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1、离散证明题集锦离散证明题集锦一命题逻辑例：给出(PQ)(PQ)的真值表PQ(PQ) (PQ)00 1 0 1 1 1 101 1 0 1 1 1 010 1 0 1 0 1 111 0 1 1 0 0 0步骤 解：一般说来，n个命题变元组成的命题公式共有2n种真值指派。 定理1：任何两个重言式的合取或析取，仍然是重言式。 证明：设A、B为两个重言式，则AB和AB的真值分别等于TT和TT。 定理2：对一个重言式的同一分量都用任何一个命题公式置换，所得命题公式仍为一个重言式。（即代入规则） 证明：由于重言式的真值与分量的真值指派无关，故对同一分量以任何一个命题公式置换后，重言式的真值不变。 定理3

2、：设A、B是两个命题公式，A B当且仅当AB是一个重言式。（前面已证） 证明：若A B，则对于A、B所包含的分量的任意指派，A、B均取相同的真值，即AB是一个重言式；若AB是一个重言式，即对于分量的任意指派，A、B均取相同的真值，即A B 定理1：设A1是命题公式A的子公式，若A1 B1，则若将A中的A1用B1来替换，得到公式B ，则B与A等价，即A B.(替换规则)。 证明： 因为对变元的任一组指派， A1与B1真值相同，故以B1取代A1后，公式B与公式A相对于变元的任一指派的真值也必相同，所以A B。 证明下列命题公式(可以利用基本等价式) Q(P(PQ) QP (PQ)(PQ) P (P

3、Q)(QR) PQR PQQ PQ 解：1.原式 Q(PP) (PQ) QP(PQ) QP2.原式 (（PQ）P) (PQ) Q) (PP) (PQ) (PQ) (QQ) P(PQ) (PQ) PP P3.原式 （PQ）(QR) (PQ) (QR) (PQR) (QQR) PQR（零率）4.原式 （ PQ）Q （PQ）(QQ) PQ（运算次序优先级：，）例: 求证: (P Q) (P Q) 为永真式。解：原式 （PQ）（PQ） (PQP) （PQQ） T例： 求证Q(PQ) P证法1：前件真推导后件真证法2：后件假推导前件假 证法3：定义定理：设P、Q为任意两个命题公式，P Q的充分必要条件是

4、P Q且Q P。证明：若P Q，则PQ为重言式，即PQ和QP是重言式；若有P Q且Q P，则PQ和QP是重言式，即PQ为重言式例 已知A是B的充分条件, B是C的必要条件，C是D的必要条件, D是B的必要条件, 问：(1) A是D的什么条件(2) B是D的什么条件解 已知A B, C B, D C, B D, 故有(1) A B, B D, 所以 A D, 即 A是D的充分条件(2) D C, C B, 所以 D B, 又因为B D, 所以 B D, 即 B是D的充要条件。定理：如果A B，则A* B*。 证明：设P1,P2,Pn是出现在命题公式A、B中的原子变元，因为A B，即：A(P1,P

5、2,Pn)B(P1,P2,Pn)是一个重言式。故有： A(P1,P2,Pn)B(P1,P2,Pn)是一个重言式。即A(P1,P2,Pn) B(P1,P2,Pn) A* B* ，即A* B*例 判断下面各推理是否正确. (1)如果天气凉快,小王就不去游泳.天气凉快,所以小王没去游泳. (2)如果我上街,我一定去新华书店.我没上街.所以我没去新华书店.解: 解上述类型的推理问题,应先将命题符号化,然后写出前提、结论和推理的形式结构,最后进行判断. (1)P：天气凉快; Q：小王去游泳. 前提：P Q, P. 结论： Q. 推理的形式结构为 (P Q)P) Q. (*)判断(*)是否为重言式.真值表

6、法 真值表的最后一列全为1,因而(*)是重言式.所以推理正确.等价演算法 (P Q)P) Q 1.主析取范式法 (P Q)P) Q m0m1m2m3 由,同样能判断推理正确.(2)P：我上街; Q：我去新华书店. 前提：PQ, P. 结论： Q. 推理的形式结构为 (PQ) P) Q. (*) (PQ) P) Q m0m2m3可见(*)不是重言式,所以推理不正确.还可用其他方法判断之.例 证明下列前提是不相容的。1. 若A因病缺了许多课, 那么他中学考试失败。2. 若A中学考试失败, 则他没有知识。3. 若A读了许多书, 则他有知识。4. A因病缺了许多课, 而且读了许多书。证明 符号化题目:

7、 P: 因病缺了许多课, Q: 中学考试失败, R: 有知识, S: 读了许多书。 问题要证明前提 P Q, Q R, S R, PS是不相容的。下面我们用另外一种形式的格式证明（即后面讲的“构造证明”的格式）： 编号 公式 依据 (1) PS P (2) P (1); I1 (3) S (1); I2 (4) P Q P (5) Q (2),(4); I8 (6) S R P (7) R (3),(6); I8 (8) Q R P (9) R (5),(8); I9 (10) R R (7),(9)例 张三说李四在说谎, 李四说王五在说谎, 王五说张三、李四都在说谎。问谁说真话, 谁说假话解

8、 设A:张三说真话; B:李四说真话; C:王五说真话 依题意有 A B, B C, C A B。 (A B)(B C)(C A B) (A B)( B A)(B C)( C B) (C ( A B)( A B) C) ( AB C)(AB)C) ( A B C)(A C)(B C) AB C即: 李四说真话, 张三和王五说假话。 例1.9.3：求证： S是前提W，WQ,QR和RS的有效结论。 证明：1 (1) WQ P2 (2) QR P 1,2 (3) WR T,(1)(2)I11 3 (4) W P1,2,3 (5) R T,(3)(4)I84 (6) RS P1,2,3,4 (7) S

9、 T,(5)(6)I8（这部分的T，I8等是另外一本书的内容，所以不用管，只要会推就行）例 前提: 如果马会飞或羊吃草, 则母鸡就会是飞鸟; 如果母鸡是飞鸟, 那么烤熟的鸭子还会跑; 烤熟的鸭子不会跑。结论: 羊不吃草。解 符号化上述语句, P: 马会飞, Q: 羊吃草, R: 母鸡是飞鸟, S: 烤熟的鸭子还会跑, S: 烤熟的鸭子不会跑, Q: 羊不吃草。 前提集合PQ R, R S, S, 结论C : Q。 (1) S P (2) R S P (3) R (1), (2), I9 (4) PQ R P (5) (PQ) (3), (4), I9 (6) P Q (5), E5 (7) Q

10、 (6), I 2例 如果我的考试通过, 那么我很快乐。如果我快乐, 那么阳光很好。现在是凌晨一点, 天很暖和。试给出结论。解 设P: 我的考试通过, Q: 我很快乐, R: 阳光很好, S: 天很暖和。把“凌晨一点”理解为阳光不好。 前提为: P Q, Q R, RS。 编号 公式 依据 (1) P Q P (2) Q R P (3) P R (1), (2)；I11 (4) RS P (5) R (4)；I1 (6) P (3), (5)；I9 结论: P, 我的考试没通过。例 前提: P Q, P R, R S; 结论: S Q。证明 (1) S CP (2) R S P (3) S R

11、 (2), E (4) R (1), (3), I (5) P R P (6) R P (5), E (7) P (4), (6), I (8) P Q P (9) P Q (8), E (10) Q (7), (9), I (11) S Q (1), (10), CP（CP规则这部分因为好像多了一个条件，所以用起来可能会比较简单）例1.9.5：证明RS可从前提P(QS)，RP和Q推出。证明：(CP规则，因为结论RS为条件式)1 (1) RP P2 (2) R P(附加前提) 1,2 (3) P T,(1)(2)I10 3 (4) P(QS) P1,2,3 (5) QS T, (3,4)I84

12、 (6) Q P1,2,3,4 (7) S T,(5)(6)I81,3,4 (8) RS CP,(2)(7)例1.9.4：证明从前提PQ，(QR)可演绎出P.证明：(反证法)1 (1) P P（附加前提）2 (2) PQ P 1,2 (3) Q T,(1)(2)I8 3 (4) (QR) P3 (5) QR T, (4)E53 (6) Q T，(5)I11,2,3 (7) QQ T,(3)(6)例 “如果春暖花开, 燕子就会飞回北方。如果燕子飞回北方, 则冰雪融化。所以, 如果冰雪没有融化, 则没有春暖花开。 ”证明这些语句构成一个正确的推理。证: 令 P: 春暖花开。Q: 燕子飞回北方。R:

13、冰雪融化。则上述问题转化成证明: P Q, Q R R P 利用CP规则, 将 R作为附加前提, 推导 P, 从而推导出 R P。 编号 公式 依据 (1) Q R P (2) R P(附加前提) (3) Q (1),(2); I9 (4) P Q 前提 (5) P (3),(4); I9课堂练习：1. 用基本等价公式的转换方法验证下列推断是否有效。(1)P Q，RS， Q RS；(2) P Q，Q R，R P PQR；(3)P，Q R，RS Q S；(4) QR，RP，Q P Q。2. 用推理规则证明下述论断的正确性。(1)P，P (Q (RS) Q S；(2)P (Q R)，R (Q S)

14、 P (Q S)；(3)P (Q R) (Q (R S) (P (Q S)；(4) (P Q) (RS)，(Q P) R，R P Q。3. A, B, C, D四人中要派两个人出差，按下述三个条件有几种派法如何派(1)若A去，则C 和D中要去一人。(2)B和C不能都去。(3)C去则D要留下。4. A, B, C, D四人参加考试后，有人问它们，谁的成绩最好。A说“不是我”，B说“是D”， C说“是B”，D说“不是我”。四人的回答只有一人符合实际，问是谁的成绩最好只有一人成绩最好的是谁5. 判断下列推理是否正确：(1)如果我是小孩，我会喜欢熊猫。我不是小孩，所以我不喜欢熊猫。(2)如果太阳从西边

15、出来，那么地球停止转动。太阳从西边出来了，所以地球停止了转动。二谓词逻辑例 试用量词、谓词表示下列命题： 所有大学生都热爱祖国； 每个自然数都是实数； 一些大学生有远大理想； 有的自然数是素数。解 令S(x)：x是大学生，L(x)：x热爱祖国，则所有大学生都热爱祖国 ( x)(S(x)L(x) 令N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，则每个自然数都是实数 ( x)(N(x)R(x) 全称量词( x)后跟条件式。令S(x)：x是大学生， I(x)：x有远大理想，则一些大学生有远大理想 ( x)(S(x)I(x)令N(x)：x是自然数， P(x)：x是素数。则有的自然数是素数 ( x)(N(x

16、)P(x) 存在量词( x)后跟合取式。例 令f(x):x小于88，g(x):x是奇数，( x) (f(x)g(x) 。 个体变元x是约束变元。这已经不是一个命题函数, 而是一个命题。它相当于说“存在有小于88的奇数”, 这是一个真命题例 令f(y): y是辣椒，g(y): y是红的，( y) (f(y) g(y)。个体变元y是约束变元。 这也不是一个命题函数,而是一个命题。 对于其中的个体变元不需要再作代入, 它的含义是确定的, 它断定“一切辣椒都是红的”, 这当然是一个假命题。例：将公式( x)(P(x)Q(x,y)R (x,y)中的约束变元改名。下面哪个正确（注意到此公式中，约束变元只有

17、x）,1）( y)(P(y) Q (y,y)R (x,y)2）( z)(P(z) Q (x,y)R (x,y)3）( z)(P(z) Q (z,y)R (x,y)例：将公式( x)(P(y)Q(x,y)R (x,y)中的自由变元代入。（注意到此公式中y为自由变元，x既是约束出现，也是自由出现。）我们以y为例，试判断下面哪个正确1）( x)(P(z) Q (x,z)R (x,y)2）( x)(P(x) Q (x,z)R (x,x)3）( x)(P(z) Q (x,z)R (x,z)例 在公式( x) (Q(x) R(x, y)( z) P(x, z)中，x既为约束出现，又为自由出现，下面用两种方

18、法，使变元x在公式中只呈一种形式出现解 用约束变元的改名规则得: ( u) (Q(u) R(u, y)( z) P(x, z); 或用自由变元得代入规则得: ( x )(Q(x) R(x, y)( z) P(u, z)。（重做前一例题，将自由出现的x进行代入）重做例：将公式( x)(P(y)Q(x,y)R (x,y)中的自由变元代入。注意到此公式中y为自由变元，x既是约束出现，也是自由出现。这次，我们将自由出现的x代入，得：( x)(P(y) Q (x,y)R (z,y)例 试证明下面苏格拉底论证：所有人都是要死的，苏格拉底是人，因此，苏格拉底是要死的。证明： 令M(x):x是人，D(x):x

19、是要死的，s:苏格拉底，原题可符号化为：( x)(M(x)D(x)，M(s) D(s)推证如下：1 (1) ( x)(M(x)D(x) P1 (2) M(s)D(s) UI,(1)3 (3) M(s) P1,3 (4) D(s) T,(2),(3),I例 证明 ( x)A(x) ( x)B(x) ( x)(A(x) B(x) 证明：反证法(1) ( x) (A(x) B(x) P(附加前提)(2) ( x) (A(x) B(x) T, (1), E(3) (A(a) B(a) T, (2), ES(4) A(a) B(a) T, (3), I(5) A(a) T, (4), I(6) B(a)

20、 T, (4), I(7) ( x) A(x) T, (5), EG(8) ( x) A(x) ( x) B(x) P前提(9) ( x) B(x) T, (7)(8), I(10) B(a) T, US(11) B(a) B(a) (6)(10)矛盾三集合例 在一个住着一些人家的僻静孤岛上, 岛上只有一个理发师a, a给且只给岛上所有不能自己理发的人理发。问谁给a理发解: 设 S = x | x 是不能自己理发的人。(1) 若a S, 则a给自己a理发。又由题意知, a只给不能自己理发的人理发, 所以a是不能自己理发的人, 即a S, 矛盾。(2) 若a S, 则a是不能自己理发的人。又由题

21、意知, a只给集合S中的人理发, 所以a要给a理发, 即a S , 矛盾。无论如何, 都有a S和a S同时成立。这是著名的罗素悖论paradox。例 令A=1,2,3,4, B=4,5,5,6,则A=1,23=1,2,3, B=55,6=5,6, A=1,23= , B=55,6=5四关系例 设 A = 1, 3, 5, B = 2, 4, 6, 8, 定义A到B的二元关系R: a, b R当且仅当ab, 则称R为A到B的“小于”关系。R = 1,2, 1,4, 1,6, 1,8, 3,4, 3,6, 3,8, 5,6, 5,8是A到B的一个关系, 显然R AB。而 3,2 R, 5,2 R

22、, 5,4 R。例 设A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, B = a, b, c, d, 关系R = 2, a, 2, b, 3, b, 4, d, 6, d, 则dm(R) = 2, 3, 4, 6, rn(R) = a, b, d,fl(R)=2,3,4,6,a,b,d。例 设A = 1, 2, 3, B=1, 2, 3, 4,从A到B上的关系R=1,1,2,2,3,3,S=1,1,1,2,1,3,1,4，则RS=1,1,2,2,3,3, 1,2,1,3,1,4RS=1,1R-S=2,2,3,3S-R=1,2,1,3,1,4R=1,2,1,3,1,4, 2,1,2,3,2,4, 3

23、,1,3,2,3,4要注意的是, 作为关系, 补运算是对全域关系而言的, 并不是对全集U而言的。例 设A和B分别是学校的所有学生和所有课程的集合。假设R由所有有序对a,b组成，其中a是选修课程b的学生。S由所有有序对a,b构成，其中课程b是a的必修课。什么是关系RS，RS，R S，R-S和S-R解：关系RS由所有的有序对a,b组成，其中a是一个学生，他或者选修了课程b，或者课程b是他的必修课。RS是所有有序对a,b的集合，其中a是一个学生，他选修了课程b并且课程b也是a的必修课。 R S由所有有序对a,b组成，其中学生a已经选修了课程b，但课程b不是a的必修课，或者课程b是a的必修课，但a没有

24、选修它。 R-S是所有有序对a,b的集合，其中a已经选修了课程b但课程b不是a的必修课。S-R是所有有序对a,b的集合，其中课程b是a的必修课，但a没有选它。例 设A = a, b, c, d, A上的关系 R = a, a, a, b, b, d, S = a, d, b, c, b, d, c, b。求 R*S 和 S*R。解: R*S = a, d, a, c； S*R = c, d。显然 R*S S*R 从本例可知复合关系不满足交换律。兄弟关系和父子关系的复合是叔侄关系例 设A = a, b, c, d, e, f , R =a, b, b, c, c, d, d, e, e, f。

25、求Rn (n =1, 2, 3, 4, )。解：R1 = R； R2 = R*R =a, c, b, d, c, e, d, f； R3 = R2*R =a, d, b, e, c, f； R4 = R3*R =a, e, b, f； R5 = R4*R = a, f； R6 = R5*R = ； R7 = ； Rn = ( n5 )。例 设A = a, b, c, d, 1, 2, 3, 4, A上的关系R = a, 2, b, 2, b, 3, d, 4, 则 R1 = 2, a, 2, b, 3, b, 4, d。例 设A = a, b, c, B = 0, 1, 有A到B的关系 R =

26、 a, 0, b, 0, c, 1, S = a, 1, b, 1, c, 1则 R1=0, a,0, b, 1,c, S1=1, a,1, b,1, c RS = a, 0, b, 0, c, 1, a, 1, b, 1； (RS) 1 = R1S1 = 0, a, 0, b, 1, c, 1, a, 1, b； RS = c, 1; (RS) 1 = R1S1= 1, c; R S = a, 0, b, 0； (R S) 1 = R1 S1 = 0, a, 0, b； dm R1 = rn R = 0, 1； rn(S1)= dm(S) = a, b, c例 设A = 2, 3, 4, B = 2, 3, 4, 5, 6, 定义A到B的二元关系R: aRb当且仅当a整除b。 R=2, 2, 2, 4, 2, 6, 3, 3, 3, 6, 4, 4 2 3 4 5 6 2 1 0 1 0 1 MR= 3 0 1 0 0 1 4 0 0 1 0 0 例 S = a, b, c, S上的关系R1 = a, a, b, b, c, c, b, cR2 = a, b, b, a