空间中的平行关系.docx

1、空间中的平行关系84空间中的平行关系1空间中直线与平面之间的位置关系(1)直线在平面内，则它们_公共点；(2)直线与平面相交，则它们_公共点；(3)直线与平面平行，则它们_公共点直线与平面相交或平行的情况统称为_2直线与平面平行的判定和性质(1)直线与平面平行的判定定理平面外_与此平面内的_平行，则该直线与此平面平行即线线平行线面平行用符号表示：_(2)直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的_与该直线_即线面平行线线平行用符号表示：_3平面与平面之间的位置关系(1)两个平面平行，则它们_；(2)两个平面相交，则它们_，两个平面垂直是相交的一种特殊情况4

2、平面与平面平行的判定和性质(1)平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条_与另一个平面平行，则这两个平面平行用符号表示：_推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行即l，l.平行于同一个平面的两个平面平行即，.(2)平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线_即面面平行线线平行用符号表示：_如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面用符号表示：_如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面用符号表示：_自查自纠1(1)有无数个(2)有且只有一个(3)

3、没有直线在平面外2(1)一条直线一条直线a，b，且aba(2)交线平行a，a，bab3(1)没有公共点(2)有一条公共直线4(1)相交直线a，b，abP，a，b(2)平行，a，bab，aa，ll 已知平面，和直线a，b，a，b，且ab，则与的关系是()A平行 B相交C平行或相交 D垂直解：可在平面内作一直线c，且c与a相交，若c平行于面，则根据面面平行的判定定理知；若c与面相交，则面与相交故选C. (2015北京)设，是两个不同的平面，m是直线且m.“m”是“”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：如果m，m，那么与可能平行也可能相交；反过来，如

4、果m，那么m，所以m是的必要不充分条件故选B. 若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交解：因为直线l不平行于平面，且l，所以l与相交观察各选项，易知A，C，D都是错误的故选B. (2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)解：由mn，m，可得n或n在内，当n时，与可能相交，也可能平行，故错易知都正确故填. 如图所示的四个正方体图形中，A

5、，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)解：在中，由于平面MNP与AB所在的侧面平行，所以AB平面MNP；在中，由于AB与以MP为中位线的三角形的底边平行，所以ABMP，又因为MP平面MNP，AB平面MNP.所以AB平面MNP.中，只须平移AB，即可发现AB与平面MNP相交故填.类型一线线平行(2017大冶市实验高中月考)如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是所在棱的中点，试判断EF和GH在原正方体中的位置关系，并加以证明解：在原正方体中EFGH.证明如下：如图所示，将展开图还原为正方体ABCDA1B1C1

6、D1，则E，F，G，H分别是棱A1D1，A1B1，BC，CD的中点，连接B1D1，BD，则EFB1D1，GHBD.又因为B1D1BD，所以EFGH.【点拨】证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质定理来证明；将展开图还原成正方体，借助正方体模型，有利于我们看清问题(2017武汉市育才高级中学月考)已知平面平面，直线a，B，则在内过B点的所有直线中()A不存在与a平行的直线B存在无数条与a平行的直线C存在唯一一条与a平行的直线D存在两条与a平行的直线解：易知过直线a和点B有且只有一个平面，该平面与平面有且只有一条交线，此交线与a

7、平行故选C.类型二线面平行(2017渤海大学附属高级中学月考)在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBCAD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点求证：(1)AP平面BEF；(2)GH平面PAD.证明：(1)连接EC，因为ADBC，BCAD，E为AD的中点，所以BCAE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点，又因为F是PC的中点，所以FOAP，又FO平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FHPD，又PD平面PAD，FH平面PAD，所以FH平面PAD.又因为O是BE的中

8、点，H是CD的中点，所以OHAD，又因为AD平面PAD，OH平面PAD，所以OH平面PAD.又FHOHH，所以平面OHF平面PAD.又因为GH平面OHF，所以GH平面PAD.【点拨】要证明直线和平面平行，通常有两种方法：(1)利用线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；(2)由面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行第(1)种方法是常用方法，一般需要连接特殊点、画辅助线，再证明线线平行，从而得到线面平行第(2)种方法常用于非特殊位置的情形(2016全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC

9、3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积解：(1)证明：由已知得AMAD2，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又AD BC，故TNAM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.类型三面面平行(2017武汉市

10、汉阳一中月考)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.证明：(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是A1B1C1的中位线，则GHB1C1.又因为B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四点共面(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EFBC，因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1AB，所以A1GEB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1EGB.因为A1E平面BCHG，G

11、B平面BCHG，所以A1E平面BCHG.又因为A1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.【点拨】(1)判定面面平行的主要方法：利用面面平行的判定定理；线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)(2)面面平行的性质定理：两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面；若一平面与两平行平面相交，则交线平行(3)利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行(2017武汉市新洲区第一中学月考)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1上的点，且B1EC1F，求证：(1)EF平面ABCD；(2)平面AD1C平面A1BC1.证明：(1)证

12、法一：如图，过E，F分别作AB，BC的垂线EM，FN，分别交AB，BC于点M，N，连接EF，MN.因为BB1平面ABCD，所以BB1AB，BB1BC.所以EMBB1FN.又因为AB1BC1，B1EC1F，所以AEBF.又B1ABC1BC45，所以RtAMERtBNF.所以EMFN.所以四边形MNFE是平行四边形，所以EFMN.又MN平面ABCD，所以EF平面ABCD.证法二：过E作EPAB交BB1于点P，连接PF，所以.因为B1EC1F，B1AC1B，所以.所以FPB1C1BC.又因为EPFPP，ABBCB，所以平面EFP平面ABCD.又EF平面EFP，所以EF平面ABCD.(2)如图，连接A

13、1B，D1C，AD1，由已知AD1BC1，CD1A1B.又AD1CD1D1，BC1BA1B，所以平面AD1C平面A1BC1.亦可连接B1D，由B1D平面ACD1，B1D平面A1C1B证明结论1证明线线平行的方法(1)利用平面几何知识；(2)平行公理：ab，bcac；(3)线面平行的性质定理：a，a，bab；(4)面面平行的性质定理：，a，bab；(5)线面垂直的性质定理：m，nmn.2证明直线和平面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)判定定理：a，b，且aba；(3)利用面面平行的性质：，ll；(4)向量法m，n，mnm；(5)空间平行关系的传递性：mn，m，n，mn；(6)，l，l

14、l.3证明面面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)利用判定定理：a，b，abP，a，b；推论：a，b，m，n，abP，mnQ，am，bn(或an，bm)；(3)利用面面平行的传递性： ；(4)利用线面垂直的性质： .4应用面面平行的性质定理时，关键是找(或作)辅助线或平面，对此需要强调的是：(1)辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加；(2)辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断5注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化线线平行线面平行面面平行应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”：“线线平行”“线面平行”“面面平行”；应用性质定理时，注意由“

15、高维”到“低维”：“面面平行”“线面平行”“线线平行”1(2017华中科技大学附属中学月考)已知直线ab，且a与平面相交，那么b与的位置关系是()A必相交 B平行或在平面内C相交或平行 D相交或在平面内解：两条平行线中的一条与一个平面相交，则另一条也必定与该平面相交故选A.2(2017鞍钢高级中学月考)下列说法正确的是()A若直线l平行于平面内的无数条直线，则lB若直线a在平面外，则aC若直线ab，b平面，则aD若直线ab，b平面，那么直线a就平行于平面内的无数条直线解：对于选项A，直线l有可能在平面内，A错；对于选项B，直线a在平面外包括两种情形，即a或a与相交，B错；对于选项C，直线a有可

16、能在平面内，C错故选D.3. (2015安徽)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解：A项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有mn与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确故选D.4(2017大连市教育学院附属高中月考)已知，是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：若m，m，则；若

17、m，n，m，n，则；若m，n，m，n是异面直线，则n与相交；若m，nm，且n，n，则n，n.其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4解：符合面面垂直的判定定理，正确；只有m，n相交时成立，错误；n与相交或平行，故不成立；符合直线与平面平行的判定定理，正确故选B.5(2017武汉市一冶四中月考)已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面，若a，b，则“ab”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解：当时，因为a，所以a.又因为b，所以ab，则“ab”是“”的必要条件当ab时，由a，b，可得或与相交，则“ab”不是“”的充分条件故“ab”是“”的必要不充

18、分条件故选B.6(2016全国卷)平面过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B. C. D. 解：因为平面平面CB1D1，所以平面与平面ABCD的交线m平行于平面CB1D1与平面ABCD的交线l.因为在正方体中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，所以lB1D1，所以mB1D1.同理，n平行于平面CB1D1与平面ABB1A1的交线因为平面ABB1A1平面CDD1C1，所以平面CB1D1与平面ABB1A1的交线平行于平面CB1D1与平面CDD1C1的交线CD1，所以nCD1.故m，n所成的角即为B1D1

19、，CD1所成的角，显然所成的角为60，则其正弦值为.故选A.7设，为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：a，b，a，b； ，；，； a，b，ab.其中能推出的条件是_(填上所有正确的序号)解：在条件或条件中，或与相交由，条件满足在中，a，abb，又b，从而，满足故填.8棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P，Q，R分别是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，给出下列结论：PR与BQ是异面直线；RQ平面BCC1B1；平面PQR平面D1AC；过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为的等边三角形以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)解：由于PR是A1BC1

20、的中位线，所以PRBQ，故不正确；由于RQA1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1，所以不正确；由于PRBC1D1A，PQA1BD1C，所以正确；由于A1BC1是边长为的正三角形，所以正确故填.9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P，Q分别是DD1，CC1的中点求证：(1)PO面D1BQ；(2)平面D1BQ平面PAO.证明：(1)连接DB，在D1DB中，P，O分别是DD1，DB的中点，则POD1B，又PO面D1BQ，D1B面D1BQ，所以PO面D1BQ.(2)易证四边形APQB是平行四边形，所以PABQ.又PA面D1BQ，BQ面D1BQ，所以PA面D1BQ.又

21、由(1)知PO面D1BQ，POPAP，PO，PA平面D1BQ，所以平面D1BQ平面PAO.10(2015四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN平面BDH.解：(1)点F，G，H的位置如图所示(2)证明：连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH.因为M，O分别是BC，BD的中点，所以OMCD，且OMCD，又HNCD，且HNCD，所以OMHN，OMHN.所以MNHO是平行四边形，从而MNOH.又MN平面BDH，OH平面BDH，所以MN平面BD

22、H.11(2017昌图县第一高级中学月考)已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，AD2BC，E，F分别为CC1，DD1的中点求证：平面BEF平面AD1C1.证明：取AD的中点G，连接BG，FG，因为E，F分别为CC1，DD1的中点，所以C1D1CDEF，因为C1D1平面AD1C1，EF平面AD1C1，所以 EF平面AD1C1.因为ADBC，AD2BC，所以GDBC，即四边形BCDG是平行四边形，所以BGDC，所以BGEF，即四边形EFGB是平行四边形，所以平面BEF即平面EFGB.因为F，G分别是DD1，AD的中点，所以FGAD1.因为AD1平面AD1C1，FG平面AD1C1，所以F

23、G平面AD1C1.又FG平面BEF，FE平面BEF，FGEFF，所以平面BEF平面AD1C1. (2017武汉市武钢第四子弟中学月考)如图所示，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求直线EC与平面ABE所成角的余弦值；(2)线段EA上是否存在点F，使EC平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由解：(1)因为平面ABE平面ABCD，且ABBC，所以BC平面ABE，则CEB即为直线EC与平面ABE所成的角设BCa，则AB2a，BEa，所以CEa. 所以cosCEB，即直线EC与平面ABE所成角的余弦值为.(2)存在点F，且时，有EC平面FBD. 证明如下：连接AC交BD于点M，在AE上取点F，使，连接MF，BF，DF.因为ABCD，AB2CD，所以，所以.因为，所以FMEC.又EC平面FBD，FM平面FBD，所以EC平面FBD.即点F满足时，有EC平面FBD