抓住本质 灵活运用.docx

1、抓住本质 灵活运用抓住本质 灵活运用浅谈对启发式的理解武穴市中官中学 陈连志科教兴国，教育改革，是当今世界经济和科技发展的必然趋势。教育的根本任务是培养高素质的劳动者和创新人才，为此，启发式的教学方式就显得尤为重要。但通过长期的实践研究表明，教师在运用启发式的教学方式进行教学时，还有不少的问题，启发式的本质是什么？它的宗旨是什么？我们教师还不能很好的把握，灵活运用，研其原因，还是思想观念没有改变。一、启发式教学不是一种新教法，而是一种古老而又有生命力的科学方法教育改革，重点是教学方法的改革，随着改革的逐步深入，各种教法如雨后春笋，但启发式的教学方法，早在人类社会初期，就处于一种无意思的状态，随

2、着社会的进步，这种教学方法逐步得到完善和形成体系。如我国古代杰出的布衣数学大师刘微主张：“告往而不知，举一隅而三隅反”的启发式数学，他还生动告诫后来者，要抓住关键，提纲挚领，他曾说：“庖丁解片、游刃理间，故能力久，其刃如新，夫数，犹刃也，易简用之，则动中庖丁之理。”运用启发式思想进行创造性思维和发明创造，使他萌发了二进制思想。正因为如此，启发式数学思想久经不衰，而且越来越显示出其优势性，今天我们再提启发式，一者它较其它方法更切合现代教育的需要，二者为了对它进一步地完善。二、启发式教学是一种科学的教学方法，而不是一种形式。有些教师认为：启发式数学方法，只能在公开课中运用，是花架子，或是在每节课的

3、开头运用，起着引入新授的作用。如真是这样，那就是大材小用，没有真正的理解启发式的本质是启发学生思维，培养学生学习积极性，提高教学效率，要真正掌握启发式，我认为应抓住“四性”。1、启发应具有可行性。启发的目的是调动学生的学习积极性，培养他们的思维习惯和思维方式，有些教师误认为启发式是形式，从而故弄悬殊地进行启发。如我处有位教师在讲授“等式和它的性质”时是这样进行启发的师猜数学生报数，即由学生报数，老师根据条件马上回答出所应填的数，我想其意图有二，一激活课堂气氛，二引入新课，但其效果甚微，所其原因，第一，问题较复杂，教师猜数时有困难，其次不切实，有点故弄悬殊的意识，最后使学生启而不发，课堂气氛反而

4、消沉，以致画蛇添足。2、启发应具有目的性。教师在运用启发时，应注意自己的目的是什么？如上位教师在用天平演示等式性质时，先左盘放一砝码，再右盘放一砝码，再左、再右地进行，但我想你的目的是演示性质一，以便让学生直观形象地掌握这一性质，你就应该抓住“三同”，也就是说，你必须首先双手同时在两盘中加上同样的砝码，或拿出同样的砝码，演示“相等”，而后一边加或两边加减的砝码不一样，演示“不相等”，这样一来就非常清楚地把问题摆在学生的面前，启发学生对等式性质的正确理解。3、启发式数学具有连续性、持久性。启发式教学方法，是一种科学的教学方法。因此，我们应自始至终地把启发式贯穿到每节课每个学段，而不应只有公开课或

5、开头运用。在我处举行的启发式公开课时，有位教师讲的内容是“线段的垂直平分线”讲完性质后，他把书后的练习改编为这样一题：如图，有两个养鱼专业户有鱼池分别在A、B处，其旁有一水渠，现决定开一闸口注水到水池，修在何处较合理，两专业户争论不休，现请你帮助解决。这样一来把一个枯燥地题目，改编为现实生活中的问题，切合实际，形象生动，激发了学生的学习兴趣，同时培养了学生解决问题的能力，课堂效果相当好。4、启发式具有思想性。教学的目的不是单纯的“传导授业解惑”，而应是教会学生解决问题的方法，培养学生正确、科学的思维习惯。因此启发式应具有思想性，有些教师认为启发式就是象上面的例子，选一些新颖的“插曲”，激活学生

6、的学习兴趣，但殊不知启发的另一重要目的是培养学生的能力，因此教师在调动学生积极性的同时，还应传授学生数学思想和教学方法，如有位教师在讲一元一次方程的解法（移项）一节时，是这样进行的。首先请两个学生上台用等式性质完成以下两题：x+72 x-7=2x+7-7=2-7 x-7+7=2+7x=2-7 x=2+7x=-5 x=9做完后，她请学生观察以上解题步骤，有什么特点，并回答，第一个问题：中第一题为什么两边要7其目的是什么？第二题呢？第二个问题步与有什么变化，项数、位置、各项的符号，经过这两个问题的启发，使学生明白了移项的来龙去脉，认识到移项的本质。之后她又请学生自己出题加以验证。这样既可把知识进一

7、步巩固，又可教会学生解决问题的方法，达到一举两得。接着他又出了几道判断题哪：x+7=2那么7-x=2让学生认识到移项是在等式的两边进行，使知识得到“升华”。如此一环一环，结构紧奏，学生思维活跃。由此我们还发现一个问题，那就是讲不等于不是启发，启发不等于不讲，讲不讲关键在于你所运用的手段是否能启发学生的思维。三、启发式数学必须灵活机动，切不可照本宣科，千篇一律启发式的目的是启发学生思维，因此我们在运用教材及方式上，应根据实际情况和学生的特点，灵活机动，如初一实验数学列方程解应用题的第一课时，有些教师完全按书本方法所讲，但我认为，列方程应用题其关键是找等量关系，我们为什么不从角度地去找等量关系呢？

8、如第一题除开264元作为等量关系之外，我们可不可以启发学生以40枚为等量关系呢？后一例题也是如此，这样既可突出这节课的重点，还能培养学生的创造性思维和发散思维，有利于学生能力的提高。四、启发式教学方法，不是一种独立的方法，而应与其它方法融为一体。启发式教学方法有其独特的优越性，但我们不能把它同其它方法割裂开来，只有把各种方法是灵活机动的融合一起，根据具体需要，运用适宜的方法，才能达到事半功倍。同时，启发式教学本身同其它方法也是密不可分的发如分层教学法、情景教学法等。以上只是我通过实践对启发式教学的一点理解，我们还应该进一步加以探讨，领会启发式的精神实质，真正达到激活学生学习兴趣，培养学生能力的

9、目的，以教学结构改革为突破口，多种方法和形式优化组合，灵活运作，强化质量意识，讲究效率，为培养高素质的劳动者和创新人才打下伏笑。例析数学教学中逆向思维能力的培养武穴市中官中学 陈连志所谓逆向思维是在研究问题的过程中，采用与习惯思维完全相反的思维逆向思维是创造性思维的一个重要方面，是开拓型人才必备的思维品质。当反复思考某个问题陷人困境时，逆向思维常能使人茅塞顿开、出奇制胜在学习过程中学生由于一般习惯于正向思维，所以其逆向思维能力显得很薄弱，因此在重视正向思维的前提下，教师应有意识地、有目的地加强对学生逆向思维能力的培养，逐步让学生接受逆向思维的策略和方法，突破正向思维定势的束缚，养成逆向思维的习

10、惯本文就初中数学教学中如何培养学生的逆向思维能力的问题，谈谈自己的一些看法1 利用定义的可逆性，培养学生的逆向思维能力 数学概念都是充要条件，均是可逆的在数学解题中，“定义法”是一种比较常见的方法，但定义的逆用往往被人们忽视，重视定义的逆用，展开逆向思维可使问题化繁为简，化难为易例1已知ab，且a23a0，2b10，求代数式的值。分析：此题若直接解方程式求a、b的值，再代入代数式求值，将会十分繁琐。我们可以逆用方程解的定义，可知a，b是一元二次方程x23x-10的两个解，再根据违达定理，于是有下列解法。解ab，由a23a10，b23b10，逆用方程解的定义，可知a，b是方程x23x10的两个不

11、相等的实数根，由韦达定理，得ab3，ab1，故2 利用公式的双向性，培养学生的逆向思维能力 逆用公式是培养学生逆向思维能力的重要途径之一在习惯上，学生运用公式解题时，大都采用由左至右或化繁为简的顺序，但数学公式的本身是双向的，因此在掌握顺向思维解题的基础上，有必要加强对公式逆用的指导对于一个公式的运用，若能通过变形或由右到左，由简到繁地灵活使用，不但可以真正掌握公式，还能形成解题技巧，提高解题能力，进而培养学生逆向思维的能力，锻炼了其思维的灵活性 例2：计算（2a）2（4a）2分析：本题若直接运用完全平方公式展开再相加，运算量会比较大；若把式中的“2a -”与“4a”分别看做平方差公式中的a和

12、b，逆用平方差公式，则运算便简便多了。解：原式（2a）（4a）（2a+）-(-4a)（b2a）6a4ab12a2。3 利用互逆定理，培养学生的逆向思维能力数学中有许多这样的重要定理，如勾股定理、一元二次方程根的判别式定理、韦达定理等的逆定理都成立，在中学数学解题的过程中，我们可以运用这些逆定理，提高分析问题和解决问题的能力例3：已知实数x、y、z满足x6y，z2xy9，求证：x=y。分析：对于本题，多数同学的习惯思维是解方程组，把x、y的值求出来，但是当有三个未知数却只有两个方程时，便陷入了困境，经过仔细观察后发现，把已经式子稍加变形后可得x与y的和，x与y的积，可以利用韦达定理的逆定理，其后

13、又可以用一元二次方程根的判别式定理的逆定理来继续求解。解：由已知得xy6，xyz29，根据韦达定理逆定理，x、y 是一元二次方程t26tz290的两根。因为x，y为实数，利用根的判别式定理的逆定理，可得（6）24（z29）4z20又4z20，z=0，从而0，故方程有两相等实数根，即xy。4、利用分析法，培养学生的逆向思维能力分析法的实质是“执果索因”，即从结论出发，逐步追溯充分条件，一直追溯到题目所给的条件为止，因此分析过程是典型的逆向思维活动过程，在证明题中用得较多。在数学中教师应充分利用分析法，对比较复杂的问题，还应从结论到题设、从题设到结论，经过多次正反两个方面的思考来寻找解题途径。例4

14、：如图1，ABC内接于圆，D为弧BC的中点，连AD交BC于E，求证：（1） (2)ABAC=AE2+EBEC。 分析 (1)要证比例式成立，只需证积式AEDE= EBEC成立，而这根据相交弦定理即可证得(2)要证等式的左边是两线段之积，而右边是一线段的平方与两线段的积的和因为右边较复杂，所以先要进行转化，若能将右边化为两线段之积，则可变为我们较为熟悉的等积式的证明由（1）得AEDEEBEC，故右边AEAEDEAE（AEDE）AEAD，于是转化为证明ABACAEAD，改写成比例式为，即要证明ABEADC，故连结DC，由BAEDAC，ABEADC，问题得证。（证略）5、利用“正难则反”的原则，培养

15、学生的逆向思维能力解题的一种基本思考方法是：从正面人手进行思考，寻找解题的突破口但这种方法并不适于解决所有问题，有时正面出击会出现思维障碍，导致困难重重，甚至无从下手，在这种情况下要善于引导学生调整思维方向，从问题或其中的某个方面的反面人手进行思考，采取“正难则反”的思维策略，使学生从困惑中解脱出来 例5已知关于x的一元二次方程：（1）x22mxm2m0；（2）x2（4m1）x4m2m0（3）（m21）x2（2m1）x10中至少有一个方程有实数根，试求m的取值范围分析：如果从正面来解，会出现七种情况：一个方程有实根时有三种情况，两个方程有实根时有三种情况，三个方程有实根时有一种情况，可谓麻烦至

16、极如果反过来进行思考，由于“至少有一个的反面是“都没有”，问题的反面只有一种情况：三个方程均无实根，则 化繁为简，化难为易 解:求出三个方程同时无实根时m的取值范围，设三个方程都无实根，则有：14m24（m2m）4m0，解得m0；2（4m1）24（4m2m）4m10解得m；3（2m+1）24 (m21)4m30，解得m；故m；当m时，三个方程无实根。当m时，三个方程中至少有一个方程有实根。6、利用反证法，培养学生的逆向思维能力 反证法从待证命题结论的反面人手，即：假定结论的反面是正确的，然后结合已知条件，经过逻辑推理引出一个新的结论而这个新结论或与题设相矛盾或与已学过的定理、公理相矛盾，从而得

17、出原命题结论的反面不正确，所以原结论正确反证法是逆向思维的一种体现例6求证：凸多边形的内角中，锐角个数不超过3个证明：假设凸多边形的内角中，锐角个数多于3个(否定结论)，那么至少有4个内角是锐角这时，这四个锐角的邻补角即凸多边形的四个外角都是钝角，则这四个外角之和已经大于360了，当然这个凸多边形所有外角之和更会大于360，这与凸多边形外角之和等于360这个定理相矛盾(推出矛盾)，因此，关于凸多边形的锐角个数多于3个的假设不能成立(否定假设)所以凸多边形的内角中，锐角个数不超过3个7、利用整体意识。培养学生逆向思维能力有些问题，从局部考虑不易求解，从整体考虑则显得简捷易解教师应引导学生在解题过

18、程中，充分发挥整体功能，从整体意识去寻找解题的整体策略，这种非常规的解题方法，也是培养学生逆向思维的一种手段例7、有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件，丙1件，共需31 5元，若购甲4件、乙1件，丙1件，共需420元，现在购甲、乙、丙各一件共需多少元?分析 本题是一道全国初中数学联赛试题，未能解出的学生中，90以上是因为设购甲、乙、丙l件各需x元、y元、z元，由题意得： 然后企图单独求出x元、y元、z元，发现两个方程中有三个未知数，感到条件不足，而题目中又不可能再列出第三个方程，只好放弃，其实，若能将xyz看成一个整体，上述方程就可以化为：，即可直接求出xyz1.05元解：设购甲、乙、丙1

19、件各需x元、y元、z元，根据题意得：此方程组可变为：由（3）3（4）2得xyz1.05元。等式和它的性质武穴市中官中学 陈连志教学目标：1、了解等式的概念，会区别等式和代数式；2、归纳、理解等式的两个性质；3、会运用等式的两个性质进行简单的变形；4、培养学生观察、分析、综合、抽象等能力。教学重点：1、归纳等式两个性质。2、运用等式两个性质变形。教学难点：运用等式性质变形。教学方法：启发式、讨论式。教具准备：天平、幻灯机教学过程：一、准备（透影显示）1、什么是代数式？下列式子是代数式吗？34 7 （ab）c acbc x+5 3二、激趣（透影显示）2、猜数游戏：请同学们任想一个数，然后把这个数除

20、以2再减去3，最后将你运算的得数告诉老师，老师就可以猜出你所想的哪个数。板书1 想的数得数三、诱发：（猜出学生所报的几个数后提出）1、你想知道老师是怎样猜的吗？学完本课的知识（板书2，等式和它的性质）你就会明白其中的道理。2、等式尽管我们天天用，但什么叫做等式呢？要解决这个问题，我们还是刚才的游戏说起。首先，你想的数老师知道吗？应用问题中的不知道的数一般用什么来表示，于是将板书1抽象成数学问题板书33（任选一个得数）进而提问：把两个数代数式用等号连结起来后，表示了两个代数式之间的什么关系？四、由学生的回答板书4等式概念表示相等关系的式子叫做等式。五、目标1检测回答问题（1）把准备知识中代数式用

21、等号分别连接起来所得的式子还是代数式吗？你会区别代数式与等式吗？（2）透影显示选择题：1、下列各式中是等式的是 A、4x27x3 B、56 C、10 D、2（x1）82x62、下列各式中是代数式的是（ ）A、3.14 B、821 C、 D、Svt六、实验：引导学生观察、分析将实验抽象成数学模型，启发学生完成目标2。（一）实验内容：在放有相等重量平衡的天平中，如果有两边称里都加上（或拿去）重量相同中的砝码，或都扩大到原来的相同倍数，或都缩小到原来的几分之一，可发现天平仍然平衡。（二）观察实验透形显示实验结论1在保持平衡的天平的左右两盘都加上（拿去）同一质量（10克）的砝码天平仍然保持平衡问：根据

22、老师的说明，你能用语言将等式的上述特征描述出来吗（回答）后板书5等式的性质11、等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。（三）猜想：保持平衡的天平左右两盘的砝码都扩大（或缩小）到原来的相同的倍数（或几分之几）天平还保持平衡吗？（四）释疑：（1）扩大或缩小在等式中称为乘以或除以。并进一步提出，你能用语言把等式的这一特征描述出来吗？学生的回答后板书6性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数或同一个整式（除数，除式不为零）所得结果仍是等式。（2）强调“同一个数或同一个整式”及“除数、除式不为零”。（3）导引：能说会用吗？完成目标3透影显示1：填空（1）若x21则x2 =1+2

23、即x .（2）若5x38，则（1）5x338 即5x5（2），即x 。（3）8x8y，则8x 。（4）若k5，且2x3，则2x 3(5-k)，反之，若2x（5k）3（5k），（1）则（2）2x ，即x 。2、透影显示：选择题（1）设a为有理数，将等式0.5进行下列变形，结果仍是等式是 A、左、右两边都加上2a B、左、右两边都减去C、在左边乘以a，右边乘以2 D、左、右两边都除以3a（2）由等式3a52a6得到a11的变形是 A、等式两边同时除以3 B、等式两边都加上5C、等式两边都加上（2a5） D、等式两边都减去（2a5）（3）下列等式变形正确的序号是 若x55y，则xy 若，则ab若a=

24、c，则 若2R2r，则RrA、 B、 C、 D、3、透影显示讨论后回答：将等式3a2b2a2b变形，过程如下解：3a2b2a2b（已知）3a2a（第一步）32（第二步）上述过程中，第一步的依据是 ，第二步得出错误结论，其原因是 。七、练习：1、讨论后回答：利用上述所学知识，你能说明老师能很快猜出你想的数的道理吗？说明：等式性质是今后学解方程理论依据，务必弄懂。2、仿照练习中的变形，自己任写一个等式并进行变形。八、课堂小结：透影显示本节所学内容：1、等式的概念：表示相等关系的式子2、等式的两个性质： 其中运用等式的性质进行等式变形，要求每个同学都能正确地使用。九、作业布置：必作题 P171 2、

25、3（1）（2）（3） 选作P171 3（4）（5）板书设计：等式和等式性质（板书2）板书1 板书4想的数23得数 板书5 练习板书33（任选一个得数） 板书6用公式解一元二次方程武穴市中官中学 陈连志教学目标：知识教学点：1、使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2、掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数，一次项系数及常数项。能力训练点：1、通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力：2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性。德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识。二、教

26、学重点、难点：1、教学重点：一元二次方程意义及一般形式。2、教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。三、教学步骤（一）明确目标1、用电脑演示写下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程，学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力。2、现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？教师启发学生

27、设未知数、列方程，经整理得到方程x270x8250，此方程不会解，说明所学知识不能用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决了上述问题。板书：“第十二章一元二次方程”，教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣。（二）整体感知通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中，同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位。（三）重点，难点的学习及目标完成过程1、复习提问（1）什么叫做方程？曾学过哪些方程？（2）什么叫

28、做一元一次方程？“元”和“次”的含义？（3）什么叫做分式方程？问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫。2、引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程x25x1500，此方程和章前引例所得到的方程x270x8250加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念。整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式。这样的方程称为整式方程。一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的，一元二次方程的“一元”指的是“只含有一个

29、未知数”，“二次”是指的是“未知数的最高次数是2”，“元”和“次”的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础。一元二次方程的定义是指方程进行全并同类项整理后而言的。这实际上是给出判定方程是一元二次方程步骤：首先要进行合并同类项整理，再按定义进行判断。3、练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？（1）x（5x2）x（x1）4x2；（2）7x262x（3x1）；（3）（4）6x2x；（5）2x25y；（6）x2=04、任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式。一元二次方程的一般形式：ax2bxc0（a0），ax2称二次项，bx称一次项，c称为常数项，a称二次

30、项系数，b称一次项系数。一般式中的“a0”为什么？如果a0，则ax2bxc0就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解。5、例1：把方程3x（x1）2（x1）8化成一般形式，并写出二次项数，一次项数及常数项？教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式。6、练习1：教材P5中的1，2要求多数学生在练习本上笔答中，部分学生板书，师生评价。题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数。练习2：下列关于x的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出二次项系数、一次项系数、常数项（1）ax22x0；（2）3x22mx0，（3）（m1）x28mx2m10（4）（b21）x2bxb2；（5）2tx（x5）74tx.教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化。（四）总结、扩展引导学生从下面三方面进行小结。从方