或 f（m）· f（n）<0
（一）零点与整数解；
例 1．已知函数 f（x）在区间（0，a）上有唯一的零点（a>0），在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所
2
在的区间为，，，则下列说法中正确的是（）
A．函数 f（x）在区间
内一定有零 点
B．函数 f（x）在区间
或
内有零点，或零点是
C．函数 f（x）在
D．函数 f（x）在区间
【答案】B
内无零点
或 内有零点
点睛：
本题主要考查二分法的定义，属于基础题．已经知道零点所在区间，根据二分法原理，依次 “二分”
区间，零点应存在于更小的区间， 而不是更大的区间。
这样就可以断定 ACD 是错误的。
故可以得到结论。
练习 1.【河北定州 2019 模拟】设函数
，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值
范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当直线
3
令，
函数
在
上为减函数，在 上为增函数，当 时， 取得极小值为
，
时，，当
时，
，若存在唯一的整数 ，使得 ，只需
解得：
，选 D.
练习 2.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）=x2﹣2x﹣3，求当 x≤0 时，不等式 f（x）
≥0 整数解的个数为（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】由函数为奇函数可知当 x≤0 时，不等式 f（x）≥0 整数解的个数与 x ≥ 0 时 f （x ） ≤ 0 的个数相同，
由奇函数可知 f （0） = 0 ，由
得 ，所以整数解为 1,2，3，所以满足题意要
求的整数点有 4 个
（二）二分法；
例 2．下面关于二分法的叙述中，正确的是（）
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
【答案】B
【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项 A 错误；
二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项 C 错误；
求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故 D 错误．故选 B.
练习 1.已知函数，设，且 F （ x） 的零点均在区间 （a, b）
内，其中 a , b ∈ Z ， a < b ，则 F （ x） > 0 的最小整数解为（）
A． -1 B． 0 C． -5 D． -4
4
【答案】D
【解析】， 所 以 函 数 在 （-1,0 ） 内 有 零 点 ， 且 在 区 间 （-1,0 ） 上 ，
，函数递增，故只有唯一零点，f （x ）左移 4 个单位得到 F （ x） ，
依题意，函数 F （ x） 所有零点都在区间 （-5, -4）上，所以使得 F （ x） > 0 的最小整数为 -4 .
考点：
函数图象平移与零点.
【思路点晴】本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识.由于，所以函数 F （x ） 的
图像是有函数 f （x ）的图像向左平移 4 个单位所得.由于 F （x ） 零点都在某个区间上，所以函数 f （x ）的零点
也在某个区间上.利用二分法的知识，计算的值，，且 f ' （x ） > 0 函
数递增，有唯一零点在区间 （-1,0 ） ，左移 4 个单位就是 （-5, -4） .
（三）分段函数的零点；
例 3.已知函数
的实数根，则 a 的取值范围是
，若关于 x 的方程 有 8 个不等
⎛1 ⎫⎛ 1⎫
⎝4 ⎭⎝ 3⎭
D．（2,
9
4
）
【答案】D
【解析】函数，的图象如图：
5
关于 x 的方程有 8 个不等的实数根， f （x ）必须有两个不相等的实数根，
∈ 1 2fxf
由 函 数 f （x ） 图 象 可 知 （x）（，） ， 令 t = （ ） ， 方 程
化 为 ：
练习 1．函数
， a = -t 2 + 3t ， 开 口 向 下 ， 对 称 轴 为 ：
t = 3 ，可知：
a 的最大值为：
2
， a 的最小值为 2， a （2， ] ，故选 D.
4
的零点个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】由得零点个数为 2,选 B.
（四）零点范围问题；
【
例 4．哈六中 2019 模拟】设函数
且
，则的取值范围是（）
，若方程 恰好有三个根 ，
A．
【答案】B
B． C． D．
6
【解析】由题意
画出函数的大致图象：
则 ，
由图得,当
时,方程 f（x）=a 恰好有三个根,
由
由图知,点
得
由
与点
得
关于直线
，
对称，
点
与点
关于直线
对称，
∴
则
，
即
的取值范围是[ ,
），
故选 B.
点睛：
函数中方程问题，是高考经常涉及的重点问题，
（1）转化为函数的零点问题，研究函数的图象；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参
数的交点个数；
.
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解
练习 1.已知函数
，且存在不同的实数 x , x , x ，使得 ，
1 2 3
则 x x x 的取值范围是（）
123
A． （0,3 ）B． （1,2 ）
C． （0,2 ）D． （1,3 ）
【答案】A
【解析】函数，画出 f （x）的图象如图所示，作出直线 y = t ，当1 < t < 2 时，
直线与 f （x）图象有三个交点，横坐标由小到大，设为 x ，x ，x ，令
123
，即
，
则有 x ⋅ x = t - 1 ，令 2 x-2 = t ，得到，即有
12
，
7
令， t ∈ 1,2）， t -1 > 0 ， t 越大其值越大；
，故选 A．
， t 越大其值越大，则有
（五）零点个数问题；
例 5．【湖北 2019 模拟】定义在 R 上的奇函数 f （x ）满足①，②，③
x ∈[0,1]时
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
，则函数 的零点个数是（ ）
【解析】由①②可知,f（x）是周期为 2 的奇函数,又 x∈[0,1]时,
可得函数 f（x）在 R 上的图象如图，
，
|
由图可知,函数 y=f（x） log3x|的零点个数为 6 个，
本题选择 C 选项.
点睛：
函数零点的求解与判断：
（1）直接求零点：
令 f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
[
（2）零点存在性定理：
利用定理不仅要函数在区间 a，b]上是连续不断的曲线，且 f（a）· f（b）＜0，还必须结合函
8
数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：
将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
练习 1.关于 x 的方程有三个不同实数解，则实数 a 的取值范围是（）
A． （2, +∞）B． （3, +∞）C．（0,3 ）D． （-∞,3 ）
【答案】B
【解析】
x ，
设,导数，
当 x > 1 时,在（1,+∞）递增；
当 x < 0, 或 0 < x < 1 时,在（−∞,0）,（0,1）递减。
可得 f （x ）在 x = 1 处取得极小值 3，
作出 y = f （x ）的图象，由题意可得当 p>3 时，
直线 y = a 与 y = f （x ）有 3 个交点。
即有原方程有三个不同实数解,则 a 的范围是 （3, +∞）.
练习 2 ．已知函数， 用 min{m, n} 表 示 m, n 中 最 小 值 ，
，则函数 h （x） 的零点个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
9
【解析】由题意，作出 h （x） 的图象如图所示，由图象，得函数的零点有三个：
1 ,e,3 ；故选 C.
e
（六）零点与参数；
6．【2019 南昌模拟】曲线
围是
与直线 有两个交点时，实数k 的取值范
A．
B． C． D．
【答案】A
【解析】可化为 x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，
2
为半径的圆 y≥1 的部分．直线 y=k（x﹣2）+4 过定点 p（2，4），由图知，当直线经过 A（﹣2，1）点时恰
与 曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个．
5
，由直线与圆相切得 d=2，解得 k=，
412
⎛ 5 3 ⎤
⎝ 12 4 ⎦
练习 1．已知 f （x ），又 （0, ∞），若满足的有四个，
10
则 f （x ）的取值范围为（）
A． （0, +∞）B． a +1 > 0C． f ' （x ） = 0D． x =
【答案】A
1
a + 1
练习 2．若方程有大于 2 的根，则实数 的取值范围是（）
A．
【答案】C
B． C． D．
【解析】 问题等价于方程
，所以 k 的取值范围是
在 有解，而函数
，故选 C.
在 上递增，值域为
练习 3．方程
在区间 [1,5]上有根，则实数 a 的取值范围为（ ）
⎛23⎫⎡ 23 ⎤⎛
⎝5⎭⎣5⎦⎝
【答案】C
23 ⎤
5 ⎥
【解析】由于方程
故方程
有解，设它的两个解分别为 x1，x2，则 x1 x2=−2<0，
在区间[1,5]上有唯一解。
设 f（x）= x 2 + ax - 2 ，则有 f
（1）f（5）<0，即（a−1）（5a+23）⩽0，
解得：
-
23
5
⩽a⩽1，
故选：
C.
点睛：
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
11
（七）零点与框图；
例 7.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若
输入，则输出 n 的值（ ）
A． 4B． 5C． 6D． 7
【答案】B
【解析】模拟程序的运行，可得
n=1,x1=1,x2=2，d=0.1，
令 f（x）=x2−2,则 f
（1）=−1<0,f
（2）=2>0，
m=1.5,f（1.5）=0.25>0,满足条件 f（m）f（x1）<0,x2=1.5，
此时|1.5−1|=0.5>0.05，不合精确度要求。
n=2,m=1.25,f（1.25）=−0.4375<0.不满足条件 f（m）f（x1）<0,x1=1.25，
此时|1.5−1.25|=0.25>0.05，不合精确度要求。
n=3,m=1.375,f（1.375）=−0.109<0.不满足条件 f（m）f（x1）< 0,x1=1.375，
此时|1.5−1.375|=0.125>0.05，不合精确度要求。
n=4,m=1.375,f（1.4375）=0.066>0.满足条件 f（m）f（x1）<0,x2=1.4375，此时|1.5−1.4375|=0.062>0.05，符合精确度要
求。
n=5,m=1.4375,f（1.40625）=0.066<0.满足条件 f（m）f（x1）<0,x1=1.40625，此时|1.5−1.4375|=0.03125<0.05，符合精
确度要求。
退出循环，输出 n 的值为 5.
12
本题选择 B 选项.
练习 2．已知；；设函数
，且函数 F （ x） 的零点均在区间 [a, b （ a < b ，a ，b ∈ Z ）内，则 b - a
的最小值为（）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【解析】∵，当 x ∈ （-1,0） 时，
，∴函数 f （ x） 在区间 （-1,0） 上单调递增， 故函数 f （ x） 有唯一零点 x ∈ （-1,0） ；∵
，，当
x ∈ （1,2） 时，，∴函数 g （ x） 在区间 （1,2） 上单调递减，故函数 g （ x） 有唯一零点
x ∈ （1,2） ；∴ f （ x + 3） 的零点在 （-4, -3） 内， g （ x - 4） 的零点在 （5,6） 内，∵
，且函数 F （ x） 的零点均在区间 [a, b]（ a < b ， a ， b ∈ Z ）内，因此
的零点均在区间 [-4,6 ] 内，∴ b - a 的最小值为10 .故选 C．
考点：
1、利用导数研究函数的单调性；2、数列求和；3、函数零点存在性定理．
【思路点睛】利用导数分别求出函数 f （ x） 、 g （ x） 的零点所在的区间，然后要求
的零点所在区间，即求 f （ x + 3） 的零点和 g （ x - 4） 的 零点所在区间，
根据图象平移即可求得结果．本题考查函数零点存在性定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问
题以及函数图象的平移，体现了分类讨论的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力．属于中档
题．
练习 3.已知当 x ∈ R,[x]表示不超过 x 的最大整数，称 y = [x]为取整函数，例如
，若
f （x ） = [x]，且偶函数，则方程的所有解之和为（）
A．1B．-2C． 5 - 3D． - 5 - 3
13
【答案】D
【解析】设 x < 0 ，则 - x > 0 ，又 g （ x） 为偶函数，所以．由
x
f （x ） = [ ]，得．在同一坐标系中画出 f （ f （x ））与 g （ x） 的图象，如图所示．由图知同，
两个图象有四个交点，交点的纵坐标分别为1,0, -3, -4 ，当 x ≥ 0 时，方程
当 x < 0 时，由解得 x = -3 ，由
上，得的所有解之和为，故选 D．
的解是 0 和 1；
解得 x = -1 - 5 ．综
14
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