可导.(3) 解：因为,故函数在x=1处连续.又，故函数在x=1处不可导.13计算下列导数：解：原式.解：原式14解:因为由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是 且 解得 .15求下列极限：解

4、：原式解：原式16讨论下列广义积分的敛散性：;解：原式=故该广义积分当时收敛；时发散.解：原式=综上所述，当k1时，该广义积分收敛，否则发散.17证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2.证明：如果，那么对于(使),存在x0，当时即 成立，显然与同进收敛或发散.如果，则有, 显然收敛, 则亦收敛.如果，则有，显然发散，则亦发散.习题五18 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：（1） r=a(1+cos)及r=2acos;解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=a2(11)（2） 及解：如图12，解方程组得cos=0或,即或(12)19 把长为10m

5、，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？解：如图19，区间x，x+dx上的一个薄层水，有微体积dV=106dx(19)设水的比重为1，则将这薄水层吸出池面所作的微功为dw=x60gdx=60gxdx于是将水全部抽出所作功为20判定下列级数的敛散性：(1) ；(2) ；(3) ；(4)；解：(1) 从而，故级数发散(2) 从而，故原级数收敛，其和为(3)此级数为的等比级数，且|q|1时，而收敛，故也收敛当a=1时，级数发散当0a1时，原级数收敛，当0a1时，原级数发散(6)由知而发散，由比较审敛法知发散22将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：(1)f (x) =

6、 ln(2+x)； (2)f (x) = cos2x；(3)f (x)=(1+x)ln(1+x)； (4)；(5)； (6)；解：(1)由于，(-1x1)故，(-2x2)因此，(-2x2)(2)由，(-x+)得所以，(-x+)(3)f (x) = (1+x)ln(1+x)由，(-1x1)所以 (-1x1)(4)由于 (-1x1)故 (-1x1)(5)(6)由，x(-,+)得，x(-,+)所以23计算对坐标的曲线积分：(1)，为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第、封限；(2)，为x2+y2+z2=1在第封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和

7、zOx平面部分解:(1)： 即其参数方程为： t：02故：(2)如图11-3所示图11-3=1+2+31： t：0，故又根据轮换对称性知24证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：(1)；(2)；(3)沿在右半平面的路径；(4)沿不通过原点的路径；证：(1)P=x-y，Q=y-x显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，故积分与路径无关取L为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L的方程为：y=x，x：01于是(2) P=6xy2-y3，Q=6x2y-3xy2显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，有，所以积分与路径无关取L为从(1,2)(1,4)(3,4)的折线，则(3)，P，Q在右半平面内有

8、连续偏导数，且，在右半平面内恒有，故在右半平面内积分与路径无关取L为从(1,1)到(1,2)的直线段，则(4) ，且在除原点外恒成立，故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关，取L为从(1,0)(6,0)(6,8)的折线，则25试证明：如果函数满足条件，那么这函数没有极值.证明：，令，得方程，由于 ，那么无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.26在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：证：方程两端对x求导：得代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.证：方程两端对x求导： ()得.()式两端对x再求导得将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.27求点（4，-3，5）到坐标原

9、点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故 .28在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则解得 即所求点为M（0，0，）.29把ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以，表示向量,和.解：30已知向量a和b互相垂直，且.计算：(1) |(ab)(ab)|；(2) |(3ab)(a2b)|.（1）(2) 31求过点M0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可

10、取为故平面方程为：x-1+7(y-7)-3(z +3)=0即x+7y-3z-59=032求下列直线与平面的交点：(1) , 2x+3y+z-1=0;(2) , x+2y-2z+6=0.解：（1）直线参数方程为代入平面方程得t=1故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为代入平面方程解得t=0.故交点为（-2，1，3）.33判断下列函数在原点O(0，0)处是否连续：(3) 解：(1)由于又，且,故.故函数在O(0,0)处连续.(2)故O(0,0)是z的间断点.(3)若P(x,y) 沿直线y=x趋于(0，0)点，则,若点P(x,y) 沿直线y=-x趋于(0，0)点，则故不存在.故函数z在O(

11、0，0)处不连续.34根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1）（2）解：（1）在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以（2）在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故35选择坐标变换计算下列各题：（1）（2）解：（1）令则积分区域变为：且故 (2) 坐标变换同（1）。36设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的重心。(1)D由所围成；(2)D是半椭圆形闭区域：;(3)D是介于两个圆r=acos, r=bcos (0ab)之间的闭区域。解：(1)闭区域D如图10-31所示。图10-31闭区域D的面积A为所求重心为.(2)因为闭区域

12、D对称于y轴，所以=0,又闭区域D的面积。.所以：所求重心为.(3)闭区域D如图10-32所示：图10-32由于闭区域D关于x轴对称，所以,又故所求重心为37已知求.解：当时，当时，当时， 故综上所述知38指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：;解：由得代入方程得故是方程的解.;解：代入方程得 .故是方程的解.;解：代入方程得 .故不是方程的解.解：代入方程得故是方程的解.39xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.40求下列各微分方程的通解：;解：分离变量,得 积分得 得 .解：分离变量，得 积分得 得通解： ;解：分离变量，得 积分得 得通解为 .;解：分离变量，得 积分得 得通解为 ;解：分离变量，得 积分得 得通解为 ;解： 积分得 得通解为 .;解：分离变量，得 积分得 即为通解.解：分离变量，得 积分得 得通解为： .41证明: 本章关于