微专题圆锥曲线几何条件的处理策略.docx

1、微专题圆锥曲线几何条件的处理策略微专题圆锥曲线几何条件的处理策略圆锥曲线处理心法：一、几何条件巧处理，事半功倍！ 二、谋定思路而后动，胸有成竹！ 三、代数求解不失分，稳操胜券！ 四、解后反思收货大，触类旁通 ！1.平行四边形处理策略几何性质代数实现对边平行斜率相等，或向量平行对边相等长度相等，横（纵）坐标差相等对角线互相平分中点重合例 1.（2015，新课标 2 理科 20）已知椭圆C : 9x2 + y2 = m2 (m 0) ,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ()证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（）若lm过

2、点 ( , m) ，延长线段OM 与C 交于点 P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，3若不能，说明理由7【答案】()详见解析；（）能， 4 - 或 4 + 7 【解析】试题分析：()题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点 A, B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦 AB 的中点和直线l 的斜率；设直线l 的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦 AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系；（）根据()中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得 M 坐标，利用 xP = 2xM 以及直线lm过点( , m) 列方程求 k 的

3、值3试题解析：()设直线l : y = kx + b (k 0, b 0) ， A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ， M (xM , yM ) M将 y = kx + b 代入9x2 + y2 = m2 得(k 2 + 9)x2 + 2kbx + b2 - m2 = 0 ，故 x= x1 + x2 = -2kb，k 2 + 9OMy = kx + b = 9b 于是直线OM 的斜率 k = yM = - 9 ，即 k k = -9 所以直线OM 的斜率与l 的斜M M k 2 + 9 x kMOM率的乘积为定值（）四边形OAPB 能为平行四边形因为直线l过点( , m) ，所以

4、l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是 k 0 ， k 3 m39 y = - 9 x,k 2m2由 () 得 OM 的 方 程 为y = -x 设 点 P 的 横 坐 标 为 x 由 k得 x 2 = ， 即P k 9x2 + y2 = m2 ,P 9k 2 + 81x = km mm(3 - k )mk (k - 3)P 将点( , m) 的坐标代入直线l 的方程得b = ，因此 xM = 2四边形OAPB 为3 k 2 + 937平行四边形当且仅当线段 AB 与线段OP 互相平分，即 x mk (k - 3)P = 2xM3于是km3(k3 k 2 + 9=+ 9)2 3(k 2 +

5、 9)解得 k1 = 4 -7 ， k2 = 4 + 因为 ki 0, ki 3 ， i = 1， 2 ，所以当l 的斜率为74 - 或4 + 7 时，四边形OAPB 为平行四边形考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系2.直角三角形处理策略几何性质代数实现（1）两边垂直斜率乘积为-1，或向量数量积为 0（2）勾股定理两点的距离公式（3）斜边中线性质（中线等于斜边一半）两点的距离公式x2例 2.椭圆a2y2+ = 1（ a b2 b 0 ）的离心率为35，长轴端点与短轴端点间的距离为 ，2（1）求椭圆的方程；x2 + 2 =y14（2）过点 D(0, 4) 的直线l 与椭圆C 交于两点

6、 E, F ， O 为坐标原点，若 OEF 为直角三角形，求直线l 的斜率解析：（2）根据题意，过点 D(0, 4) 满足题意的直线斜率存在，设l : y = kx + 4 ，联立 y = kx + 4 2 2+ x2 4y2 = 1消去 y 得(1+ 4k ) x+ 32kx + 60 = 0 ， = (32k)2 - 240(1+ 4k 2 ) = 64k 2 - 240令 0，解得 k 2 15 。4设 E, F 两点的坐标分别为(x , y ) ， (x , y ) ，则 x + x = -32k， x x = 601 1 2 21 2 1+ 4k 21 2 1+ 4k 2（1）当EO

7、F 为直角时， 所以 = 0 ，即 x x+y y= 0 ，所以(1+ k 2 )x x+4k(x+ x ) +16 = 0OE OF1 2 1 21 2 1 21915(1 + k 2 ) 32k 2所以 - + 4 = 0，解得 k = 1+ 4k 2 1+ 4k 2（2）当OEF 或OFE 为直角时，不妨设OEF 为直角，此时kOE k = -1，所以 y1 y1 - 4 = -1x1 x12 2 x 2 2 2 2即 x1= 4 y1 - y1 又 1 + y14= 1，将代入，消去 x1 得3y1+ 4 y1 - 4 = 0 ，解得 y1 = 3 或 y1 = -2（舍去）5将 y

8、= 2 代入得 x = 2 5 ，所以 k = y1 - 4 = ，经检验所得 k 值均符合题意， 11 3 1 3 x195综上， k 的值为k = 和k = 3.等腰三角形处理策略几何性质代数实现（1）两边相等两点的距离公式（2）两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反（3）三线合一（垂直且平分）垂直：斜率或向量 平分：中点坐标公式例 3.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(-（1）求动点 E 的轨迹C 方程；2, 0), B( 2, 0) , E 为动点，且直线 EA 与直线 EB 斜率之积为 - 1 ，2（2）设过点 F(1, 0) 的直线l 与椭圆C 交于两点 M , N ,若点 P

9、 在 y 轴上，且| PM |=| PN |，求点 P 的纵坐标的范围x + 2解析：（1）设动点 E 的坐标为(x, y) ，依题意可知y y = -1整理得2x2 + 2y2= 1(x 2) ，所以动点 E 的轨迹C 的方程为x2 + 2x - 2y2= 1(x 2)（2）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点 P 的纵坐标为 0，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y = k (x -1) ，将 y = k (x -1) 代入x2 + 2y2= 1，并整理得， (2k 2 +1)x2 - 4k 2 x + 2k 2 - 2 = 0 ， = 8k 2 + 8 04k 2 -2设M

10、(x1, y1 ) ， N(x2 , y2 ) ，则 x1 + x2 = 2k 2 +1 ， x1x2 = 2k 2 +12k 2 k 2k 2 k1设MN 的中点为Q ，则 xQ = 2k 2 +1 ， yQ = k (xQ -1) = - 2k 2 +1 ，所以Q( 2k 2 +1 , - 2k 2 + ) ，由题意可知 k 0 ，又直线 MN 的垂直平分线的方程为 y + k = -1 2k 2(x- ) ， 2 22k 2 +1 k 2k 2 +12令 x = 0 解得 y = k = 1 ，当 k 0 时，因为 2k + 1 2 ，所以0 y 1 = 2P 2k 2 +1 2k +

11、1kk P 421当 k yP - = -12 2，综上所述，点 P 的纵坐标的范围是-24, .224 44.菱形的处理策略6x2 y2例 4.椭圆 M：a2+ = 1（ a b 0 ）过点(0, -1) ，且离心率为e =b2 3（1）求椭圆 M 的方程；（2）是否存在菱形 ABCD ，同时满足以下三个条件：点 A 在直线 y = 2 上； 点 B, C, D 在椭圆M 上 ； 直线 BD 的斜率等于 1； 如果存在，求出点 A 的坐标，如果不存在，说明理由。 b = 1 c 6 x2解析：（1）由题意得 = 解得 a2 = 3， b2 = 1；所以椭圆 M 的方程为+ y2 = 1a33

12、a2 - b2 = c2（2）不存在满足题意的菱形 ABCD ，理由如下：假设存在满足题意的菱形 ABCD ，设直线 BD 的方程为 y = x + m ，且 B(x1, y1 ) ， D(x2 , y2 ) ，x2 + 3y2 = 3线段的中点Q(x , y ) ， A(t, 2) ，则由 可得 4 y2 - 2my + m2 - 3 = 0 ，由 = (2m)2 -16(m2 - 3) 00 0 y = x + m可得 -2 m 2 ，又 y + y = m ，所以 y= y1 + y2 = m ， 1 2 20 2 4若四边形 ABCD 为菱形，则Q是 AC 的中点， C 点的纵坐标 y

13、c= 2 y0- 2 = m - 2 -1 ，2又因为点C 在椭圆上，所以 yc 1与 yc -1 矛盾，故不存在满足题意的菱形 ABCD 。5.圆的处理策略几何性质代数实现（1）点在圆上点与直径端点向量数量积为零（2）点在圆外点与直径端点向量数量积为正数（3）点在圆内点与直径端点向量数量积为负数2例 5.已知椭圆M : x4+y23= 1，点 F1 ，C 分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点 F1 的直线l（不与 x 轴重合）交M 于 A, B 两点，（1）求M 的离心率及短轴长；（2）是否存在直线l ，使得点 B 在以线段 AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在， 说明理

14、由.32,bM（1）由 x2 + y2 = 1得a = = ，所以4 3的离心率为 1 ，短轴长为2 ；32x 2 y 2（2）方法一：由题意知C(-2, 0) ， F (-1, 0) 设 B(x , y )(-2 x 0所以B (0, )2，所以点 B 不在以 AC 为直径的圆上，即不存在直线l ，使得点 B 在以线段 AC 为直径的圆上。方法二、由题意可设直线的方程为 x = my -1， A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 )+ = x2 y2由 4 3 1可得(3m2 + 4) y2 - 6my - 9 = 0所 以 y + y =6m ， y y = -9 x = my -

15、1 21 2 3m2 + 421 2 3m2 + 4-9 6m所以CA CB = (x1 + 2, y1 ) (x2 + 2, y2 ) = (m+1) y1 y2 + m( y1 + y2 ) +1 = (m+1) + m +1 3m2 + 4 3m2 + 4 -5 CA CB 3m2 + 4= b 0)的左、右焦点分别是 F1 , F2 ，离心率为2，过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1。（）求椭圆C 的方程；（x2 + 2y4= 1）（）点 P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1 , PF2 ，设F1PF2 的角平分线 PM 交C 的长轴于点M (m, 0

16、)，求 m 的取值范围； - 3 m 32 233解析：（）法一：由（）知 F1 (- 3, 0) ， F2 ( 3, 0) 则| MF1 |= + m ， | MF2 |= - m ，333 + m3 + m + 3 - m2( 3 + m)3由椭圆定义得| PF1 | + | PF2 |= 4 ， 2 - | PF1 | 2 + 因为 PM 平分F1PF2 ，3 + m3 - m所以 | PF1 | = | MF1 | =，则 | PF1 | =，所以| PF |= 3 + m 4 =| PF | | MF | PF | + | PF |1 2 32 2 1 232( 3 + m)33所以

17、 2 - 2 + ，即 - 3 m 3 2 2 PF1 PM PF2 PM PF1 PM PF2 PM法二：由题意可知， = ，即 = ，| PF1 | PM | | PF2 | PM | | PF1 | | PF2 |设 P(x , y ) ,其中 x 2 4，将向量坐标代入并化简得 m(4x 2 -16) = 3x 3 -12x，因为 x 2 4，所以 m = 3 x0 0 03 30 0 0 0 4 0而 x0 (-2, 2) ，所以 m (- 2 , 2)【跟踪变式训练】1.【转化为平行的处理】【2016 高考新课标 3 理数】已知抛物线C ： y2 = 2x 的焦点为 F ，平行于

18、x 轴的两条直线l1 , l2 分别交C 于 A, B 两点，交C 的准线于 P，Q两点（I）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ的中点，证明 AR FQ ；（II）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.【答案】（）见解析；（） y2 = x -1a - b1 1 1（）设l 与 x 轴的交点为 D(x1 ,0) ，则 SABF = 2 b - a FD = 2 b - a x1 - 2 , SPQF = 2 .1由题设可得 b - a x - 1 =a - b，所以 x= 0 （舍去）， x= 1. 设满足条件的 AB 的中点为 E(x, y) .2 1

19、2 2 1 1当 AB 与 x 轴不垂直时，由 k AB = kDE 可得2 =a + by x -1(x 1) .而 a + b = y ，所以 y2 = x -1(x 1) .2当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合，所以，所求轨迹方程为 y2 = x -1. .12 分2.【转化为等腰三角形处理】【2016 高考浙江理数】（本题满分 15 分）如图，设椭圆x2+ 2a2 y= 1（a1）.（I）求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用 a、k 表示）；（II）若任意以点 A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围.2a2 k【答案】（I）1+ a

20、2 k 2 ；（II） 0 0 ， k1 k2 2a2 k1 + k 22a2 k1 + k 22a2 k1 + k 22a2 k1 + k 2由（）知， AP= 1 1 ， AQ = 2 2 ，故 1 1 = 2 2 ，1+ a2k 21+ a2k 21+ a2k 21+ a2k 21 2 1 21 2 1 2 1 2所以(k 2 - k 2 )1+ k 2 + k 2 + a2 (2 - a2 )k 2k 2 = 0 由于 k k ， k ， k 0 得1+ k 2 + k 2 + a2 (2 - a2 )k 2 k 2 = 0 ，因此( 1+1)( 1+1) = 1+ a2 (a2 -

21、2) ， 1 2 1 21 2 1 2 k 2 k 21 22因为式关于 k ， k 的方程有解的充要条件是1+ a2 (a2 - 2) 1，所以 a 1 22因此，任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1 a ，a2 -12c由e = = 得，所求离心率的取值范围为0 b 0 )+22a b2的离心率为2，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC=2AB，求直线 AB 的方程.【答案】（1）x2 + 2y2= 1（2）y

22、= x -1或y = -x + 12【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为2，二是右焦点 F 到左准线 l的距离为 3，解方程组即得（2）因为直线 AB 过 F，所以求直线 AB 的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据 PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出 AB 两点坐标，利用两点间距离公式求出 AB 长，再根据中点坐标公式求出 C 点坐标，利用两直线交点求出 P 点坐标，再根据两点间距离公式求出 PC 长，利用 PC=2AB 解出直线 AB 斜率,写出直线 AB 方程.试题解析：（1）由题意，得 c

23、222a= 且c + = 3，解得a = ， c = 1，则b = 1，a 2 c所以椭圆的标准方程为x2 + 2y2= 1（2）当 AB x 轴时， AB = 2 ，又CP = 3 ，不合题意当 AB与 x 轴不垂直时，设直线 AB的方程为 y = k (x -1)， A (x1 , y1 )， B (x2 , y2 )，将 AB的方程代入椭圆方程，得(1+ 2k 2 )x2 - 4k 2 x + 2 (k 2 -1)= 0 ，则 x =2k 2 2 (1 + k 2 )， C 的坐标为2k 22 ,-k 2 ，且1,21+ 2k 2 1+ 2k1+ 2k AB =2 2 (1 + k 2

24、)(x - x + y - y)2(2 1)22 1(1+k x - x2)(2 1)2= = 1+ 2k 2 若 k = 0 ，则线段 AB的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意k 1 2k 2 从而 k 0 ，故直线PC的方程为 y + 1+ 2k 2 = - k x - 1+ 2k 2 ，则P 点的坐标为 -2,5k 2 + 2 ，从而PC =2 (3k 2 +1)1 + k 2k (1+ 2k 2 ) k (1+ 2k 2 )( ) 2 3k 2 +1k (1+ 2k 2 )因为PC = 2AB ，所以4 (1 + k 2 )1 + k 22= 1+ 2k 2，解得 k = 1此时直线 AB方程为 y = x -1或 y = -x + 1【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系x24【圆的处理】.设O 为坐标原点，已知椭圆C1 : a2+y2 = 1(a b 0 )的离心率为3b2 2，抛物线C2: x2 = -ay 的1准线方程为 y = （1）求椭圆C1 和抛物线C2 的方程；（2）设过定点 M (0, 2)的直线t 与椭圆C1 交于不同的两点2P, Q ，若O 在以