1、培优竞赛新方法九年级第讲一元二次方程的应用第4讲 一元二次方程的应用知识纵横 方程是刻画现实问题的有效模型之一,一元二次方程是方程模型的重要代表。许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。 一元二次方程的应用有以下几个方面: (1) 求代数式的值; (2)列二次方程解应用题; (3)解相关几何问题。例题求解【例1】 在平面直角坐标系中有点、,C是坐标轴上一点。若是直角三角形,则满足条件的点C的坐标是_。(山东省竞赛题)【例2】 已知实数、满足,则的值为( )。A7 B C D5(全国初中数学竞赛题)【例3】 在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块高墙(墙长15c
2、m)的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围城(如图所示)。若花园的BC边长为x(m),花园的面积为y(m2)(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)满足条件的花园面积能达到200m2吗?若能,求出此时x的值,若不能,说明理由;(3)根据(1)中求得的函数关系式,判断当x取何值时,花园的面积最大,最大面积是多少? (青岛市中考题)【例4】 已知:如图,在RtABC中,C=90,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s,点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度2m/s,连接PQ。若运动时间为
3、t(s)(2t2),解答下列问题:(1)当t为何值时,PQBC?(2)设AQP的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3)如图,连接PC,并把沿QC翻折,得到四边形PQPC,并且存在某一时刻t,使四边形PQPC为菱形,求此时的面积.(青岛市中考题)【例5】 如图,在平面直角坐标系中,直线与交于点A,分别交x轴于点B和点C,点D是直线AC上的一个动点。 (1)求点A、B、C的坐标; (2)当CBD为等腰三角形时,求点D的坐标。分析 对于(2),利用“腰相等”建立方程,解题的关键是分情况讨论状况。(太原市中考题)巧定价格【例6】 某公司投资新建了一商场,共有商铺30间。据预测,当每年的年
4、租金定为10万元时,当全部租出。每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间。该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。(1) 当每间商铺的年租金定位13万元, 能租出多少间?(2) 当每间商铺的年租金定位多少万元时,该公司的年收益(收益+租金-各种费用)为275万元?(绍兴市中考题)学力训练基础夯实1.某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元,已知两次降价的百分率相同,那么两次降价的百分率为_。(大连市中考题)2.庆“五一”,市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),共进行了45场比赛,这次有_支队参加比赛。(鄂州市中
5、考题)3.假如一人患红眼病,经过两轮传染共有144人患了红眼病,按这样的传播速度,若有两人患了红眼病,经过第一轮传染后患红眼病的人数共有_人。4已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM过E作EF丄CD,垂足为F点若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,則AE的长为_(2011年潍坊市中考题) 5.图是一瓷砖的图案,用这种瓷砖铺设地面,图铺成了一个22的近似正方形,其中完整菱形共有5个;若铺成33的近似正方形图案,其中完整的菱形有13个;铺成44的近似正方形图案,其中完整的菱形有25个;如此下去,可铺成一个nn的近似
6、正方形图案当得到完整的菱形共181个时,n的值为() A. 7 B.8 C.9 D.10(2011荆州市中考题)6.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?(海口市中考题)7.如图,要设计一个等腰梯形的花坛,花坛上底长120米,下底长180米,上下底相距80米,在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道,上下底之间有两条纵向甬道,各甬道的宽度相等设甬道的宽为x米(1)用含x的式子表示横向甬道的面积;(2)
7、根据设计的要求,甬道的宽不能超过6米如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系,比例系数是5.7,花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元,那么当甬道的宽度为多少米时,所建花坛的总费用为239万元?(南宁中考题)8.如图,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,CBOA,OA=7,AB=4,COA=60,点P为x轴上的一个动点,但是点P不与点0、点A重合连接CP,D点是线段AB上一点,连接PD(1)求点B的坐标;(2)当CPD=OAB,且,求这时点P的坐标(广东省中考题)能力拓展9.过点P(-1,3)作直线,使它与两坐标轴围城的三角形面积为5,这样的直线可以作_条。 (全国初
8、中数学联赛题)10.参加会议的成员都互相握过手,其中某人与他的一些老朋友握过第二次手。若这次会议握手的总数是159次,那么参加会议的成员有_人,其中,第二次握手共有_次。 (第19届江苏省竞赛题)11.如图,直线与y轴交于点A,与双曲线在第一象限内交于点B、C两点,且,则=_. (武汉市中考题) 12.如图,正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数的图象上,顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上,再在其右侧作正方形P2P3A2B2,顶点P3在反比例函数 (x0)的图象上,顶点A2在x轴的正半轴上,则点P3的坐标为_。(2011年宁波市中考题)13.一个三角形的边长分别为a,a,b,
9、另一个三角形的边长分别为b,b,a,其中ab,若两个三角形的最小内角相等,的值等于() A. B. C. D.14.如图,若将左边正方形剪成四块,恰能拼成右边的矩形,设a=1,则这个正方形的面积为()。(山东省竞赛题) A. B. C. D.15.(2006无锡)如图,在等腰梯形ABCD中,ABDC,AB=8cm,CD=2cm,AD=6cm点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向终点B运动;点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿CD、DA向终点A运动(P、Q两点中,有一个点运动到终点时,所有运动即终止)设P、Q同时出发并运动了t秒(1)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时,求t的值;(2)试
10、问是否存在这样的t,使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半?若存在,求出这样的t的值;若不存在,请说明理由(无锡市中考题)16.某校一间宿舍里住有若干位学生,其中一人担任舍长元旦时,该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡,并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡,每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡,这样共用去了51张贺卡问这间宿舍里住有多少位学生 (山东省竞赛题)17.如图,已知直线(k1)与双曲线y=6/x在第一象限和第三象限分别交于点A()和点B(),分别由A、B向x轴引垂线,垂足为M、N,当四边形AMBN的面积取得最小值时,求k的值。 (世界数学团体锦标赛试题)18.如图,在ABC中,AB=AC=10cm,BDAC于点D,且BD=8cm点M从点A出发,沿AC的方向匀速运动,速度为2cm/秒;同时直线PQ由点B出发,沿BA的方向匀速运动,速度为1cm/秒,运动过程中始终保持PQAC,直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F连接PM,设运动时间为t秒(0t5)(1)当t为何值时,PMBC?(2)设四边形PQCM的面积为ycm2,求y与t之间的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t,使?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;(4)是否存在某一时刻t,使四边形PQCM成为等腰梯形?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由 (2011青岛市中考题)
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