离散证明题集锦.docx
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离散证明题集锦
离散证明题集锦
一.命题逻辑
例:
给出┐(P∧Q)↔(┐P∨┐Q)的真值表
P
Q
┐(P∧Q)↔(┐P∨┐Q)
0
0
101111
0
1
101110
1
0
101011
1
1
011000
步骤
②①③①②①
解:
一般说来,n个命题变元组成的命题公式共有2n种真值指派。
定理1:
任何两个重言式的合取或析取,仍然是重言式。
证明:
设A、B为两个重言式,则A∧B和A∨B的真值分别等于T∧T和T∨T。
定理2:
对一个重言式的同一分量都用任何一个命题公式置换,所得命题公式仍为一个重言式。
(即代入规则)
证明:
由于重言式的真值与分量的真值指派无关,故对同一分量以任何一个命题公式置换后,重言式的真值不变。
定理3:
设A、B是两个命题公式,AB当且仅当A↔B是一个重言式。
(前面已证)
证明:
若AB,则对于A、B所包含的分量的任意指派,A、B均取相同的真值,即A↔B是一个重言式;若A↔B是一个重言式,即对于分量的任意指派,A、B均取相同的真值,即AB
定理1:
设A1是命题公式A的子公式,若A1B1,则若将A中的A1用B1来替换,得到公式B,则B与A等价,即AB.(替换规则)。
证明:
因为对变元的任一组指派,A1与B1真值相同,故以B1取代A1后,公式B与公式A相对于变元的任一指派的真值也必相同,所以AB。
证明下列命题公式(可以利用基本等价式)
Q→(P∨(P∧Q))Q→P
(P∧Q)∨(P∧┐Q)P
(P→Q)→(Q∨R)P∨Q∨R
P∧┐Q∨QP∨Q
解:
1.原式Q→(P∨P)∧(P∨Q)Q→P∧(P∨Q)Q→P
2.原式((P∧Q)∨P)∧((P∧Q)∨┐Q)(P∨P)∧(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(Q∨┐Q)P∧(P∨Q)∧(P∨┐Q)P∧PP
3.原式┐(┐P∨Q)∨(Q∨R)(P∧┐Q)∨(Q∨R)(P∨Q∨R)∧(Q∨┐Q∨R)P∨Q∨R(零率)
4.原式(P∧┐Q)∨Q(P∨Q)∧(┐Q∨Q)P∨Q(运算次序优先级:
┐,∧,∨,→,↔)
例:
求证:
(P→Q)∨┐(P→Q)为永真式。
解:
原式(┐P∨Q)∨(P∧┐Q)(┐P∨Q∨P)∧(┐P∨Q∨┐Q)T
例:
求证┐Q∧(P→Q)┐P
证法1:
前件真推导后件真
证法2:
后件假推导前件假
证法3:
定义
定理:
设P、Q为任意两个命题公式,PQ的充分必要条件是PQ且QP。
证明:
若PQ,则P↔Q为重言式,即P→Q和Q→P是重言式;若有PQ且QP,则P→Q和Q→P是重言式,即P↔Q为重言式
例已知A是B的充分条件,B是C的必要条件,C是D的必要条件,D是B的必要条件,问:
(1)A是D的什么条件
(2)B是D的什么条件
解已知AB,CB,DC,BD,故有
(1)AB,BD,所以AD,即A是D的充分条件
(2)DC,CB,所以DB,又因为BD,所以BD,即B是D的充要条件。
定理:
如果AB,则A*B*。
证明:
设P1,P2,…,Pn是出现在命题公式A、B中的原子变元,因为AB,即:
A(P1,P2,…,Pn)↔B(P1,P2,…,Pn)是一个重言式。
故有:
A(┐P1,┐P2,…,┐Pn)↔B(┐P1,┐P2,…,┐Pn)是一个重言式。
即A(┐P1,┐P2,…,┐Pn)B(┐P1,┐P2,…,┐Pn)
┐A*┐B*,即A*B*
例判断下面各推理是否正确.
(1)如果天气凉快,小王就不去游泳.天气凉快,所以小王没去游泳.
(2)如果我上街,我一定去新华书店.我没上街.所以我没去新华书店.
解:
解上述类型的推理问题,应先将命题符号化,然后写出前提、结论和推理的形式结构,最后进行判断.
(1)P:
天气凉快;Q:
小王去游泳.
前提:
P→Q,P.
结论:
Q.
推理的形式结构为
((P→Q)∧P)→Q.(*)
判断(*)是否为重言式.
①真值表法
真值表的最后一列全为1,因而(*)是重言式.所以推理正确.
②等价演算法
(P→Q)∧P)→Q1.
③主析取范式法
((P→Q)∧P)→Q
m0∨m1∨m2∨m3
由②,③同样能判断推理正确.
(2)P:
我上街;Q:
我去新华书店.
前提:
P→Q,P.结论:
Q.
推理的形式结构为
((P→Q)∧P)→Q.(**)
((P→Q)∧P)→Q
m0∨m2∨m3
可见(**)不是重言式,所以推理不正确.还可用其他方法判断之.
例证明下列前提是不相容的。
1.若A因病缺了许多课,那么他中学考试失败。
2.若A中学考试失败,则他没有知识。
3.若A读了许多书,则他有知识。
4.A因病缺了许多课,而且读了许多书。
证明符号化题目:
P:
因病缺了许多课,
Q:
中学考试失败,
R:
有知识,
S:
读了许多书。
问题要证明前提
PQ,QR,SR,P∧S是不相容的。
下面我们用另外一种形式的格式证明
(即后面讲的“构造证明”的格式):
编号公式依据
(1)P∧SP
(2)P
(1);I1
(3)S
(1);I2
(4)PQP
(5)Q
(2),(4);I8
(6)SRP
(7)R(3),(6);I8
(8)QRP
(9)R(5),(8);I9
(10)R∧R(7),(9)
例张三说李四在说谎,李四说王五在说谎,王五说张三、李四都在说谎。
问谁说真话,谁说假话
解设A:
张三说真话;B:
李四说真话;C:
王五说真话
依题意有AB,BC,CA∧B。
(AB)∧(BC)∧(CA∧B)
(AB)∧(BA)∧(BC)∧(CB)∧(C(A∧B))∧((A∧B)C)
(A∧B∧C)∧((A∨B)∧C))∧((A∧B∧C)∨(A∧C)∨(B∧C))
A∧B∧C
即:
李四说真话,张三和王五说假话。
例1.9.3:
求证:
S是前提W,W→┐Q,┐Q→R和R→S的有效结论。
证明:
{1}
(1)W→┐QP
{2}
(2)┐Q→RP
{1,2}(3)W→RT,
(1)
(2)I11
{3}(4)WP
{1,2,3}(5)RT,(3)(4)I8
{4}(6)R→SP
{1,2,3,4}(7)ST,(5)(6)I8
(这部分的T,I8等是另外一本书的内容,所以不用管,只要会推就行)
例前提:
如果马会飞或羊吃草,则母鸡就会是飞鸟;如果母鸡是飞鸟,那么烤熟的鸭子还会跑;烤熟的鸭子不会跑。
结论:
羊不吃草。
解符号化上述语句,P:
马会飞,Q:
羊吃草,R:
母鸡是飞鸟,S:
烤熟的鸭子还会跑,S:
烤熟的鸭子不会跑,Q:
羊不吃草。
前提集合{P∨QR,RS,S},结论C:
Q。
(1)SP
(2)RSP
(3)R
(1),
(2),I9
(4)P∨QRP
(5)(P∨Q)(3),(4),I9
(6)P∧Q(5),E5
(7)Q(6),I2
例如果我的考试通过,那么我很快乐。
如果我快乐,那么阳光很好。
现在是凌晨一点,天很暖和。
试给出结论。
解设P:
我的考试通过,Q:
我很快乐,R:
阳光很好,S:
天很暖和。
把“凌晨一点”理解为阳光不好。
前提为:
PQ,QR,R∧S。
编号公式依据
(1)PQP
(2)QRP
(3)PR
(1),
(2);I11
(4)R∧SP
(5)R(4);I1
(6)P(3),(5);I9
结论:
P,我的考试没通过。
例前提:
P∨Q,PR,RS;结论:
SQ。
证明
(1)SCP
(2)RSP
(3)SR
(2),E
(4)R
(1),(3),I
(5)PRP
(6)RP(5),E
(7)P(4),(6),I
(8)P∨QP
(9)PQ(8),E
(10)Q(7),(9),I
(11)SQ
(1),(10),CP
(CP规则这部分因为好像多了一个条件,所以用起来可能会比较简单)
例1.9.5:
证明R→S可从前提P→(Q→S),┐R∨P和Q推出。
证明:
(CP规则,因为结论R→S为条件式)
{1}
(1)┐R∨PP
{2}
(2)RP(附加前提)
{1,2}(3)PT,
(1)
(2)I10
{3}(4)P→(Q→S)P
{1,2,3}(5)Q→ST,(3,4)I8
{4}(6)QP
{1,2,3,4}(7)ST,(5)(6)I8
{1,3,4}(8)R→SCP,
(2)(7)
例1.9.4:
证明从前提P→Q,┐(Q∨R)可演绎出┐P.
证明:
(反证法)
{1}
(1)PP(附加前提)
{2}
(2)P→QP
{1,2}(3)QT,
(1)
(2)I8
{3}(4)┐(Q∨R)P
{3}(5)┐Q∧┐RT,(4)E5
{3}(6)┐QT,(5)I1
{1,2,3}(7)Q∧┐QT,(3)(6)
例“如果春暖花开,燕子就会飞回北方。
如果燕子飞回北方,则冰雪融化。
所以,如果冰雪没有融化,则没有春暖花开。
”证明这些语句构成一个正确的推理。
证:
令P:
春暖花开。
Q:
燕子飞回北方。
R:
冰雪融化。
则上述问题转化成证明:
PQ,QRRP
利用CP规则,将R作为附加前提,推导P,从而推导出RP。
编号公式依据
(1)QRP
(2)RP(附加前提)
(3)Q
(1),
(2);I9
(4)PQ前提
(5)P(3),(4);I9
课堂练习:
1.用基本等价公式的转换方法验证下列推断是否有效。
(1)PQ,R∧S,QR∧S;
(2)PQ,QR,RPP∨Q∨R;
(3)P,QR,R∨SQS;
(4)Q∧R,R∧P,QP∨Q。
2.用推理规则证明下述论断的正确性。
(1)P,P(Q(R∧S))QS;
(2)P(QR),R(QS)P(QS);
(3)P(QR)(Q(RS))(P(QS));
(4)(PQ)(R∨S),(QP)∨R,RPQ。
3.A,B,C,D四人中要派两个人出差,按下述三个条件有几种派法如何派
(1)若A去,则C和D中要去一人。
(2)B和C不能都去。
(3)C去则D要留下。
4.A,B,C,D四人参加考试后,有人问它们,谁的成绩最好。
A说“不是我”,B说“是D”,C说“是B”,D说“不是我”。
四人的回答只有一人符合实际,问是谁的成绩最好只有一人成绩最好的是谁
5.判断下列推理是否正确:
(1)如果我是小孩,我会喜欢熊猫。
我不是小孩,所以我不喜欢熊猫。
(2)如果太阳从西边出来,那么地球停止转动。
太阳从西边出来了,所以地球停止了转动。
二.谓词逻辑
例试用量词、谓词表示下列命题:
①所有大学生都热爱祖国;
②每个自然数都是实数;
③一些大学生有远大理想;
④有的自然数是素数。
解①令S(x):
x是大学生,L(x):
x热爱祖国,则
所有大学生都热爱祖国(x)(S(x)→L(x))
②令N(x):
x是自然数,R(x):
x是实数,则
每个自然数都是实数(x)(N(x)→R(x))
全称量词(x)后跟条件式。
③令S(x):
x是大学生,I(x):
x有远大理想,则
一些大学生有远大理想(x)(S(x)∧I(x))
④令N(x):
x是自然数,P(x):
x是素数。
则
有的自然数是素数(x)(N(x)∧P(x))
存在量词(x)后跟合取式。
例令f(x):
x小于88,g(x):
x是奇数,
(x)(f(x)∧g(x))。
个体变元x是约束变元。
这已经不是一个命题函数,而是一个命题。
它相当于说“存在有小于88的奇数”,这是一个真命题
例令f(y):
y是辣椒,g(y):
y是红的,
(y)(f(y)→g(y))。
个体变元y是约束变元。
这也不是一个命题函数,而是一个命题。
对于其中的个体变元不需要再作代入,它的含义是确定的,它断定“一切辣椒都是红的”,这当然是一个假命题。
例:
将公式(x)(P(x)→Q(x,y))∧R(x,y)中的约束变元改名。
下面哪个正确(注意到此公式中,约束变元只有x),
1)(y)(P(y)→Q(y,y))∧R(x,y)
2)(z)(P(z)→Q(x,y))∧R(x,y)
3)(z)(P(z)→Q(z,y))∧R(x,y)
例:
将公式(x)(P(y)→Q(x,y))∧R(x,y)中的自由变元代入。
(注意到此公式中y为自由变元,x既是约束出现,也是自由出现。
)我们以y为例,试判断下面哪个正确
1)(x)(P(z)→Q(x,z))∧R(x,y)
2)(x)(P(x)→Q(x,z))∧R(x,x)
3)(x)(P(z)→Q(x,z))∧R(x,z)
例在公式(x)(Q(x)→R(x,y))∨(z)P(x,z)中,x既为约束出现,又为自由出现,下面用两种方法,使变元x在公式中只呈一种形式出现
解用约束变元的改名规则得:
(u)(Q(u)→R(u,y))∨(z)P(x,z);
或用自由变元得代入规则得:
(x)(Q(x)→R(x,y))∨(z)P(u,z)。
(重做前一例题,将自由出现的x进行代入)
重做例:
将公式(x)(P(y)→Q(x,y))∧R(x,y)中的自由变元代入。
注意到此公式中y为自由变元,x既是约束出现,也是自由出现。
这次,我们将自由出现的x代入,得:
(x)(P(y)→Q(x,y))∧R(z,y)
例试证明下面苏格拉底论证:
所有人都是要死的,
苏格拉底是人,
因此,苏格拉底是要死的。
证明:
令M(x):
x是人,D(x):
x是要死的,s:
苏格拉底,原题可符号化为:
(x)(M(x)→D(x)),M(s)┣D(s)
推证如下:
{1}
(1)(x)(M(x)→D(x))P
{1}
(2)M(s)→D(s)UI,
(1)
{3}(3)M(s)P
{1,3}(4)D(s)T,
(2),(3),I
例证明(x)A(x)(x)B(x)(x)(A(x)B(x))
证明:
反证法
(1)(x)(A(x)B(x))P(附加前提)
(2)(x)(A(x)B(x))T,
(1),E
(3)(A(a)B(a))T,
(2),ES
(4)A(a)∧B(a)T,(3),I
(5)A(a)T,(4),I
(6)B(a)T,(4),I
(7)(x)A(x)T,(5),EG
(8)(x)A(x)(x)B(x)P前提
(9)(x)B(x)T,(7)(8),I
(10)B(a)T,US
(11)B(a)∧B(a)(6)(10)矛盾
三.集合
例在一个住着一些人家的僻静孤岛上,岛上只有一个理发师a,a给且只给岛上所有不能自己理发的人理发。
问谁给a理发
解:
设S={x|x是不能自己理发的人}。
(1)若aS,则a给自己a理发。
又由题意知,a只给不能自己理发的人理发,所以a是不能自己理发的人,即aS,矛盾。
(2)若aS,则a是不能自己理发的人。
又由题意知,a只给集合S中的人理发,所以a要给a理发,即aS,矛盾。
无论如何,都有aS和aS同时成立。
这是著名的罗素悖论paradox。
例令A={{1,2},{3},4},B={4,{5},{5,6}},则
∪A={1,2}∪{3}={1,2,3},
∪B={5}∪{5,6}={5,6},
∩A={1,2}∩{3}=,
∩B={5}∩{5,6}={5}
四.关系
例设A={1,3,5},B={2,4,6,8},定义A到B的二元关系R:
‹a,b›R当且仅当a‹b,则称R为A到B的“小于”关系。
R={‹1,2›,‹1,4›,‹1,6›,‹1,8›,‹3,4›,‹3,6›,‹3,8›,‹5,6›,‹5,8›}
是A到B的一个关系,显然RA×B。
而‹3,2›R,‹5,2›R,‹5,4›R。
例设A={1,2,3,4,5,6},B={a,b,c,d},
关系R={‹2,a›,‹2,b›,‹3,b›,‹4,d›,‹6,d›},则
dm(R)={2,3,4,6},
rn(R)={a,b,d},
fl(R)={2,3,4,6,a,b,d}。
例设A={1,2,3},B={1,2,3,4},从A到B上的关系R={‹1,1›,‹2,2›,‹3,3›},
S={‹1,1›,‹1,2›,‹1,3›,‹1,4›},
则
R∪S={‹1,1›,‹2,2›,‹3,3›,‹1,2›,‹1,3›,‹1,4›}
R∩S={‹1,1›}
R-S={‹2,2›,‹3,3›}
S-R={‹1,2›,‹1,3›,‹1,4›}
R'={‹1,2›,‹1,3›,‹1,4›,‹2,1›,‹2,3›,‹2,4›,‹3,1›,‹3,2›,‹3,4›}
要注意的是,作为关系,补运算是对全域关系而言的,并不是对全集U而言的。
例设A和B分别是学校的所有学生和所有课程的集合。
假设R由所有有序对‹a,b›组成,其中a是选修课程b的学生。
S由所有有序对‹a,b›构成,其中课程b是a的必修课。
什么是关系R∪S,R∩S,RS,R-S和S-R
解:
关系R∪S由所有的有序对‹a,b›组成,其中a是一个学生,他或者选修了课程b,或者课程b是他的必修课。
R∩S是所有有序对‹a,b›的集合,其中a是一个学生,他选修了课程b并且课程b也是a的必修课。
RS由所有有序对‹a,b›组成,其中学生a已经选修了课程b,但课程b不是a的必修课,或者课程b是a的必修课,但a没有选修它。
R-S是所有有序对‹a,b›的集合,其中a已经选修了课程b但课程b不是a的必修课。
S-R是所有有序对‹a,b›的集合,其中课程b是a的必修课,但a没有选它。
例设A={a,b,c,d},A上的关系
R={‹a,a›,‹a,b›,‹b,d›},
S={‹a,d›,‹b,c›,‹b,d›,‹c,b›}。
求R*S和S*R。
解:
R*S={‹a,d›,‹a,c›};
S*R={‹c,d›}。
显然R*S≠S*R
从本例可知复合关系不满足交换律。
兄弟关系和父子关系的复合是——叔侄关系
例设A={a,b,c,d,e,f},
R={‹a,b›,‹b,c›,‹c,d›,‹d,e›,‹e,f›}。
求Rn(n=1,2,3,4,…)。
解:
R1=R;
R2=R*R={‹a,c›,‹b,d›,‹c,e›,‹d,f›};
R3=R2*R={‹a,d›,‹b,e›,‹c,f›};
R4=R3*R={‹a,e›,‹b,f›};
R5=R4*R={‹a,f›};
R6=R5*R=;
R7=;
…
Rn=(n>5)。
例设A={a,b,c,d,1,2,3,4},A上的关系
R={‹a,2›,‹b,2›,‹b,3›,‹d,4›},
则
R–1={‹2,a›,‹2,b›,‹3,b›,‹4,d›}。
例设A={a,b,c},B={0,1},有A到B的关系
R={‹a,0›,‹b,0›,‹c,1›},S={‹a,1›,‹b,1›,‹c,1›}
则R–1={‹0,a›,‹0,b›,‹1,c›},S–1={‹1,a›,‹1,b›,‹1,c›}
R∪S={‹a,0›,‹b,0›,‹c,1›,‹a,1›,‹b,1›};
(R∪S)–1=R–1∪S–1
={‹0,a›,‹0,b›,‹1,c›,‹1,a›,‹1,b›};
R∩S={‹c,1›};
(R∩S)–1=R–1∩S–1={‹1,c›};
R–S={‹a,0›,‹b,0›};
(R–S)–1=R–1–S–1={‹0,a›,‹0,b›};
dmR–1=rnR={0,1};
rn(S–1)=dm(S)={a,b,c}
例设A={2,3,4},B={2,3,4,5,6},定义A到B的二元关系R:
aRb当且仅当a整除b。
R={‹2,2›,‹2,4›,‹2,6›,‹3,3›,‹3,6›,‹4,4›}
23456
210101
MR=301001
400100
例S={a,b,c},S上的关系
R1={‹a,a›,‹b,b›,‹c,c›,‹b,c›}
R2={‹a,b›,‹b,a›}