最新考研高等数学模拟试题含参考答案.docx

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最新考研高等数学模拟试题含参考答案

2019最新考研数学模拟试题（含答案）

学校：

__________姓名：

__________班级：

__________考号：

__________

题号

一

总分

得分

一、解答题

1．求由参数式所确定的函数y对x的导数.

解：

2．设，求.

解：

3．若，求.

解：

令，则

即

4．试求过点（3，8）且与曲线相切的直线方程.

解：

曲线上任意一点处的切线斜率为.因此过（3，8）且与曲线相切的直线方程为：

，且与曲线的交点可由方程组解得

为（2，4），（4，16）即为切点.

故切线方程为：

5．求下列函数的高阶导数：

⑴求；⑵求；

⑶求.

解：

⑴

⑵

⑶

6．求由下列参数方程所确定函数的二阶导数：

⑴（为常数）；

⑵设存在且不为零.

解：

⑴

⑵

.

7．利用麦克劳林公式，按乘幂展开函数.

解：

因为是的6次多项式，所以

计算出：

，

故

8．计算曲线y=coshx上点（0，1）处的曲率.

解：

当x=0时，，

故

9．设某种商品的需求弹性为0.8，则当价格分别提高10%，20%时，需求量将如何变化？

解：

因弹性的经济意义为：

当自变量x变动1%，则其函数值将变动.

故当价格分别提高10%，20%时，需求量将分别提高0.8×10%=8%，0.8×20%=16%.

10．设，且,在[a，b]内存在，证明：

在（a，b）内至少有一点，使.

证明：

在[a，b]内存在，故在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且，故由罗尔定理知，，使得，，使得，又在上连续，在内可导，由罗尔定理知，，使，即在（a，b）内至少有一点，使.

11．利用洛必达法则求下列极限：

⑴;⑵;

⑶;⑷;

⑸;⑹;

⑺;⑻;

⑼;⑽;

⑾;⑿;

⒀;⒁;

⒂;⒃;

⒄.

解：

⑴原式=.

⑵原式=.

⑶原式=.

⑷原式=.

⑸原式=.

⑹原式=.

⑺原式=.

⑻原式=.

⑼原式

.

⑽原式=

令

∴原式=.

⑾令，则

∴原式=.

⑿令，则

∴原式=.

⒀原式

⒁原式

⒂原式

⒃令，则

∴原式=.

⒄令，则

12．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:

（1）

解：

因为所以此函数在处连续.

又

，故此函数在处不可导.

（2）

解：

因为故函数在处连续.

又,

故函数在处可导.

（3）

解：

因为

故函数在x=1处连续.

又

，故函数在x=1处不可导.

13．计算下列导数：

解：

原式.

解：

原式

14．解:

因为

由已知知，分式的分子与分母的次数相同，且x项的系数之比为，于是

且

解得.

15．求下列极限：

解：

原式

解：

原式

16．讨论下列广义积分的敛散性：

;

解：

原式=

故该广义积分当时收敛；时发散.

.

解：

原式=

综上所述，当k<1时，该广义积分收敛，否则发散.

17．证明：

无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2.

证明：

如果，那么对于（使）,存在x0，当时

即

成立，显然与同进收敛或发散.

如果，则有,显然收敛,则亦收敛.

如果，则有，显然发散，则亦发散.

习题五

18．求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：

（1）r=a（1+cosθ）及r=2acosθ;

解：

由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．

（11）

（2）及．

解：

如图12，解方程组

得cosθ=0或,

即或．

（12）

．

19．把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？

解：

如图19，区间[x，x+dx]上的一个薄层水，有微体积dV=10·6·dx

（19）

设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为

dw=x·60gdx=60gxdx．

于是将水全部抽出所作功为

．

20．判定下列级数的敛散性：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

解：

（1）

从而，故级数发散．

（2）

从而，故原级数收敛，其和为．

（3）此级数为的等比级数，且|q|<1，故级数收敛．

（4）∵，而，故级数发散．

21．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．

（1）；

（2）

（3）；（4）；

（5）；（6）．

解：

（1）∵

而收敛，由比较审敛法知收敛．

（2）∵

而发散，由比较审敛法知，原级数发散．

（3）∵

而收敛，故也收敛．

（4）∵

而收敛，故收敛．

（5）当a>1时，，而收敛，故也收敛．

当a=1时，，级数发散．

当0

综上所述，当a>1时，原级数收敛，当0

（6）由知而发散，由比较审敛法知发散．

22．将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：

（1）f（x）=ln（2+x）；

（2）f（x）=cos2x；

（3）f（x）=（1+x）ln（1+x）；（4）；

（5）；（6）；

解：

（1）

由于，（-1

故，（-2≤x≤2）

因此，（-2≤x≤2）

（2）

由，（-∞

得

所以

，（-∞

（3）f（x）=（1+x）ln（1+x）

由，（-1≤x≤1）

所以

（-1≤x≤1）

（4）

由于（-1≤x≤1）

故

（-1≤x≤1）

（5）

（6）由，x∈（-∞,+∞）

得，x∈（-∞,+∞）

所以

23．计算对坐标的曲线积分：

（1），Γ为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ封限；

（2），Γ为x2+y2+z2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分．

解:

（1）Γ：

即

其参数方程为：

t：

0→2π

故：

（2）如图11-3所示．

图11-3

Γ=Γ1+Γ2+Γ3．

Γ1：

t：

0→，

故

又根据轮换对称性知

24．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值：

（1）；

（2）；

（3）沿在右半平面的路径；

（4）沿不通过原点的路径；

证：

（1）P=x-y，Q=y-x．显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，故积分与路径无关．取L为从（0,0）到（1,1）的直线段，则L的方程为：

y=x，x：

0→1．于是

（2）P=6xy2-y3，Q=6x2y-3xy2．显然P，Q在xOy面内有连续偏导数，且，，有，所以积分与路径无关．

取L为从（1,2）→（1,4）→（3,4）的折线，则

（3），，P，Q在右半平面内有连续偏导数，且，，在右半平面内恒有，故在右半平面内积分与路径无关．

取L为从（1,1）到（1,2）的直线段，则

（4），，且在除原点外恒成立，故曲线积分在不含原点的区域内与路径无关，

取L为从（1,0）→（6,0）→（6,8）的折线，则

25．试证明：

如果函数满足条件，那么这函数没有极值.

证明：

，令，得方程，

由于，那么无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.

26．在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：

证：

方程两端对x求导：

得

代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.

证：

方程两端对x求导：

（）

得.

（）式两端对x再求导得

将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.

27．求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：

点（4，-3，5）到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.

故

.

28．在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.

解：

设此点为M（0，0，z），则

解得

即所求点为M（0，0，）.

29．把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，试以，表示向量,,和.

解：

30．已知向量a和b互相垂直，且.计算：

（1）|（a＋b）×（a－b）|；

（2）|（3a＋b）×（a－2b）|.

（1）

（2）

31．求过点M0（1,7,-3），且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.

解：

所求平面的法向量可取为

故平面方程为：

x-1+7（y-7）-3（z+3）=0

即x+7y-3z-59=0

32．求下列直线与平面的交点：

（1）,2x+3y+z-1=0;

（2）,x+2y-2z+6=0.

解：

（1）直线参数方程为

代入平面方程得t=1

故交点为（2，-3，6）.

（2）直线参数方程为

代入平面方程解得t=0.

故交点为（-2，1，3）.

33．判断下列函数在原点O（0，0）处是否连续：

（3）

解：

（1）由于

又，且,

故.

故函数在O（0,0）处连续.

（2）

故O（0,0）是z的间断点.

（3）若P（x,y）沿直线y=x趋于（0，0）点，则

若点P（x,y）沿直线y=-x趋于（0，0）点，则

故不存在.故函数z在O（0，0）处不连续.

34．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

（1）

（2）

解：

（1）在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶点的圆锥的体积，所以

（2）在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球的体积，故

35．选择坐标变换计算下列各题：

（1）

（2）

解：

（1）令则积分区域Ω变为Ω：

且

故

（2）坐标变换同

（1）。

36．设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的重心。

（1）D由所围成；

（2）D是半椭圆形闭区域：

;

（3）D是介于两个圆r=acosθ,r=bcosθ（0

解：

（1）闭区域D如图10-31所示。

图10-31

闭区域D的面积A为

所求重心为.

（2）因为闭区域D对称于y轴，所以=0,又闭区域D的面积。

.

所以：

所求重心为.

（3）闭区域D如图10-32所示：

图10-32

由于闭区域D关于x轴对称，所以,

又

故

所求重心为

37．已知求.

解：

当时，

当时，

当时，

故

综上所述知

38．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

;

解：

由得代入方程得

故是方程的解.

;

解：

代入方程得.

故是方程的解.

;

解：

代入方程得.

故不是方程的解.

解：

代入方程得

故是方程的解.

39．xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？

yOz面上的呢？

zOx面上的呢？

答:

在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0;

在zOx面上的点，y=0.

40．求下列各微分方程的通解：

;

解：

分离变量,得

积分得

得.

解：

分离变量，得

积分得

得通解：

;

解：

分离变量，得

积分得

得通解为.

;

解：

分离变量，得

积分得

得通解为

;

解：

分离变量，得

积分得

得通解为

;

解：

积分得

得通解为.

;

解：

分离变量，得

积分得

即为通解.

.

解：

分离变量，得

积分得

得通解为：

.

41．证明:

本章关于