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1、小升初几何真题和专项训练北京名校小升初真题（几何篇）时间：15分钟 满分5分 姓名 测试成绩 1（ 06年清华附中考题）1如图，在三角形 ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且 BE=_ AB,已知四边形EDCA勺面积是35,3求三角形ABC的面积.3（05年101中学考题）一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说： “小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分 （如图）修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20分钟.请你想一想修剪北部需要多少分钟？4（05年三帆中学考题）右图中AB=3厘米，CD=12厘

2、米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是 平方厘米.F E D5（06年北大附中考题）三角形ABC中，C是直角，已知 AC= 2, CD= 2,CB=3,AM=BM那么三角形 AMN（阴影部分）的面积为多少?【附答案】BED 11 11根据定理： = =，所以四边形 ACDB的面积就是6-1=5份，这样三角形 35- 5X 6=42。ABC 2 3 62小正方形面积是1平方米，大正方形面积是 5平方米，所以外边四个面积和是 5-仁4,所以每个三角形的面积是1,这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是1。3 如下所示：将北部分成两个三角形

3、，并标上字母工亠(10 x) :20 y：16 口 5y 40 4x 口 x 20那么有 ，即有y ，解得 .(16 y): x 20:10 2x 16 y y 24所以修剪北部草坪需要 20+24 = 44分钟.评注：在本题中使用到了比例关系，即：SA ABG SA AGC= SA AGE SA GEC= BE: EC;SA BGA SA BGC= SA AGF SA GFC= AF： FC;SA AGC SA BCG= SA ADG SA DGB= AD DB;有时把这种比例关系称之为燕尾定理.11 1 1四边形 AFDC的面积=三角形 AFD+三角形 ADC=( x FDX AF) +

4、( x ACX CD = ( FE+ED X AF+-22 2 21 1 1 1(AB+BC X CD= ( X FEX AF+_ X EDX AF) + ( _ X ABX CD X BCX CD)。2 2 2 21 1 1 1所以阴影面积=四边形AFDC三角形 AFE-三角形 BCD=( 1 X FEX AF+丄X EDX AF) +( 1 X ABX CD+丄2 2 2 2111111X BCX CD -_ X FEX AF- X BCX CD=_ X EDX AF+_ X ABX CD=_ X 8 X 7+ X 3X 12=28+18=46。2AM=11,所以 CBN也是4份，这样 A

5、BC的面积总共分成 4+4+1 +仁10份，所以阴影面积为第二讲小升初专项训练 几何篇一、 小升初考试热点及命题方向几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在 12-14分（包含1道大题和2道左右的小题）。尤其重要的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积（三角形四边形为主），圆 的面积以及二者的综合。其中直线形面积近年来考的比较多，值得我们重点学习。从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识。二、 2007年考点预测2007年的小升初考试将继续以大题形式考查几何，命题的热点在于等积变换和燕尾定理在求解三角形面积里的运用.同时还需要重点

6、关注在长方形和平行四边形框架内运用边长比等于相似比的定理， 请老师重点补充沙漏原理的讲解。三、典型例题解析ai等积变换在三角形中的运用首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积 =1/2 X底X高因此我们有【结论1】等底的三角形面积之比等于对应高的比【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比这2个结论看起来很显然， 可大家小看它们， 在许多和三角形面积比有关的题目中它们都能发挥巨大的作 用，因为它们把三角形的面积比转化为了线段的比，我们来看下面的例题。【例1】（）如图，四边形 ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形 ADO的面积=5,三角形DOC勺面积 =4,三角形

7、 AOB勺面积=15,求三角形BOC的面积是多少？【解】：SA AD0=5,笙D0C=4艮据结论 2, ADOW DOC同高所以面积比等于底的比 ，即AO/OC=5:4同理S AOB/SA BOC=AO/OC=5:4因为 SA AOB=15所以 SA BOC=12【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2,先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论 2转化成面积比，解决了问题。事实上，这 2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁” ，请同学们体会一下。【拓展】SAAOD SA BOC=S COD SA AOB也适用于任意四边形。【练习

8、】如下图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD被对角线 AC BD分成四个部分， AOB面积为1平方千米， BOC面积为2平方千米， COD勺面积为3平方千米，公园陆地的面积是 6.92平方千米，求人工 湖的面积是多少平方千米？【例2】（）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之 比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为 1，那么重叠部分的面积为多少？【解】：粗线面积：黄面积 =2: 3,绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的, 这样可以设总共 3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为 1份，所以阴影部分为 2-1=1份，【总结】份数在

9、小升初中运用的相当广，一定要养成这个思想!2 燕尾定理在三角形中的运用下面我们再介绍一个非常有用的结论【燕尾定理】：在三角形 ABC中，AD,BE,CF相交于同一点 0,那么SA AB0:S AC0=BD:DC【证明】：根据结论 2 BD/DC=S ABD/SAADC=S BOD/SACOD因此 BD/DC=( S ABD- S BOD)/( S ADC- SA COD)=SA ABO/SA ACO证毕上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为 ABO和厶ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理。该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用。【例 3】()在厶 ABC中 BD

10、 =2:1, 圧=1:3，求 =?OE【分析】题目求的是边的比值，我们可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比 来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以方法二是我们要首选的方法。本题的图形一看就知道是燕尾定理的基本图，但 2个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步我们要连接0C【解:连接OC因为 AE:EC=1:3 （条件），所以 SA AOE/处 C0E=1:3 若设 SA AOE=x，贝U SA C0E=3x 所以 处 A0C=4x, 根据燕尾定理 S AOB/ S A0C=BD/DC=2：1 所以 SA A0B=8x 所以 BO/OE=S AOB/SA AOE=8

11、x/x=8:1。【例4 ()三角形 ABC中，C是直角，已知 AC= 2, CD= 2,CB=3,AM=BM那么三角形 AMN(阴影部分)的面积为多少？【解:因为缺少尾巴，所以连接 BN如下,ABC的面积为3 x 2 - 2=3这样我们可以根据燕尾定理很容易发现 ACN : ANB=CD BD=2 1;同理 CBN : ACN =BM AM=1 1；设 AMN面积为1份，贝U MNB的面积也是1份，所以 ANB得面积 就是 1+1=2 份，而 ACN : ANB=CD BD=2 1,所以 ACN 得面积就是 4 份； CBN : ACN =BM1 3AM=1 1,所以 CBN也是4份，这样 A

12、BC的面积总共分成 4+4+1 +仁10份，所以阴影面积为3 X丄=上。10 103 平行线定理在三角形中的运用（热点）下面我们再来看一个重要定理：平行线的相关定理：（即利用求面积来间接求出线段的比例关系）同学们应该对下图所示的图形非常熟悉了相交线段 AD和AE被平行线段 BC和DE所截，得到的三角形ABC和 ADE形状完全相似.所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等， 对应边成比例.体现在右图中， 就是AB: AD=BC DE=AC CE=E角形ABC的高：三角形 ADE的高.这种关系称为“相似”， 同学们上了中学将会深入学习. 相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常

13、有用， 要多加练习.在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化（如右下图） ，往往不易看出相似关系.如（右下图） AB平行于DE有比例式 AB: DE=AC CE=BC CD,三角形ABC与三 角形DEC也是相似三角形.下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式.【例5】（）如图所示，BD, CF将长方形ABCD分成 4块， DEF的面积是4 cm2 , CED的面积是6cm2。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【解】：方法一：连接 BF,这样我们根据“燕尾定理”在梯形中的运用知道三角形 BEF的面积和三角形 EDC的面积相等也是6，再根据例1中的结论知道三

14、角形 BCE的面积为6X 6十4=9,所以长方形的面积为：15X 2=30。四边形面积为 30 - 4- 6-9 = 11。方法二：EF/EC= 4/6 = 2/3=ED/EB，进而有三角形 CBE的面积为：6X 3/2 = 9。则三角形 CBD面积为15, 长方形面积为15X 2 = 30。四边形面积为 30-4 6-9= 11。【解1】：两块阴影部分的面积相等， AM/BC=GM/Gb!,所以GB/BM=2，而三角形ABG和三角形AMB同高,2 32 2 1 1 1 1所以SA BAGdSA ABMd x X 1-2=，所以阴影面积为 X 2=-33 2 6 6 3又 SA BAG=S A

15、DG（A BAgA ADG关于 AC对称）又SA AGM=AGDM（等底同高）【例7】（）如图，正方形 ABCD勺面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF勺面积是 平方厘米。【解】：解：延长 EB到K,使BK=CD 三角形EGK与三角形 DGC成比例，DC EK=2 3，所以DG GK=23,由于三角形 DEK=9Q 所以 EGK=9O 3/5=54，所以四边形 EBFG=EGK-BKF=24同理，EB: DC=1: 2,所以BH HD=1: 2，所以三角形 EBH=1/3EBD=10所以，四边形 BGHF勺面积是24-10=144 利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系CE （见【证明】：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结 图），这时通过三角形 DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形 ABCD中，三角形 DCE的底是DC ,高与平行四边形 A