微专题圆锥曲线几何条件的处理策略.docx

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微专题圆锥曲线几何条件的处理策略

微专题圆锥曲线几何条件的处理策略

圆锥曲线处理心法：

一、几何条件巧处理，事半功倍！

二、谋定思路而后动，胸有成竹！

三、代数求解不失分，稳操胜券！

四、解后反思收货大，触类旁通！

1.平行四边形处理策略

几何性质

代数实现

对边平行

斜率相等，或向量平行

对边相等

长度相等，横（纵）坐标差相等

对角线互相平分

中点重合

例1.（2015，新课标2理科20）已知椭圆C:

9x2+y2=m2（m>0）,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

（Ⅰ）证明：

直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l

m

过点（,m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？

若能，求此时l的斜率，

3

若不能，说明理由．

7

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，4-或4+7．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：

设端点A,B的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB的中点和直线l的斜率；设直线l的方程同时和椭圆方程联立，

利用韦达定理求弦AB的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中结论，设直线OM方程并与椭圆方程联

立，求得M坐标，利用xP=2xM以及直线l

m

过点（,m）列方程求k的值．

3

试题解析：

（Ⅰ）设直线l:

y=kx+b（k≠0,b≠0），A（x1,y1），B（x2,y2），M（xM,yM）．

M

将y=kx+b代入9x2+y2=m2得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，故x

=x1+x2=-

2

kb

，

k2+9

OM

y=kx+b=9b．于是直线OM的斜率k=yM=-9，即k

⋅k=-9．所以直线OM的斜率与l的斜

MMk2+9xk

M

OM

率的乘积为定值．

（Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形．

因为直线l

过点（,m），所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3．

m

3

9⎧y=-9x,

k2m2

由（Ⅰ）得OM的方程为

y=-

x．设点P的横坐标为x．由⎪k

得x2=，即

P⎨

k⎪⎩9x2+y2=m2,

P9k2+81

x=±kmm

m（3-k）

mk（k-3）

P．将点（,m）的坐标代入直线l的方程得b=，因此xM=2

．四边形OAPB为

3k2+9

3

7

平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xmk（k-3）

P=2xM

3

．于是

±km

3（k

3k2+9

=

+9）

2⨯

3（k2+9）

．解得k1=4-

7，k2=4+．因为ki>0,ki≠3，i=1，2，所以当l的斜率为

7

4-或4+7时，四边形OAPB为平行四边形．

考点：

1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．

2.直角三角形处理策略

几何性质

代数实现

（1）两边垂直

斜率乘积为-1，或向量数量积为0

（2）勾股定理

两点的距离公式

（3）斜边中线性质（中线等于斜边一半）

两点的距离公式

x2

例2.椭圆

a2

y2

+=1（a>>

b2b0）的离心率为

3

5

，长轴端点与短轴端点间的距离为，

2

（1）求椭圆的方程；

x2+2=

y

1

4

（2）过点D（0,4）的直线l与椭圆C交于两点E,F，O为坐标原点，若∆OEF为直角三角形，求直线l的斜率解析：

（2）根据题意，过点D（0,4）满足题意的直线斜率存在，设l:

y=kx+4，联立

⎧y=kx+4

⎪22

+

⎨x2

⎪⎩4

y2=1

消去y得（1+4k）x

+32kx+60=0，

∆=（32k）2-240（1+4k2）=64k2-240

令∆>0，解得k2>15。

4

设E,F两点的坐标分别为（x,y），（x,y），则x+x=-

32k

，xx=60

1122

121+4k2

121+4k2

（1）当∠EOF为直角时，所以∙=0，即xx

+

yy

=0，所以（1+k2）xx

+

4k（x

+x）+16=0

OEOF

1212

1212

19

15（1+k2）32k2

所以-+4=0，解得k=±

1+4k21+4k2

（2）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，此时kOE

∙k=-1，所以y1∙y1-4=-1

x1x1

22x2222

即x1

=4y1-y1

①又1+y1

4

=1②，将①代入②，消去x1得3y1

+4y1-4=0，解得y1=3或y1=-2（舍去）

5

将y=2代入①得x=±25，所以k=y1-4=±，经检验所得k值均符合题意，

1

1313x

19

5

综上，k的值为k=±和k=±

3.等腰三角形处理策略

几何性质

代数实现

（1）两边相等

两点的距离公式

（2）两角相等

底边水平或竖直时，两腰斜率相反

（3）三线合一（垂直且平分）

垂直：

斜率或向量平分：

中点坐标公式

例3.在直角坐标系xOy中，已知点A（-

（1）求动点E的轨迹C方程；

2,0）,B（2,0）,E为动点，且直线EA与直线EB斜率之积为-1，

2

（2）设过点F（1,0）的直线l与椭圆C交于两点M,N,若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的范围

x+2

解析：

（1）设动点E的坐标为（x,y），依题意可知

y∙y=-

1

整理得

2

x2+2

y

2

=1（x≠±

2），

所以动点E的轨迹C的方程为

x2+2

x-2

y

2

=1（x≠±2）

（2）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），将y=k（x-1）代入

x2+2

y

2

=1，

并整理得，（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，∆=8k2+8>0

4k2-2

设M（x1,y1），N（x2,y2），则x1+x2=2k2+1，x1x2=2k2+1

2k2k2k2k

1

设MN的中点为Q，则xQ=2k2+1，yQ=k（xQ-1）=-2k2+1，所以Q（2k2+1,-2k2+），

由题意可知k≠0，又直线MN的垂直平分线的方程为y+k=-

12k2

（x-），

22

2k2+1k2k2+1

2

令x=0解得y=k=1，当k>0时，因为2k+1≥2

，所以0

P2k2+12k+1

k

kP4

2

1

当k<0时，因为2k+≤-2

k

，所以0>yP≥-=-

1

22

，综上所述，点P的纵坐标的范围是[-

2

4

].

2

2

44

4.菱形的处理策略

6

x2y2

例4.椭圆M：

a2

+=1（a>b>0）过点（0,-1），且离心率为e=

b23

（1）求椭圆M的方程；

（2）是否存在菱形ABCD，同时满足以下三个条件：

①点A在直线y=2上；②点B,C,D在椭圆M上；③直线BD的斜率等于1；如果存在，求出点A的坐标，如果不存在，说明理由。

⎧b=1

⎪c6x2

解析：

（1）由题意得⎪=解得a2=3，b2=1；所以椭圆M的方程为

+y2=1

a

3

3

⎨

⎪

⎪⎩a2-b2=c2

（2）不存在满足题意的菱形ABCD，理由如下：

假设存在满足题意的菱形ABCD，设直线BD的方程为y=x+m，且B（x1,y1），D（x2,y2），

⎧x2+3y2=3

线段的中点Q（x,y），A（t,2），则由⎨可得4y2-2my+m2-3=0，由∆=（2m）2-16（m2-3）>0

00⎩y=x+m

可得-2

=y1+y2=m，

122

024

若四边形ABCD为菱形，则Q是AC的中点，C点的纵坐标yc

=2y0

-2=m-2<-1，

2

又因为点C在椭圆上，所以yc≥1与yc<-1矛盾，故不存在满足题意的菱形ABCD。

5.圆的处理策略

几何性质

代数实现

（1）点在圆上

点与直径端点向量数量积为零

（2）点在圆外

点与直径端点向量数量积为正数

（3）点在圆内

点与直径端点向量数量积为负数

2

例5.已知椭圆M:

x

4

+

y2

3

=1，点F1，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点F1的直线l（不与x轴

重合）交M于A,B两点，

（1）求M的离心率及短轴长；

（2）是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

3

2,b

M

（1）由x2+y2=1得a==，所以

43

的离心率为1，短轴长为2；

3

2

x2y2

（2）方法一：

由题意知C（-2,0），F（-1,0）设B（x,y）（-2

100043

2212

因为BF1∙BC=（-1-x0,-y0）∙（-2-x0,-y0）=2+3x0+x0+y0=4x0

+3x0+5>0

所以∠B∈

π

（0,）

2

，所以点B不在以AC为直径的圆上，即不存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上。

方法二、由题意可设直线的方程为x=my-1，A（x1,y1），B（x2,y2）

+=

⎧x2y2

由⎪431

可得（3m2+4）y2-6my-9=0

所以y+y=

6m，yy=-9

⎨

⎪⎩x=my-1

2

123m2+4

2

123m2+4

-96m

所以CA∙CB=（x1+2,y1）∙（x2+2,y2）=（m

+1）y1y2+m（y1+y2）+1=（m

+1）+m+13m2+43m2+4

-5CA∙CBππ

3m2+4

=<0，因为cosC=

|CA∙CB|

∈（-1,0）所以∠C∈（,π），所以∠B∈（,π），所以点B不在以AC为

22

直径的圆上，即不存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上。

6.角的处理策略

几何性质

代数实现

（1）锐角，直角，钝角

角的余弦（向量数量积）的符号

（2）倍角，半角，平分角

角平分线性质，定理（夹角到角公式）

（3）等角（相等或相似）

比例线段或斜率

3

x2y2

例6.【2013.山东，理科22】椭圆C：

+

a2b2

=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1,F2，离心率为

2

，过F1

且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；（

x2+2

y

4

=1）

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点

M（m,0），求m的取值范围；-3

22

3

3

解析：

（Ⅱ）法一：

由（Ⅰ）知F1（-3,0），F2（3,0）则|MF1|=+m，|MF2|=-m，

3

3

3+m

3+m+3-m

2（3+m）

3

由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=4，2-<|PF1|<2+因为PM平分∠F1PF2，

3+m

3-m

所以|PF1|=|MF1|=



，则|PF1|=

，所以|PF|=3+m⨯4=

|PF||MF|

|PF|+|PF|

123

2212

3

2（3+m）

3

3

所以2-<<2+，即-3

PF1∙PMPF2∙PM

PF1∙PMPF2∙PM

法二：

由题意可知，=，即=，

|PF1||PM||PF2||PM||PF1||PF2|

设P（x,y）,其中x2≠4，将向量坐标代入并化简得m（4x2-16）=3x3-12x

，因为x2≠4，所以m=3x

000

33

000040

而x0∈（-2,2），所以m∈（-2,2）

【跟踪变式训练】

1.【转化为平行的处理】【2016高考新课标3理数】已知抛物线C：

y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点，交C的准线于P，Q两点．

（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；

（II）若∆PQF的面积是∆ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）y2=x-1．

a-b

111

（Ⅱ）设l与x轴的交点为D（x1,0），则S∆ABF=2b-aFD=2b-ax1-2,S∆PQF=2.

1

由题设可得b-ax-1=

a-b

，所以x

=0（舍去），x

=1.设满足条件的AB的中点为E（x,y）.

212211

当AB与x轴不垂直时，由kAB=kDE可得

2=

a+b

yx-1

（x≠1）.而a+b=y，所以y2=x-1（x≠1）.

2

当AB与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为y2=x-1.....12分

2.【转化为等腰三角形处理】【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆

x2

+2

a2y

=1（a＞1）.

（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；

（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

2a2k

【答案】（I）

1+a2k2⋅

；（II）0

2

2

1+k2

⎧y=kx+1

⎪

2222

【解析】（Ⅰ）设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP，由⎨x2

1+k2

2a2k

1+k2

⎪⎩a2

+y2=1

得（1+ak）x

+2akx=0，

故x=0，x=-

2a2k

．因此AP=

x-x=⋅．

121+a2k2

121+a2k2

AP=AQ．

（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2．

2a2k

1+k2

2a2k

1+k2

2a2k

1+k2

2a2k

1+k2

由（Ⅰ）知，AP

=11，AQ=22，故11=22，

1+a2k2

1+a2k2

1+a2k2

1+a2k2

1212

121212

所以（k2-k2）⎡⎣1+k2+k2+a2（2-a2）k2k2⎤⎦=0．

由于k≠k，k，k>0得1+k2+k2+a2（2-a2）k2k2=0，因此（1

+1）（1

+1）=1+a2（a2-2），①

1212

1212

k2k2

12

2

因为①式关于k，k的方程有解的充要条件是1+a2（a2-2）>1，所以a>．

12

2

因此，任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1

a2-1

2

c

由e==得，所求离心率的取值范围为0

aa2

x2

3【转化为等腰三角形处理】【2015江苏高考，18】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2

y=1（a>b>0）

+

2

2

ab

2

的离心率为

2

，且右焦点F到左准线l的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

【答案】

（1）

x2+2

y

2

=1

（2）

y=x-1或

y=-x+1．

2

【解析】试题分析

（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：

一是离心率为

2

，二是右焦点F到左准线l

的距离为3，解方程组即得

（2）因为直线AB过F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB

列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离

公式求出PC长，利用PC=2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程.

试题解析：

（1）由题意，得c

2

2

2

a

=且c+=3，解得a=，c=1，则b=1，

a2c

所以椭圆的标准方程为

x2+2

y

2

=1．

（2）当AB⊥x轴时，AB=2，又CP=3，不合题意．

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x1,y1），B（x2,y2），将AB的方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，

则x=

⎛

2k2±2（1+k2）

，C的坐标为ç

2k2

2,

-k⎫

2⎪，且

1,2

1+2k2

⎝1+2k

1+2k⎭

AB=

22（1+k2）

（

x-x+y-y

）

2

（

21

）

2

21

（

1

+kx-x

2

）

（

21

）

2

==1+2k2．

若k=0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．

k1⎛2k2⎫

⎝⎭

从而k≠0，故直线PC的方程为y+1+2k2=-kçx-1+2k2⎪，

⎛

则P点的坐标为ç-2,

5k2+2

⎫

⎪，从而PC=

2（3k2+1）

1+k2

k（1+2k2）

．

çk（1+2k2）⎪

（）

⎝⎭

23k2+1

k（1+2k2）

因为PC=2AB，所以

4（1+k2）

1+k2

2

=1+2k2

，解得k=±1．

此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1．

【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系

x2

4【圆的处理】.设O为坐标原点，已知椭圆C1:

a2

+

y2=1（a>b>0）的离心率为

3

b22

，抛物线C2

:

x2=-ay的

1

准线方程为y=．

（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；

（2）设过定点M（0,2）的直线t与椭圆C1交于不同的两点

2

P,Q，若O在以