届高考数学复习冲刺热点题型之函数的零点与方程的根的解题方法2.docx

1、届高考数学复习冲刺热点题型之函数的零点与方程的根的解题方法2专题04 函数的零点与方程的根的解题方法本专题特别注意：一命题类型：1.零点与整数解；2.二分法；3.分段函数的零点；4.零点范围问题；5.零点个数问题；6.零点与参数；7.零点与框图；8.二次函数零点分布问题；9.抽象函数零点问题；10.复合函数零点问题；11.函数零点与导数；12.零点有关的创新试题。二【学习目标】1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数2利用函数的零点求解参数的取值范围【知识要点】1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)，我们把使_的实数x叫做函数yf(x)的零点(2

2、)方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有_(3)函数零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是_的一条曲线，并且有_，那么，函数yf(x)在区间_内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根2二次函数yf(x)ax2bxc(a0)零点的分布根的分布(mnp为常数) 图象 满足条件1x1x2mmx102ba002bamf（m）0x1mx2 f(m)0mx1x2nmx1nx20b2af（m）0f（n）0f（m）0f（n）00bm2an或f(m)f(n)0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所2在的区间为 ， ， ，则

3、下列说法中正确的是( )A函数f(x)在区间内一定有零点B函数f(x)在区间或内有零点，或零点是C函数f(x)在D函数f(x)在区间【答案】B内无零点或内有零点点睛：本题主要考查二分法的定义，属于基础题已经知道零点所在区间，根据二分法原理，依次“二分”区间，零点应存在于更小的区间，而不是更大的区间。这样就可以断定ACD是错误的。故可以得到结论。练习1.【河北定州2019模拟】设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】 当直线3令 ，,函数在上为减函数，在上为增函数，当时，取得极小值为，时， ，当时，若存在唯一的整数，使得，只需解得： ，选D.练习2.已

4、知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x22x3，求当x0时，不等式f（x）0整数解的个数为（ ）A4 B3 C2 D1【答案】A【解析】由函数为奇函数可知当x0时，不等式f（x）0整数解的个数与x0时f(x)0的个数相同，由奇函数可知f(0)=0，由得，所以整数解为1,2，3，所以满足题意要求的整数点有4个（二）二分法；例2下面关于二分法的叙述中，正确的是 ( )A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循，无法在计算机上完成D只能用二分法求函数的零点【答案】B【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值

5、符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误故选B.练习1.已知函数 ，设 ，且F(x)的零点均在区间(a,b)内，其中a,bZ，a0的最小整数解为（ ）A-1B0C-5D-44【答案】D【解析】 ，所以函数在(-1,0)内有零点，且在区间(-1,0)上，函数递增，故只有唯一零点，f(x)左移4个单位得到F(x)，依题意，函数F(x)所有零点都在区间(-5,-4)上，所以使得F(x)0的最小整数为-4.考点：函数图象平移与零点.【思路点晴】本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识.由于 ，所以

6、函数F(x)的图像是有函数f(x)的图像向左平移4个单位所得.由于F(x)零点都在某个区间上，所以函数f(x)的零点也在某个区间上.利用二分法的知识，计算 的值， ，且f(x)0函数递增，有唯一零点在区间(-1,0)，左移4个单位就是(-5,-4).（三）分段函数的零点；例3.已知函数的实数根，则a的取值范围是，若关于x的方程有8个不等 1 1 4 3 D（2,94）【答案】D【解析】函数 ，的图象如图：5关于x的方程 有8个不等的实数根，f(x)必须有两个不相等的实数根， 12 f xf由函数f(x)图象可知（x）（，），令t=（），方程化为：练习1函数，a=-t2+3t，开口向下，对称轴为

7、：t=3，可知：a的最大值为：2，a的最小值为2，a（2，故选D.4的零点个数为（）A3 B2 C1 D0【答案】B【解析】由 得零点个数为2,选B.（四）零点范围问题；【例4哈六中2019模拟】设函数且，则 的取值范围是（ ），若方程恰好有三个根，A【答案】BBCD6【解析】由题意画出函数的大致图象：,则，由图得,当时,方程f(x)=a恰好有三个根,由由图知,点得,由与点得关于直线，对称，点与点关于直线对称，,则，即的取值范围是,)，故选B.点睛：函数中方程问题，是高考经常涉及的重点问题，（1）转化为函数的零点问题，研究函数的图象；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由

8、几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；.（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解练习1.已知函数，且存在不同的实数x,x,x，使得，123则xxx的取值范围是（ ）1 2 3A(0,3) B(1,2)C(0,2) D(1,3)【答案】A【解析】函数 ，画出f(x)的图象如图所示，作出直线y=t，当1t0，t越大其值越大；，故选A，t越大其值越大，则有（五）零点个数问题；例5【湖北2019模拟】定义在R上的奇函数f(x)满足 ， ，x0,1时A2 B4 C6 D8【答案】C，则函数的零点个数是（）【解析】由可知,f(x)是周期为2的奇函数,又x0,1时,可得函数

9、f(x)在R上的图象如图，|由图可知,函数y=f(x)log3x|的零点个数为6个，本题选择C选项.点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函8数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点练习1.关于x的方程 有三个不同实数解，则实数a的取值范围是（ ）A(2,+) B(3,+) C(0, 3) D(-,

10、3)【答案】B【解析】x，设 ,导数 ，当x1时, 在(1,+)递增；当x0,或0x3时，直线y=a与y=f(x)有3个交点。即有原方程有三个不同实数解,则a的范围是(3,+).练习2已知函数 ，用minm,n表示m,n中最小值，则函数h(x)的零点个数为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】C9【解析】由题意，作出h(x)的图象如图所示，由图象，得函数的零点有三个：1,e,3；故选C.e（六）零点与参数；6【2019南昌模拟】曲线围是与直线有两个交点时，实数k的取值范ABCD【答案】A【解析】 可化为x2+（y1）2=4，y1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y1的部分直线y=k（x

11、2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个5，由直线与圆相切得d=2，解得k= ，4 1253124练习1已知f(x)，又(0,) ，若满足 的 有四个，10则f(x)的取值范围为( )A(0,+) Ba+10 Cf(x)=0 Dx=【答案】A1a+1练习2若方程 有大于2的根，则实数的取值范围是（ ）A【答案】CBCD【解析】问题等价于方程，所以k的取值范围是在有解，而函数，故选C.在上递增，值域为练习3方程在区间1,5上有根，则实数a的取值范围为（） 23 23 5 5 【答案】C235【解析】由于方程故方程有解，

12、设它的两个解分别为x1，x2，则x1x2=20，在区间1,5上有唯一解。设f(x)=x2+ax-2，则有f(1)f(5)0，即(a1)(5a+23)0，解得：-235a1，故选：C.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解11（七）零点与框图；例7.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出n的值

13、（）A4 B5 C6 D7【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得n=1,x1=1,x2=2，d=0.1，令f(x)=x22,则f(1)=10，m=1.5,f(1.5)=0.250,满足条件f(m)f(x1)0.05，不合精确度要求。n=2,m=1.25,f(1.25)=0.43750.不满足条件f(m)f(x1)0.05，不合精确度要求。n=3,m=1.375,f(1.375)=0.1090.不满足条件f(m)f(x1)0.05，不合精确度要求。n=4,m=1.375,f(1.4375)=0.0660.满足条件f(m)f(x1)0.05，符合精确度要求。n=5,m=1.4375,f(1.406

14、25)=0.0660.满足条件f(m)f(x1)0,x1=1.40625，此时|1.51.4375|=0.031250.05，符合精确度要求。退出循环，输出n的值为5.12本题选择B选项.练习2已知 ； ；设函数，且函数F(x)的零点均在区间a,b（ab，a，bZ）内，则b-a的最小值为（ ）A8 B9 C10 D11【答案】C【解析】 ，当x(-1,0)时，函数f(x)在区间(-1,0)上单调递增，故函数f(x)有唯一零点x(-1,0)；， ，当x(1,2)时， ，函数g(x)在区间(1,2)上单调递减，故函数g(x)有唯一零点x(1,2)；f(x+3)的零点在(-4,-3)内，g(x-4)

15、的零点在(5,6)内，且函数F(x)的零点均在区间a,b（ab，a，bZ）内，因此的零点均在区间-4,6内，b-a的最小值为10.故选C考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、数列求和；3、函数零点存在性定理【思路点睛】利用导数分别求出函数f(x)、g(x)的零点所在的区间，然后要求的零点所在区间，即求f(x+3)的零点和g(x-4)的零点所在区间，根据图象平移即可求得结果本题考查函数零点存在性定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及函数图象的平移，体现了分类讨论的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力属于中档题练习3.已知当xR,x表示不超过x的最大整数，称y=x为取整函数，例如，若f(x)=x，且偶函数 ，则方程 的所有解之和为（ ）A1 B-2 C5-3 D-5-313【答案】D【解析】设x0，又g(x)为偶函数，所以 由xf(x)=，得 在同一坐标系中画出f(f(x)与g(x)的图象，如图所示由图知同，两个图象有四个交点，交点的纵坐标分别为1,0,-3,-4，当x0时，方程当x0时，由 解得x=-3，由上，得 的所有解之和为 ，故选D的解是0和1；解得x=-1-5综14