2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：
（1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|=，==e；
（2）,；
（3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c；
（4）|F1K1|=|F2K2|=p=，
3.标准方程：
椭圆标准方程的两种形式
和其中
椭圆的焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径的长是焦准距（焦点到准线的距离），焦参数（通径长的一半）范围：
，，长轴长=，短轴长=2b，焦距＝2c，
焦半径：
，.
4.中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角（）结合起来，建立+、等关系.
5.椭圆上的点有时常用到三角换元：
；
题型讲解
例1已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.
①求椭圆的方程;
②设点P在椭圆上,且,求.
解:
①.
②设则
又,
例2求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦中点横坐标为的椭圆方程.
解:
设椭圆方程,,,
因为弦AB中点,所以
由得,（点差法）
所以
又
例3已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.
分析：
求椭圆的离心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF1⊥F1A，PO∥AB易得b=c，a=b.
解：
设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），F1（－c，0），c2=a2－b2，
则P（－c，b），即P（－c，）.
∵AB∥PO，∴kAB=kOP，
即－=.∴b=c.
又∵a==b，
∴e===.
点评：
由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.
例4如下图，设E：
+=1（a＞b＞0）的焦点为F1与F2，且P∈E，∠F1PF2=2θ.求证：
△PF1F2的面积S=b2tanθ.
分析：
有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则S=r1r2sin2θ.若能消去r1r2，问题即获解决.
证明：
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，
则S=r1r2sin2θ，又|F1F2|=2c，
由余弦定理有
（2c）2=r12+r22－2r1r2cos2θ
=（r1+r2）2－2r1r2－2r1r2cos2θ
=（2a）2－2r1r2（1+cos2θ），
于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2－4c2=4b2.
所以r1r2=.
从而有S=·sin2θ=b2=b2tanθ.
点评：
①解与△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF1|+|PF2|=2a来解决.
②我们设想点P在E上由A向B运动，由于△PF1F2的底边F1F2为定长，而高逐渐变大，故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b2为常数，所以tanθ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈（0，π），θ∈（0，）.这样，θ也逐渐变大，当P运动到B时，∠F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题，
例5若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程.
分析：
欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为.OA⊥OB，易得a、b的两个方程.
解：
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）.
由，∴（a+b）x2－2bx+b－1=0.
∴=，=1－=.
∴M（，）.
∵kOM=，∴b=a.①
∵OA⊥OB，∴·=－1.
∴x1x2+y1y2=0.
∵x1x2=，y1y2=（1－x1）（1－x2），
∴y1y2=1－（x1+x2）+x1x2=1－+=.
∴+=0.
∴a+b=2.②
由①②得a=2（－1），b=2（－1）.
∴所求方程为2（－1）x2+2（－1）y2=1.
点评：
直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A（x1，y1），B（x2，y2），但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0是解决本题的关键.
例6已知椭圆的一条准线方程是,其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐进线方程为
（1）求椭圆的方程及双曲线的离心率;
（2）在第一象限内取双曲线上一点P,连接AP交椭圆于点M,连接PB并延长交椭圆于点N,若求证:
（1）解:
（c为椭圆半焦距）,
的离心率为.
（2）证明:
设,则即
消去得
因为点M在第一象限
代入椭圆方程得:
所以点M、N关于x轴对称.∴
点评:
对概念的理解要准确到位,注意答案的多种可能性;擅于将几何关系与代数关系相互转化;把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、导数、函数、复数等问题;注意参量的个数及转化;养成化简整理的习惯.
例7已知椭圆=1,能否在此椭圆上位于y轴左侧的部分上找一点M，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2的距离的等比中项?
解：
由方程知e=1/2,假设存在点M（x0,y0）满足条件，
即=1且x0∈[─2,0）,
有d2=|MF1||MF2|（d为M到准线的距离）,
∵|MF1|=a+ex0=2+x0/2,|MF2|=a─ex0=2─x0/2,d=4+x0,
∴（4+x0）2=4─x02/4,
∴x0=─12/5或x0=─4，这与x0∈[─2,0）矛盾,
故点M不存在.
点评：
范围问题和求值问题的解法基本上没有区别，主要是把它当成求值问题来处理，最后通常转化为方程有解问题或函数的值域问题,而且一般是二次的.
例8设椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率.已知点到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
解:
设椭圆方程为,为椭圆上的点,由得
若,则当时最大,即,,故矛盾.
若时,时,
所求方程为
把y=─代入，求得M的坐标是（─,─）或（,─）.
点评：
二次曲线的最值问题，常常归结为二次函数的最值问题，解题时要注意对自变量的范围进行讨论.
例9设椭圆与双曲线有共同焦点F1（─4,0）,F2（4,0）,并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.
解法一：
设交点为P（x,y）,双曲线的实半轴长为a（2（1）和=1
（2）
（2）4─
（1）得：
（3）,
代入
（1）得：
a2=2|x|
再代入（3）化简得：
（x─5）2+y2=9或（x+5）2+y2=9.
解法二：
用定义法求解.|F1P|+|F2P|=2||F1P|─F2P||,
解得：
|F1P|=3|F2P|或3|F1P|=|F2P|.
即：
3
或3,
化简得：
（x─5）2+y2=9或（x+5）2+y2=9.
例10如图,椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过其右焦点F作斜率为1的直线,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点C,使＋＝.
（1）求椭圆的离心率;
（2）若＝15,求着个椭圆的方程.
解:
（1）设椭圆的方程为,焦距为,则直线l的方程为:
代入椭圆方程,
得,
设点、,
则
∵＋,∴C点坐标为.
∵C点在椭圆上,∴.
∴∴
又∴
∴
（2）∵
由已知从而.∴.
故椭圆的方程为:
.
小结：
椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此在教学中注意以下几点：
（1）椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2（如图），它的三边长分别为a、b、c.
易见c2=a2－b2，且若记∠OF1B2=θ，则cosθ==e.
（2）应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF1B2、公式cosθ=e等，均不因坐标系的改变而改变.
（3）椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在.
（4）椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a＞b＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c2=a2－b2；在方程Ax2+By2=C中，只要A、B、C同号，就是椭圆方程.
（5）当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.
（6）使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.
练习
1.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A到两条准线的距离分别是（）
A8,B10,C10,6D10,8
答案:
B
2.椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是（）
ABCD以上都不对
答案:
C解析:
3.P为椭圆上的点，是两焦点，若，则的面积是（）
ABCD16
答案:
B解析:
设,列方程求解.
4.椭圆内有一点P（1,-1）,F为右焦点,椭圆上有一点M,使最小,则点M为（）
ACD
答案:
A解析:
等于M到右准线的距离.
5.椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的2倍，且过点（2，1），则它的方程是_____________.
答案：
6.如图分别为椭圆的左、右焦点,点P在椭圆上,是面积为的正三角形,则的值是____.
解析:
.
7设A（-2,0）,B（2,0）,的周长为10,,则动点C的轨迹方程为:
__________.
答案:
8.椭圆上有两点P、Q,O为原点,若OP、OQ斜率之积为,则为（）
A.4B.64C.20D.不确定
答案:
C
解析:
设直线方程为,解出,写出
9.过椭圆的焦点F（c,0）的弦中最短弦长是（）
A.B.C.D.
答案:
A
解析:
设焦点弦AB,AF与负半轴夹角为,则时,.
10.过椭圆左焦点F且倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率为（）
A．B.C.D.
答案:
D
11.过原点的直线与曲线C:
相交,若直线被曲线C所截得的线段长不大于,则直线的倾斜角的取值范围是（）
ABCD.
答案:
D
12.如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭圆的离心率为（）
ABCD
答案:
B
13.若椭圆和圆为椭圆的半
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