空间中的平行关系.docx
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空间中的平行关系
8．4 空间中的平行关系
1．空间中直线与平面之间的位置关系
（1）直线在平面内，则它们__________公共点；
（2）直线与平面相交，则它们______________公共点；
（3）直线与平面平行，则它们________公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为______________．
2．直线与平面平行的判定和性质
（1）直线与平面平行的判定定理
平面外____________与此平面内的____________平行，则该直线与此平面平行．即线线平行⇒线面平行．用符号表示：
____________________________．
（2）直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的__________与该直线__________．即线面平行⇒线线平行．用符号表示：
__________________________．
3．平面与平面之间的位置关系
（1）两个平面平行，则它们______________；
（2）两个平面相交，则它们______________，两个平面垂直是相交的一种特殊情况．
4．平面与平面平行的判定和性质
（1）平面与平面平行的判定定理
①一个平面内的两条__________与另一个平面平行，则这两个平面平行．用符号表示：
____________________________．
②推论：
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．
③垂直于同一条直线的两个平面平行．即l⊥α，l⊥β⇒α∥β.
④平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.
（2）平面与平面平行的性质定理
①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线______________．即面面平行⇒线线平行．用符号表示：
_____________________________．
②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．用符号表示：
__________________．
③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．用符号表示：
__________________．
自查自纠
1．
（1）有无数个
（2）有且只有一个 （3）没有 直线在平面外
2．
（1）一条直线 一条直线 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
（2）交线 平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
3．
（1）没有公共点
（2）有一条公共直线
4．
（1）①相交直线 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α
（2）①平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b②α∥β，a⊂α⇒a∥β
③α∥β，l⊥α⇒l⊥β
已知平面α，β和直线a，b，a⊂α，b⊂β，且a∥b，则α与β的关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．垂直
解：
可在平面α内作一直线c，且c与a相交，若c平行于面β，则根据面面平行的判定定理知α∥β；若c与面β相交，则面α与β相交．故选C.
（2015·北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：
如果m⊂α，m∥β，那么α与β可能平行也可能相交；反过来，如果m⊂α，α∥β，那么m∥β，所以m∥β是α∥β的必要不充分条件．故选B.
若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（ ）
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
解：
因为直线l不平行于平面α，且l⊄α，所以l与α相交．观察各选项，易知A，C，D都是错误的．故选B.
（2016·全国卷Ⅱ）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的编号）
解：
由m⊥n，m⊥α，可得n∥α或n在α内，当n∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错．易知②③④都正确．故填②③④.
如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是____________．（写出所有符合要求的图形序号）
解：
在①中，由于平面MNP与AB所在的侧面平行，所以AB∥平面MNP；在③中，由于AB与以MP为中位线的三角形的底边平行，所以AB∥MP，又因为MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP.所以AB∥平面MNP.②④中，只须平移AB，即可发现AB与平面MNP相交．故填①③.
类型一 线线平行
（2017大冶市实验高中月考）如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是所在棱的中点，试判断EF和GH在原正方体中的位置关系，并加以证明．
解：
在原正方体中EF∥GH.
证明如下：
如图所示，
将展开图还原为正方体ABCDA1B1C1D1，
则E，F，G，H分别是棱A1D1，A1B1，BC，CD的中点，
连接B1D1，BD，则EF∥B1D1，GH∥BD.
又因为B1D1∥BD，所以EF∥GH.
【点拨】证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质定理来证明；将展开图还原成正方体，借助正方体模型，有利于我们看清问题．
（2017武汉市育才高级中学月考）已知平面α∥平面β，直线a⊂α，B∈β，则在β内过B点的所有直线中（ ）
A．不存在与a平行的直线
B．存在无数条与a平行的直线
C．存在唯一一条与a平行的直线
D．存在两条与a平行的直线
解：
易知过直线a和点B有且只有一个平面，该平面与平面β有且只有一条交线，此交线与a平行．故选C.
类型二 线面平行
（2017渤海大学附属高级中学月考）在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝
AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：
（1）AP∥平面BEF；
（2）GH∥平面PAD.
证明：
（1）连接EC，因为AD∥BC，BC＝
AD，
E为AD的中点，所以BC
AE，
所以四边形ABCE是平行四边形，
所以O为AC的中点，
又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，
又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
（2）连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，
所以FH∥PD，
又PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，所以FH∥平面PAD.
又因为O是BE的中点，H是CD的中点，
所以OH∥AD，
又因为AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，
所以OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面PAD.
又因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面PAD.
【点拨】要证明直线和平面平行，通常有两种方法：
（1）利用线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；
（2）由面面平行的性质：
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行．第
（1）种方法是常用方法，一般需要连接特殊点、画辅助线，再证明线线平行，从而得到线面平行．第
（2）种方法常用于非特殊位置的情形．
（2016·全国卷Ⅲ）如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
（1）证明MN∥平面PAB；
（2）求四面体NBCM的体积．
解：
（1）证明：
由已知得AM＝
AD＝2，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝
BC＝2.
又AD∥BC，故TN
AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.
（2）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
所以N到平面ABCD的距离为
PA.
取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝
＝
.
由AM∥BC得M到BC的距离为
，故S△BCM＝
×4×
＝2
.所以四面体NBCM的体积VNBCM＝
×S△BCM×
＝
.
类型三 面面平行
（2017武汉市汉阳一中月考）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
证明：
（1）因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
（2）因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，
因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB，
所以A1G
EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.
因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
【点拨】
（1）判定面面平行的主要方法：
①利用面面平行的判定定理；②线面垂直的性质（垂直于同一直线的两平面平行）．
（2）面面平行的性质定理：
①两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面；②若一平面与两平行平面相交，则交线平行．（3）利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．
（2017武汉市新洲区第一中学月考）已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1上的点，且B1E＝C1F，求证：
（1）EF∥平面ABCD；
（2）平面AD1C∥平面A1BC1.
证明：
（1）证法一：
如图，过E，F分别作AB，BC的垂线EM，FN，分别交AB，BC于点M，N，
连接EF，MN.
因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC.所以EM∥BB1∥FN.
又因为AB1＝BC1，B1E＝C1F，
所以AE＝BF.
又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，
所以Rt△AME≌Rt△BNF.所以EM＝FN.
所以四边形MNFE是平行四边形，所以EF∥MN.
又MN⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.
证法二：
过E作EP∥AB交BB1于点P，连接PF，
所以
＝
.
因为B1E＝C1F，B1A＝C1B，所以
＝
.
所以FP∥B1C1∥BC.
又因为EP∩FP＝P，AB∩BC＝B，
所以平面EFP∥平面ABCD.
又EF⊂平面EFP，所以EF∥平面ABCD.
（2）如图，连接A1B，D1C，AD1，由已知AD1∥BC1，CD1∥A1B.又AD1∩CD1＝D1，BC1∩BA1＝B，所以平面AD1C∥平面A1BC1.亦可连接B1D，由B1D⊥平面ACD1，B1D⊥平面A1C1B证明结论．
1．证明线线平行的方法
（1）利用平面几何知识；
（2）平行公理：
a∥b，b∥c⇒a∥c；
（3）线面平行的性质定理：
a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；
（4）面面平行的性质定理：
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b；
（5）线面垂直的性质定理：
m⊥α，n⊥α⇒m∥n.
2．证明直线和平面平行的方法
（1）利用定义（常用反证法）；
（2）判定定理：
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；
（3）利用面面平行的性质：
α∥β，l⊂α⇒l∥β；
（4）向量法．m⊄α，n⊥α，m⊥n⇒m∥α；
（5）空间平行关系的传递性：
m∥n，m，n⊄α，m∥α⇒n∥α；
（6）α⊥β，l⊥β，l⊄α⇒l∥α.
3．证明面面平行的方法
（1）利用定义（常用反证法）；
（2）利用判定定理：
a，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β；
推论：
a，b⊂β，m，n⊂α，a∩b＝P，m∩n＝Q，a∥m，b∥n（或a∥n，b∥m）⇒α∥β；
（3）利用面面平行的传递性：
⇒α∥γ；
（4）利用线面垂直的性质：
⇒α∥β.
4．应用面面平行的性质定理时，关键是找（或作）辅助线或平面，对此需要强调的是：
（1）辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加；
（2）辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断．
5．注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化
线线平行
线面平行
面面平行．
应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”：
“线线平行”⇒“线面平行”⇒“面面平行”；
应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”：
“面面平行”⇒“线面平行”⇒“线线平行”．
1．（2017华中科技大学附属中学月考）已知直线a∥b，且a与平面α相交，那么b与α的位置关系是（ ）
A．必相交B．平行或在平面内
C．相交或平行D．相交或在平面内
解：
两条平行线中的一条与一个平面相交，则另一条也必定与该平面相交．故选A.
2．（2017鞍钢高级中学月考）下列说法正确的是（ ）
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，b⊂平面α，则a∥α
D．若直线a∥b，b⊂平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
解：
对于选项A，直线l有可能在平面α内，A错；对于选项B，直线a在平面α外包括两种情形，即a∥α或a与α相交，B错；对于选项C，直线a有可能在平面α内，C错．故选D.
3.（2015·安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
解：
A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确．故选D.
4．（2017大连市教育学院附属高中月考）已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，则n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β.
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：
①符合面面垂直的判定定理，正确；②只有m，n相交时成立，错误；③n与α相交或平行，故不成立；④符合直线与平面平行的判定定理，正确．故选B.
5．（2017武汉市一冶四中月考）已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面α，β，若a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：
当α∥β时，因为a⊥α，所以a⊥β.
又因为b⊂β，所以a⊥b，则“a⊥b”是“α∥β”的必要条件．
当a⊥b时，由a⊥α，b⊂β，可得α∥β或α与β相交，则“a⊥b”不是“α∥β”的充分条件．
故“a⊥b”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B.
6．（2016·全国卷Ⅰ）平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
解：
因为平面α∥平面CB1D1，所以平面α与平面ABCD的交线m平行于平面CB1D1与平面ABCD的交线l.因为在正方体中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，所以l∥B1D1，所以m∥B1D1.同理，n平行于平面CB1D1与平面ABB1A1的交线．因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以平面CB1D1与平面ABB1A1的交线平行于平面CB1D1与平面CDD1C1的交线CD1，所以n∥CD1.故m，n所成的角即为B1D1，CD1所成的角，显然所成的角为60°，则其正弦值为
.故选A.
7．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：
①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；
②α∥γ，β∥γ；
③α⊥γ，β⊥γ；
④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的条件是________（填上所有正确的序号）．
解：
在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．故填②④.
8．棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P，Q，R分别是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，给出下列结论：
①PR与BQ是异面直线；
②RQ⊥平面BCC1B1；
③平面PQR∥平面D1AC；
④过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为
的等边三角形．
以上结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
解：
由于PR是△A1BC1的中位线，所以PR∥BQ，故①不正确；由于RQ∥A1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1，所以②不正确；由于PR∥BC1∥D1A，PQ∥A1B∥D1C，所以③正确；由于△A1BC1是边长为
的正三角形，所以④正确．故填③④.
9．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P，Q分别是DD1，CC1的中点．求证：
（1）PO∥面D1BQ；
（2）平面D1BQ∥平面PAO.
证明：
（1）连接DB，在△D1DB中，P，O分别是DD1，DB的中点，则PO∥D1B，又PO⊄面D1BQ，D1B⊂面D1BQ，所以PO∥面D1BQ.
（2）易证四边形APQB是平行四边形，所以PA∥BQ.又PA⊄面D1BQ，BQ⊂面D1BQ，所以PA∥面D1BQ.又由
（1）知PO∥面D1BQ，PO∩PA＝P，PO，PA⊄平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.
10．（2015·四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.
（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（2）证明：
直线MN∥平面BDH.
解：
（1）点F，G，H的位置如图所示．
（2）证明：
连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH.
因为M，O分别是BC，BD的中点，
所以OM∥CD，且OM＝
CD，
又HN∥CD，且HN＝
CD，
所以OM∥HN，OM＝HN.
所以MNHO是平行四边形，从而MN∥OH.
又MN⊄平面BDH，OH⊂平面BDH，
所以MN∥平面BDH.
11．（2017昌图县第一高级中学月考）已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD∥BC，AD＝2BC，E，F分别为CC1，DD1的中点．求证：
平面BEF∥平面AD1C1.
证明：
取AD的中点G，连接BG，FG，
因为E，F分别为CC1，DD1的中点，
所以C1D1∥CD∥EF，
因为C1D1⊂平面AD1C1，EF⊄平面AD1C1，
所以EF∥平面AD1C1.
因为AD∥BC，AD＝2BC，所以GD
BC，即四边形BCDG是平行四边形，
所以BG
DC，所以BG
EF，即四边形EFGB是平行四边形，
所以平面BEF即平面EFGB.
因为F，G分别是DD1，AD的中点，所以FG∥AD1.
因为AD1⊂平面AD1C1，FG⊄平面AD1C1，
所以FG∥平面AD1C1.
又FG⊂平面BEF，FE⊂平面BEF，FG∩EF＝F，
所以平面BEF∥平面AD1C1.
（2017武汉市武钢第四子弟中学月考）如图所示，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.
（1）求直线EC与平面ABE所成角的余弦值；
（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？
若存在，求出
；若不存在，说明理由．
解：
（1）因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，所以BC⊥平面ABE，
则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角．
设BC＝a，则AB＝2a，BE＝
a，
所以CE＝
a.
所以cos∠CEB＝
＝
，
即直线EC与平面ABE所成角的余弦值为
.
（2）存在点F，且
＝
时，有EC∥平面FBD.
证明如下：
连接AC交BD于点M，在AE上取点F，使
＝
，连接MF，BF，DF.
因为AB∥CD，AB＝2CD，
所以
＝
＝
，所以
＝
.
因为
＝
，所以FM∥EC.
又EC⊄平面FBD，FM⊂平面FBD，所以EC∥平面FBD.
即点F满足
＝
时，有EC∥平面FBD．
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