高等数学基础形成性考核册答案附题目.docx

1、高等数学基础形成性考核册答案附题目资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。【高等数学基础】形成性考核册答案【高等数学基础】形考作业 1答案:第1章函数第2章极限与连续(1)单项选择题1下列各函数对中，(C )中的两个函数相等.A.f (x) (、X)2, g(x) x B.f(x)x2 , g(x) xC.f (x) In x3, g(x) 3In x D.f(x)x2 1x 1, g(x)x 1分析:判断函数相等的两个条件(1)对应法则相同(2)定义域相同A、f (x) (、X)2 x,定义域 x|x0;g(x) x,定义域为R定义域不同，因此函数不相等；B、 f(x)

2、 x, g(x) x对应法则不同，因此函数不相等g(x) 3I nx,定义域为 x| x 0C、 f (x) In x3 3ln x,定义域为 x| x 0因此两个函数相等定义域不同，因此两函数不等。故选C资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。对称.2.设函数f(x)的定义域为(，)，贝恼数f(x) f( x)的图形关于(C)A. 坐标原点 B. x轴C. y 轴 D. y x分析：奇函数，f( x) f (x),关于原点对称偶函数，f( x) f(x),关于y轴对称y f x与它的反函数y f 1 x关于y x对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设g x f

3、x fx ,则 g xf x f x g x因此g xf x f:x为偶函数,即图形关于y轴对称故选C3.下列函数中为奇函数是(B).A.y ln(1 x2)B.y xcosxC.x xa aD.y ln(1 x)y 2分析:A、 y xln(1x 2) In 1 x2y x ,为偶函数B、 y xxcosx xcosxy x ,为奇函数或者x为奇函数，COSX为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C、y x ,因此为偶函数资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。D、 y x ln（1 x）,非奇非偶函数故选B4下列函数中为基本初等函数是 （C）.A. y x 1 B. y x

4、分析：六种基本初等函数(1)y c(常值) 常值函数(2)y x ,为常数 幕函数(3)y ax a 0,a 1 指数函数(4)y loga x a 0,a 1 对数函数(5)y sin x, y cosx, y tan x, y cot x 三角函数y arcs in x, 1,1 ,(6)y arc cosx, 1,1 , 反三角函数y arc tanx, y arc cot x分段函数不是基本初等函数，故D选项不对对照比较选C5.下列极限存计算不正确的是 （D）2lim ln(1 x) 0x 0A. lim 1 B.x x 2C. lim 沁 0xD.limx.1 0xsin 0x分析：

5、A、已知limxlimx2x2xX2 2x xlim -x1 rxB、 liml n(1 x) ln(1 0) 0初等函数在期定义域内是连续的沁 limlsinx 0x x xx 时，-是无穷小量，sin X是有界函数,x无穷小量X有界函数仍是无穷小量.11 sin qD lim xsin lim x ,令 t 一 0,x ,则原式x x x 一 xxmolnts故选D&当x 0时，变量(C)是无穷小量.A.sin xB.1xxC.1 xsi n D.ln(x 2)x分析；lim f xx a0,则称f x为xa时的无穷小量A、 xm哑1,重要极限X 0 xB、 lim -,无穷大量x 0 x

6、0,无穷小量x X有界函数sin仍为无穷小量xD limln(x 2)=ln 0+2 In 2x 0故选C7.若函数f (x)在点X。满足(A),则f(x)在点X。连续。A. lim f (x) f (x0) B.x xf (x)在点X0的某个邻域内有定义lim f (x) lim f (x)x xq x xqC. lim f (x) f (x0) D.x x分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即lim f x f xqX x连续的充分必要条件lim f x f x0 lim f x lim f x f x。XX XX) X Xq故选A(2)填空题1.函数f (x) 9

7、ln(1 x)的定义域是 x|x 3 x 3分析：求定义域一般遵循的原则(1)偶次根号下的量 0分母的值不等于0(3)对数符号下量(真值)为正(4) 反三角中反正弦、 反余弦符号内的量，绝对值小于等于1(5)正切符号内的量不能取k -k0,1,刖然后求满足上述条件的集合的交集即为定义域f(x)x 3ln(1 x)要求x2 9 0x 3 0得1 x 0x 3或xx 3x -13求交集定义域为x |x 32.已知函数f(x1) x2 xf (x)2X -X分析：法2f(t) t 1 tt2法二,f(x 1) x(x 1)因此 f(t) t 1 t13. lim (1 )xx 2xx分析：重要极限l

8、im 1 1x xe,等价式lim 1x 0推广 lim f x 则 lim(1x a x alim f x 0 则 lim(1x a x a1 f x)77资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。1 1 2x 1 1lim(1 )x lim(1 ) 2 e2x 2x x 2xi4若函数f(x) (1 x) x 0，在x 0处连续，则k _e x k , x 0分析：分段函数在分段点x0处连续 lim f x lim f x f x0x xo x x)lim fx limXk 0 k kx 0x 01因此k elim fx lim1x ex 0x 05.函数yX 1,X0

9、的间断点是x 0sin x,X0分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点初等函数在其定义域范围内都是连续的 分段函数主要考虑分段点的连续性(利用连续的充分必要条件)lim f xx 0lim f xx 0lim x 1 0 1 1x 0 不等，因此x 0为其间断点lim sinx 0X0时, f (x) A 称为 _ x X0时的无穷小量6.若 lim f (x) A,则当 xX X。分析：lim( f (x) A) lim f(x) lim A A A 0X 冷 x x0 x 冷因此f (x) A为X X0时的无穷小量(3)计算题f(x)资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正

10、或者删除。求：f ( 2), f (0), f(1).e2, f 0解：f 21 e10,则定义域为x|x。或x 2底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数.C设梯形ABC即为题中要求的梯形，设高为h,即0E二h,下底CE 2R直角三角形AOE中 ,利用勾股定理得AE . OA2 OE2 、R2 h2则上底=2AE 2 R2 h2故 S -I 2R 2Jr2 h2 h R 、R2 h22sin3x4.求 limx 0 sin2xsin3x lim x 0sin2xsin3x c3xlim x 0 sin 2x0 sin2x2x2xsin3x lim 卑-x 0 sin2x2x5.

11、求x2limx 1 si n(x 1)2lim x 1 si n(x1ij1)(xlim也x 1 sin (x 1)1)limx 1 sin (x 1)&求tan3x limx 0 xlimtan更x 0 xlimx 0sin3x1cos3xlim沁x 0 3x1cos3x7.求lim丄三x 0 sin x41 1limx 0 sinxx2 1)x2 1(、1 x2 1)sinlim01)sin xlimx 0(.rv八 sin xlim(xx 1)xT3lim(x11x)xlimx(i -)xXx(1(1 lim x(1L)x1x wx1e 4 ee9.求x 6x 8limx 4 x 5x

12、410.设函数(x 2)2 , x 1 f (x) x , 1 x 1x 1 , x 1 讨论f(x)的连续性，并写出其连续区间.解：分别对分段点x 1,x 1处讨论连续性 (1)(2)由(1) ( 2)得f x在除点x 1外均连续资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。故f x的连续区间为 ，1 1,【高等数学基础】形考作业 2答案:第3章导数与微分（一）单项选择题1设 f(0)o且;极限f(x)lim存在,则lim f(x) ( Cx 0 xx 0 xA. f(0)B.f (0)C. f (x)D.0cvx2.设f （x）在x0可导,则limh 0f (x2h)2hf

13、(Xo)( D )A. 2 f (x0)B.f（X。）C. 2f (xo)D.f（X。）3.设 f (x)xe ,则 lim f(1x) f(1)(A ) x0xA. eB.2eC 1 C. eD.1 e244.设 f (x)x(x1)(x2) (x99),则f（D ）.A. 99B.99C. 99!D.99!5.下列结论中正确的是（C ）资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。A.若f(x)在点X。有极限，则在点X。可导.B.若f(x)在点xo连续,则在点xo可导.C.若f(x)在点X。可导，则在点X。有极限.D.若f(x)在点xo有极限，则在点xo连续.(2)填空题1

14、.设函数f(x)2 . 1x sin , x 0 x0, x 02设 f(ex) e2x(3)计算题1.求下列函数的导数(1) y (x、_x 3)ex3(x2X3)e3x2e y cot x x21n x2CSC Xx 2x l nx2xIn x2x l nx xln2xx( sin x2x In2) 3(cosx2x)In x x2sin xsinx( 2x) (Inx x2)cosxx2sin x(6) y x4 sin xln x,3 sin x ,y 4x cosxln xx. 2sin x x3xx 2 x3 (cosx 2x) (si nx x )3 In 33 y ex ta

15、nx Inxex tan xxe2cos x2.求下列函数的导数 y :e1 y In cosx317tx88Vx Jx2cos ey exsin(2ex)2 y cosex2 2 x xy 2xe sine y sinn xcosnx n 1 . n . / 、nsin xcosxcosnx nsin xsin( nx)2 y 5sinx.2 y esin x.2 sin xy sin 2xe2 2y xX (x 2xlnx) 2xeX(ii) yxx e xe / 匸 x 、 e xy x ( e In x) e ex ycosx e2y2yy cosx y sin x 2e yy sin

16、 xy 石cosx 2ey cosy In xcosyx(1 sin y In x) 2xsin y2xcosy.y2siny2yx x2y2x 、y(2xcosy 文)yyx 2siny y2xy 2y sin y2xy2 cos y x2 y x In yy_y In x ey y2eyy 2yy x1x(2y ey) y2 1 ex sin yx x2yy e cosy.y sin y.exe sin y2y ex cosy ey ex y3y x 2e y e 3y yxe 2y 3y e y 5x 2y5x|n5 y 2y In25x In 51 2y In24求下列函数的微分dy：

17、(1) y cot xcscxcosx2 )dx sin xdy1(2cos xIn xysin x1 . sin xIn xcosxdyx2 dxsinx.1 arcs in1y 3 J1 x两边对数得：In y 1 ln(1 x) ln(1 x)3y_yy1 1 1( )3 1 x 1 x131 X(丄3 1 x 1 xsin2 ex3dy 2sinexex exdx sin(2ex)exdxtanedy2 X3 2sec e 3x dx3x2ex3sec2 xdx5.求下列函数的二阶导数(1)y xln xy 1 In x1y -x(2)y xsin xy xcosx si nxy xs

18、i nx 2cosx y arctanx11 x22x2 2 (1 x )y 3xy 2x3x2 In 3 y 4x23x In2 3 2In3 3x(4)证明题设f(x)是可导的奇函数，试证f(x)是偶函数.证：因为f(x)是奇函数因此f ( x) f (x)两边导数得：f ( X)( 1) f (x) f ( x) f(x)资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。 因此f (x)是偶函数。【高等数学基础】形考作业 3答案:第4章导数的应用(1)单项选择题1.若函数f(x)满足条件(D),贝卩存在 (a,b),使得f()f(b) f(a).b aA. 在(a,b)内连续

19、 B. 在(a,b)内可导C. 在(a,b)内连续且可导 D. 在a,b内连续，在(a,b)内可导2.函数f(x)x2 4x 1的单调增加区间是(D ).A.(,2)B. ( 1,1)C.(2,)D. ( 2,)3.函数2y x4x 5在区间(6,6)内满足(A ).A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升4.函数f (x)满足f (x) 0的点，一定是f(x)的(C ).A.间断点 B.极值点C.驻点 D.拐点5.设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数 ，xo (a,b),若f(x)满足(C ), 则资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删

20、除。f(x)在X。取到极小值.内是(A )(2)填空题2.若函数f (X)在点X0可导,且X0是f (X)的极值点,则f (X0)3.函数y ln(1 x2)的单调减少区间是(,0).4. 函数f(x) e的单调增加区间是(0,)5.若函数f (x)在a,b内恒有f (x) 0,则f (x)在a, b上的最大值是f (a).&函数f(x) 2 5x 3x3的拐点是 X=0 (3)计算题1求函数y (x 1) (x 5)2的单调区间和极值.资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。令 y (x 1)2(x 5)2 2(x 5)(x 2)f (0) 3 f (3) 6 f(1)

21、 2最大值 f (3) 6最小值 f (1) 2(1, 10),且x 2是驻点，x 1是拐点.44 8b 4b 2x d10 a b c d0 12a 4b c0 6a 2b4求曲线y2 2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短.解：设p(x, y)是y2 2x上的点，d为p到A点的距离，则：d .(x 2)2 y2(x 2)2 2x令dy22(x 2) 2 x 12,时，圆柱体的体积最大？设园柱体半径为R,高为h,则体积设园柱体半径为R,高为h,则体积(x 2)2 2x (x 2)2 2x 2x上点(1,2)到点A(2,0)的距离最短3,7.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体

22、开口容器，怎样做法用料最省？解：设底连长为x,高为h。则:62.5 x2h h %5x侧面积为：S x2 4xh x2令 S 2X 250 0 X3 125 x 5x答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省(4)证明题1.当x 0时，证明不等式x ln(1 x).!匕一1 x ln(1 x) (当 x 0时)x2.当x 0时，证明不等式ex x 1 .设f (x) ex (x 1)f (x) ex 1 0 (当x 0时) 当x 0时f (x)单调上升且f (0) 0f (x) 0,即ex (x 1)证毕【高等数学基础】形考作业 4答案：第5章不定积分第6章定积分及其应用(一)单项选择题1.若

23、 f(x)的一个原函数是 丄，则f (x) ( Dxdf (x) f (x) C. d f (x)dx f (x) D. f(x)dx dxf(x)2.下列等式成立的是(D )所围成的平面区域的面积是 (二)填空题2.若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数 ，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x) G(x) c(常数).2 23.d ex dx ex9cos(3x)5.若 f(x)ck cos3x c,贝卩 f (x)6.(sin5 x 】)dx(1.2.3.4.5.6.7.8.(3 27.若无穷积分丄dx收敛,xp三)计算题1cos-2xdxxdxxd x 2e-dx xln x1kl

24、nx)In (In x)xsin 2xdxxcos2x2cos2xdx1xcos2x2e3 ln x dx1eJ3In x)d(3In x)eln x)11xe02xdx2xx2xdx2xexln xdx12x Iln2exdx1|nx xfdx四)证明题1.证明：若f(x)在a,a上可积并为奇函数资料内容仅供您学习参考，如有不当或者侵权，请联系改正或者删除。证：a a a a令 x t f(x)dx f ( t)dt f ( t)dt f (t)dta a a a2.证明：若f(x)在a,a上可积并为偶函数，贝S :f(x)dx 2 ：f(x)dx .令x t,则0f (x)dxa0a f( t)dta0 f(t)dtf ( x )是偶函数a0aaaaf(x)dxaf (x)dx af(x)dx00f(x)dx0 f(x)dx 2 0 f(x)dx3.证明：aa f(x)dxa0 f(x) f(x)dx证毕a a a= 0 f( x)dx 0 f(x)dx 0f(x) f( x)dx 证毕