高中数学圆锥曲线之椭圆高考考点解析及例题辅导.docx

1、高中数学圆锥曲线之椭圆高考考点解析及例题辅导圆锥曲线椭圆高考要求 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程知识点归纳 1.定义：平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e（0e1），则P点的轨迹是椭圆2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=， =e；（2）,； （3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，3.标准方程：椭圆标准方程

2、的两种形式 和其中椭圆的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是焦准距（焦点到准线的距离），焦参数（通径长的一半）范围：，长轴长=，短轴长=2b，焦距2c ， 焦半径：，.4.中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、2c，有关角()结合起来，建立+、等关系.5.椭圆上的点有时常用到三角换元：；题型讲解 例1已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线. 求椭圆的方程; 设点P在椭圆上,且,求.解:. 设则 又, 例2 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程.解: 设椭圆方程, , ,因为弦AB中点,所以由 得,（点差法）所以 又 例3 已知F1为椭圆的左焦点，A、B

3、分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1F1A，POAB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.分析：求椭圆的离心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF1F1A，POAB易得b=c，a=b.解：设椭圆方程为+=1（ab0），F1（c，0），c2=a2b2，则P（c，b），即P（c，）.ABPO，kAB=kOP，即=.b=c.又a=b，e=.点评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.例4 如下图，设E： +=1（ab0）的焦点为F1与F2，且PE，F1PF2=2. 求证：PF1F2的面积

4、S=b2tan.分析：有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2.若能消去r1r2，问题即获解决. 证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2，又|F1F2|=2c，由余弦定理有（2c）2=r12+r222r1r2cos2=（r1+r2）22r1r22r1r2cos2=（2a）22r1r2（1+cos2），于是2r1r2（1+cos2）=4a24c2=4b2.所以r1r2=.从而有 S=sin2=b2=b2tan.点评：解与PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|

5、PF2|=2a来解决.我们设想点P在E上由A向B运动，由于PF1F2的底边F1F2为定长，而高逐渐变大，故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数，所以tan逐渐变大.因2为三角形内角，故2（0，），（0，）.这样，也逐渐变大，当P运动到B时，F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，例5 若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OAOB，求椭圆的方程.分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为.OAOB，易得a、b的两个方程.解：设A（x1，y1），B（x2，y

6、2），M（，）.由，（a+b）x22bx+b1=0.=， =1=.M（，）. kOM=，b=a. OAOB，=1.x1x2+y1y2=0.x1x2=，y1y2=（1x1）（1x2），y1y2=1（x1+x2）+x1x2=1+=.+=0.a+b=2. 由得a=2（1），b=2（1）.所求方程为2（1）x2+2（1）y2=1.点评：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OAOB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键.例6 已知椭圆的一条准线方程是,其左、右顶点分别是

7、A、B；双曲线的一条渐进线方程为 (1)求椭圆的方程及双曲线的离心率; (2)在第一象限内取双曲线上一点P,连接AP交椭圆于点M,连接PB并延长交椭圆于点N,若求证: (1) 解: (c为椭圆半焦距), 的离心率为. (2) 证明:设,则即 消去得 因为点M在第一象限代入椭圆方程得: 所以点M、N关于x轴对称. 点评: 对概念的理解要准确到位,注意答案的多种可能性; 擅于将几何关系与代数关系相互转化; 把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、复数等问题;注意参量的个数及转化;养成化简整理的习惯.例7 已知椭圆=1,能否在此椭圆上位于y轴左侧的部分上找

8、一点M，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2的距离的等比中项?解：由方程知e=1/2,假设存在点M(x0,y0)满足条件，即 =1且x02,0),有 d2=|MF1|MF2|(d为M到准线的距离), |MF1|=a+ex0=2+x0/2, |MF2|=aex0=2x0/2, d=4+x0, (4+x0)2=4x02/4, x0=12/5或x0=4，这与x02,0)矛盾, 故点M不存在.点评：范围问题和求值问题的解法基本上没有区别，主要是把它当成求值问题来处理，最后通常转化为方程有解问题或函数的值域问题,而且一般是二次的.例8 设椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率.已知点到这个椭圆上的点的

9、最远距离为,求这个椭圆方程. 并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标. 解:设椭圆方程为,为椭圆上的点,由得 若,则当时最大,即, ,故矛盾. 若时,时, 所求方程为 把y=代入，求得M的坐标是(,)或(,).点评：二次曲线的最值问题，常常归结为二次函数的最值问题，解题时要注意对自变量的范围进行讨论.例9 设椭圆与双曲线有共同焦点F1(4,0),F2(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.解法一：设交点为P(x,y), 双曲线的实半轴长为a (2a4),则椭圆长半轴长为2a, 由半焦距为4, 得它们的方程分别为： (1) 和=1 (2)(2)4(1)得：

10、(3),代入(1)得：a2=2|x|再代入(3)化简得：(x5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 .解法二：用定义法求解. |F1P|+|F2P|=2|F1P|F2P|, 解得：|F1P|=3 |F2P| 或3 |F1P|=|F2P| .即： 3或 3,化简得：(x5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 .例10 如图 ,椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使. (1) 求椭圆的离心率;(2) 若15, 求着个椭圆的方程.解: (1)设椭圆的方程为, 焦距为, 则直线l的方程为:,代入椭圆方程, 得, 设点、

11、,则, C点坐标为.C点在椭圆上, .又(2) 由已知从而. .故椭圆的方程为:.小结：椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此在教学中注意以下几点：（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2（如图），它的三边长分别为a、b、c.易见c2=a2b2，且若记OF1B2=，则cos=e.（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性

12、质不因坐标系的选择而改变.例如上述的OF1B2、公式cos=e等，均不因坐标系的改变而改变.（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在.（4）椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有ab0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2b2；在方程Ax2+By2=C中，只要A、B、C同号，就是椭圆方程.（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，

13、转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.练习 1.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是 ( ) A 8, B 10, C 10, 6 D 10, 8答案: B2. 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是 ( ) A B C D 以上都不对答案: C解析: 3. P为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是（ ） A B C D 16答案: B解析: 设,列方程求解. 4. 椭圆内有一点P(1,-1)

14、,F为右焦点,椭圆上有一点M,使最小,则点M为( )A C D 答案: A解析:等于M到右准线的距离.5.椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的2倍，且过点（2，1），则它的方程是_.答案： 6.如图分别为椭圆的左、右焦点,点P在 椭圆上,是面积为的正三角形,则的值是_.解析: .7 设A(-2,0),B(2,0),的周长为10,则动点C的轨迹方程为: _.答案: 8. 椭圆上有两点P、Q ,O为原点,若OP、OQ斜率之积为,则为 ( )A . 4 B. 64 C. 20 D. 不确定 答案: C解析: 设直线方程为,解出,写出9. 过椭圆的焦点F(c, 0)的弦中最短弦长是 ( )A. B. C. D. 答案: A 解析: 设焦点弦AB,AF与负半轴夹角为,则时,.10. 过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为（ ）A B. C. D. 答案: D11. 过原点的直线与曲线C:相交,若直线被曲线C所截得的线段长不大于,则直线的倾斜角的取值范围是 ( )A B C D. 答案: D12. 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为 ( ) A B C D 答案: B13. 若椭圆和圆为椭圆的半