数学归纳法总结.docx

1、数学归纳法总结数学归纳法总结数学归纳法总结【数学归纳法】【数学归纳法的基本形式】1.第一数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果当nn0(n0N)时，P(n)成立；假设nk(kn0,kN)成立，由此推得nk1时，P(n)也成立；那么根据可得到结论：对一切正整数nn0，命题P(n)成立。2.第二数学归纳法（串值归纳法）设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果当nn0(n0N)时，P(n)成立；假设nk(kn0,kN)成立，由此推得nk1时，P(n)也成立；那么根据可得到结论：对一切正整数nn0，命题P(n)成立。3.跳跃数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果当n1,2,.,

2、l时，P(1),P(2),.,P(l)成立；假设nk(kn0,kN)成立，由此推得nkl时，P(n)也成立；那么根据可得到结论：对一切正整数n1，命题P(n)成立。4.反向数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果P(n)对无限多个正整数n成立；从命题P(n)成立可以推出命题P(n1)也成立；那么根据可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。如果命题P(n)对无穷多个自然数成立的证明很困难，我们还可以考虑反向数学归纳法的另外两种形式：设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果n1时命题P(n)正确；假如由P(n)不成立推出P(n1)不成立；那么根据可得到结论：对一切正整数n，命题P(

3、n)成立。设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果n1,2,.,r时，命题P(1),P(2),.,P(r)都成立；假若由由P(n)不成立推出P(nr)不成立；那么根据可得到结论：对一切正整数n，命题P(n)成立。以上讨论的均是完全归纳法，不完全归纳法是从特殊出发，通过实验、观察、分析、综合、抽象概括出一般性结论的一种重要方法，运用不完全归纳法可通过对数列前n项的计算、观察、分析推测出它的通项公式，或推测出这个数列的有关性质。应用不完全数学归纳法时，必须用完全数学归纳法对结论的正确性予以证明。【应用数学归纳法的技巧】1.移动起点有些命题对一切大于等于1的正整数n都成立，但命题本身对n0也成立，而

4、且验证起来比验证n1时容易，因此用验证n0成立来替代验证n1；同理，起点也可以进行适当后移，只要后移的起点成立且容易验证。2.起点增多有些命题由nk向nk1跨进时，需要用到一些其他特殊点的性质，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点；增多起点也可以更好的观察出每一个n具有的统一形式，从而利用数学归纳法证明。3.选择适当的假设方式归纳假设不要拘泥于“假设nk时命题成立”，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法。【典型例题】例1：证明：n5n(nN)能被6整除。例2：证明：对于一切自然数n1都有22n。n例3：设ax11n，求证：xn可表示为a的n次多项式。xx例4：试证

5、用面值为3分和5分的邮票可以支付任何n(n7,nN)分的邮资。例5：求证：适合x2yn(x0,y0)的整数解组数r(n)满足：r(n)11(n1)1(1)n24。例6：已知f(x)是定义在N上，又是在N上取值的函数，且：（1）f(2)2（2）m,nN,f(mn)f(m)f(n)（3）当mn时，f(m)f(n)求证：f(x)x在N上恒成立。例7：证明对任何正整数n,f(n)n3n5都不能被121整除。扩展阅读：高考专题数学归纳法数学归纳法数学归纳法一、知识梳理(1)数学归纳法的基本形式第一数学归纳法设P(n)是关于自然数n的命题，若1P(n0)成立(奠基)2假设P(k)成立(kn0)，可以推出P

6、(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立注：第一数学归纳法有如下的变式：设P(n)是关于自然数n的命题，若1P1,P2,.,Pl成立(奠基)2假设P(k)成立(kn0)，可以推出Pkl成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立以上方法称为“跳跃数学归纳法”（了解）第二数学归纳法设P(n)是关于自然数n的命题，若1P(1)成立(奠基)2假设nk（k为任意自然数）时，Pn1nk成立，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切自然数n都成立反向数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果P(n)对无限多个正整数n成立；假设nk时，命题P(k)

7、成立，则当nk1时命题P(k1)也成立，那么根据对一切正整数n1时，P(n)成立(2)数学归纳法的证明技巧a“起点前移”或“起点后移”。有时前几项不能统一到归纳里面，需要单独验证，需要将起点后移b加大跨度。这时候可以应用跳跃归纳法（不需要掌握）c加强命题d命题的活化（一般化）。比如要证明f201*时候成立，可以证明fn成立e先猜后证。可以先算出前几项，找出规律，猜测后再证明。数学归纳法(3)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等(4)几点说明1用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可；2在第二步中，在递推之前

8、，时结论是否成立是不确定的，因此用假设二字，这一步的实质是证明命题对的正确性可以传递到时的情况.有了这一步，联系第一步的结论（命题对成立），就可以知道命题对也成立，进而再由第二步可知即也成立，这样递推下去就可以知道对于所有不小于的正整数都成立.在这一步中，时命题成立，可以作为条件加以运用，而时的情况则有待利用归纳假设、已知的定义、公式、定理加以证明，不能直接将代入命题.二、典型例题讲解【例1】证明：111(1)1(nN)n1n23n1111(2)(11)(1)(1)(1)33n1(nN)473n2分析:如果运用以前所学知识通过放缩法进行回很困难,但是如果用数学归纳法就比较容易.以下是详细证明过

9、程.11113证明:(1)第一步:当n=1时,左=1,故n=1时不等式成立.23412111第二步:假设当n=k时不等式成立，即1k1k23k1那么当n=k+1时,11111左=k23k13k23k33k4=111111k23k13k23k33k43k1=11121k1k23k13(3k2)(3k4)(k1)故n=k+1时不等式成立第三步:根据（1）（2）可知：结论对于一切正整数n成立.(2)第一步:当n=1时,左=2,右=34,故左右,即n=1时不等式成立.111第二步:假设n=k时不等式成立,即(11)(1)(1)(1)473k233k1-2-数学归纳法那么n=k+1时,1111左=(11

10、)(1)(1)(1)(1)473k23k13k233k13k13k233k13k133k433(3k2)3(3k4)=2(3k1)(3k2)2(3k4)(3k1)2=(3k1)2=9k40(3k1)23k233k1）1（3k1n=k+1时不等式成立左33k1第三步：根据（1）（2）可知：对于一切正整数n不等式成立。1111【例2】证nN时有（1）（12）（1n）3332证明：显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nN，有1111111（2n）（1）（1）（12）（1n）333333用数学归纳法证明（1）式：（i）n1时，（1）式显然成立，（ii）设nk时，（1）式成立，即（1）（11311

11、1111（）（1）323k3323k则当nk1时，111111111（2k）（1k1）（1）（12）（1k）（1k1）33333333111111111（2k）k1k1（2k）3333333311111（2kk1）即当nk1时，（1）式也成立。3333故对一切nN，（1）式都成立。11n1（）11111133利用（1）得，1（2n）1（1）（12）（1n）133333313数学归纳法nn11（）（）121312112312故原式成立，从而结论成立。【例3】设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式解：()当n1时，x2a

12、1xa10有一根为S11a11，1于是(a11)2a1(a11)a10，解得a121当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，2111于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1226()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn101112由()知S1a1，S2a1a222633由可得S34n由此猜想Sn，n1，2，3，n1下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立k(ii)假设nk时结论成立，即Sk，k1当nk1时，由得Sk1故nk1时结论也成立n综上，由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立n1

13、于是当n2时，anSnSn1n1n1，nn1n(n1)k11，即Sk1，2Skk211n又n1时，a1，所以an的通项公式an，n1，2，3，212n1x11【例4】已知函数f(x)=x3x2+2+4,且存在x0(0,2),使f(x0)=x0.1（I）证明：f(x)是R上的单调增函数；设x1=0,xn+1=f(xn);y1=,yn+1=f(yn),2其中n=1,2,数学归纳法（II）证明：xn数学归纳法即111,anan1n111111111,.a2a12a3a23anan1n11111.ana123n于是有所有不等式两边相加可得由已知不等式知，当n3时有，111log2n.ana12a1b,

14、2blog2n111log2n.anb22ban2b.2blog2n证法2：设f(n)111，首先利用数学归纳法证不等式23nanb,n3,4,5,.1f(n)b3a233b.32a3a21f(3)b1131a22a1（i）当n=3时，由a3知不等式成立.（ii）假设当n=k（k3）时，不等式成立，即akb,1f(k)b则ak1(k1)akk1k1(k1)1f(k)b(k1)ak1(k1)1akb(k1)b(k1)(k1)f(k)bbb1(f(k)1)bk1b,1f(k1)b即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，anb,n3,4,5,.1f(n)bb11lo2gnb22b,n3,4,5,.2blo2gn又由已知不等式得an（）有极限，且liman0.n数学归纳法（）2b221,令,2blog2nlog2nlog2n510则有log2nlog2n10,n21024,1.5故取N=1024，可使当nN时，都有an【例6】数列an满足a11且an1(111)a(n1).n2nnn2（）用数学归纳法证明：an2(n2)；（）已知不等式ln(1x)x对x0成立,证明:ane2(n1)，其中无理数e=2.71828.证明：（）（1）当n=2时，a222