初中数学经典相似三角形练习题附参考答案1.docx

1、初中数学经典相似三角形练习题附参考答案1相似三角形一解答题（共30 小题）1如图，在 ABC 中， DEBC，EFAB ，求证：ADE EFC2如图，梯形 ABCD 中， ABCD ，点 F 在 BC 上，连DF 与 AB 的延长线交于点 G（1）求证： CDF BGF；（2）当点 F 是 BC 的中点时，过F 作 EF CD 交 AD 于点 E，若 AB=6cm ， EF=4cm ，求 CD 的长3如图，点 D，E 在 BC 上，且 FDAB ，FEAC 求证： ABC FDE4如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边CD 上一点， BF AE 于 F，试说明： ABF EAD 5已知：如图所

2、示，在 ABC 和ADE 中， AB=AC ，AD=AE ，BAC= DAE，且点 B，A，D 在一条直线上，连接 BE，CD，M ，N 分别为BE，CD 的中点（1）求证： BE=CD ； AMN 是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转180 ，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（ 1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（ 2 ）的条件下，请你在图中延长 ED 交线段BC 于点 P求证： PBD AMN 6如图， E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点，连接 EC，交 AD 于点 F在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三

3、角形给予证明27如图，在 4 3 的正方形方格中， ABC 和DEF 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上（1）填空： ABC= _ ，BC= _ ；（2）判断 ABC 与DEC 是否相似，并证明你的结论8如图， 已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm ，BC=6cm 某一时刻， 动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间， AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ？（2）是否存在时刻 t ，使以 A，M ，N 为顶点的三角形与 ACD 相似？

4、若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由39如图，在梯形 ABCD 中，若 AB DC，AD=BC ，对角线 BD、AC 把梯形分成了四个小三角形（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少； （注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明10 如图 ABC 中，D 为 AC 上一点， CD=2DA ，BAC=45 ，BDC=60 ，CEBD 于 E，连接 AE（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求 BEC 与BEA 的面积之比411

5、 如图，在ABC 中，AB=AC=a ，M 为底边 BC 上的任意一点，过点 M 分别作AB、AC 的平行线交 AC于 P，交 AB 于 Q（1）求四边形 AQMP 的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明） ；（3）M 位于 BC 的什么位置时，四边形 AQMP 为菱形并证明你的结论12 已知： P 是正方形 ABCD 的边 BC 上的点，且 BP=3PC ，M 是 CD 的中点，试说明： ADM MCP 513 如图，已知梯形 ABCD 中， AD BC，AD=2 ，AB=BC=8 ，CD=10 （1）求梯形 ABCD 的面积 S；（2）动点 P 从点 B 出发，以 1cm/s 的

6、速度，沿 B? A? D? C 方向，向点 C 运动；动点 Q 从点 C 出发，以1cm/s 的速度，沿 C? D? A 方向，向点 A 运动，过点 Q 作 QEBC 于点 E若 P、Q 两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为 t 秒问：当点 P 在 B? A 上运动时，是否存在这样的 t ，使得直线 PQ 将梯形 ABCD 的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的 t ，使得以 P、A、D 为顶点的三角形与 CQE 相似？若存在，请求出所有符合条件的 t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的 t ，

7、使得以 P、D、Q 为顶点的三角形恰好是以 DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 t 的值；若不存在，请说明理由614 已知矩形 ABCD ，长 BC=12cm ，宽 AB=8cm ，P、Q 分别是 AB、BC 上运动的两点若 P 自点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AB 方向运动，同时， Q 自点 B 出发以 2cm/s 的速度沿 BC 方向运动，问经过几秒，以 P、B、Q 为顶点的三角形与 BDC 相似？15 如图，在 ABC 中，AB=10cm ，BC=20cm ，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 B

8、C 边向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，问经过几秒钟，PBQ 与ABC 相似16 如图， ACB= ADC=90 ，AC= ，AD=2 问当 AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似717 已知， 如图， 在边长为 a 的正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点， 能否在边AB 上找一点 N（不含 A、B），使得 CDM 与MAN 相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由18 如图在 ABC 中，C=90 ，BC=8cm ，AC=6cm ，点 Q 从 B 出发， 沿 BC 方向以 2cm/s 的速度移动，点 P 从 C 出发，沿 CA 方向以 1

9、cm/s 的速度移动若 Q、P 分别同时从 B、C 出发，试探究经过多少秒后，以点 C、 P、Q 为顶点的三角形与 CBA 相似？19 如图所示，梯形 ABCD 中， AD BC，A=90 ，AB=7 ，AD=2 ，BC=3 ，试在腰 AB 上确定点 P 的位置，使得以 P，A，D 为顶点的三角形与以 P，B，C 为顶点的三角形相似20 ABC 和 DEF 是两个等腰直角三角形， A= D=90 ，DEF 的顶点 E 位于边BC 的中点上（1）如图 1，设DE 与 AB 交于点 M ，EF与 AC 交于点 N ，求证：BEM CNE；8（2）如图 2，将DEF 绕点 E 旋转， 使得 DE 与

10、 BA 的延长线交于点 M ，EF 与 AC 交于点 N ，于是，除 （1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论21 如图， 在矩形 ABCD 中，AB=15cm ，BC=10cm ，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动如果 P、Q 同时出发，用 t（秒）表示移动的时间，那么当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与 ABC 相似22 如图，路灯（ P 点）距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（ O 点）20 米的 A 点，沿 OA 所在的直

11、线行走 14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23 阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达） ，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案9（1）所需的测量工具是： _ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高 AB 的长度为 x，请用所测数据（用小写字母表示）求出 x24 问题背景在某次活动课中， 甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量 下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图 1，测得一根直立于平地，长

12、为 80cm 的竹竿的影长为 60cm 乙组：如图 2，测得学校旗杆的影长为 900cm 丙组：如图 3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为 200cm ，影长为156cm 任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图 3 ，设太阳光线 NH 与O 相切于点 M 请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径 （友情提示：如图 3 ，景灯的影长等于线段 NG 的影长；需要时可采用等式 156 2+208 2=260 2）1025 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m 宽的亮区（如图所示） ，已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8

13、.7m ，窗口高 AB=1.8m ，求窗口底边离地面的高 BC26 如图， 李华晚上在路灯下散步 已知李华的身高 AB=h ，灯柱的高 OP=O P=l ，两灯柱之间的距离 OO =m （1）若李华距灯柱 OP 的水平距离 OA=a ，求他影子 AC 的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（ DA+AC ）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点 A 朝着影子（如图箭头）的方向以 v1 匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v227 如图，分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1，S2，S3 表示，则不难证明 S1=S 2+S311（

14、1）如图，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3 表示，那么S1，S2，S3 之间有什么关系；（不必证明）（2）如图，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3 表示，请你确定 S1，S2，S3 之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3 表示，为使S1，S2，S3 之间仍具有与（ 2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（ 1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论28 已知：如图， ABC ADE

15、， AB=15 ，AC=9 ，BD=5 求 AE29 已知：如图 RtABCRt BDC ，若 AB=3 ，AC=4 （1）求 BD、CD 的长；12（2）过 B 作 BEDC 于 E，求 BE 的长30 （1 ）已知 ，且 3x+4z 2y=40 ，求 x，y，z 的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为 3：10 ，且这两个三角形的周长差为 560cm ，求它们的周长13参考答案与试题解析一解答题（共30 小题）1如图，在 ABC 中， DEBC，EFAB ，求证： ADE EFC考点： 相似三角形的判定；平行线的性质。专题： 证明题。分析： 根据平行线的性质可知 AED= C，A= F

16、EC，根据相似三角形的判定定理可知 ADE EFC解答： 证明： DEBC，DE FC， AED= C又EFAB ，EFAD ， A= FEC ADE EFC点评： 本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理2如图，梯形 ABCD 中， ABCD ，点 F 在 BC 上，连DF 与 AB 的延长线交于点 G（1）求证： CDF BGF；（2）当点 F 是 BC 的中点时，过F 作 EF CD 交 AD 于点 E，若 AB=6cm ， EF=4cm ，求 CD 的长考点： 相似三角形的判定；三角形中位线定理；梯形。专题： 几何综合题。分析： （1）利用平行线的性质可证明 CDF BGF（2）

17、根据点 F 是 BC 的中点这一已知条件，可得CDF BGF，则CD=BG ，只要求出 BG 的长即可解题解答： （1）证明： 梯形 ABCD ，AB CD ， CDF= FGB， DCF= GBF，（2 分） CDF BGF（3 分）（2）解：由（ 1）CDF BGF，又 F 是 BC 的中点， BF=FC ， CDF BGF，DF=GF ，CD=BG ，（ 6 分）ABDCEF，F为BC 中点，E为AD 中点，EF 是DAG 的中位线，2EF=AG=AB+BG 15BG=2EFAB=2 46=2 ，CD=BG=2cm （8 分）点评： 本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的

18、判定及线段的等量代换，比较复杂3如图，点 D，E 在 BC 上，且 FDAB ，FEAC 求证： ABC FDE考点： 相似三角形的判定。专题： 证明题。分析： 由 FDAB，FEAC，可知 B= FDE，C= FED，根据三角形相似的判定定理可知： ABC FDE解答： 证明： FDAB， FEAC ， B= FDE，C= FED， ABC FDE点评： 本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理：（1）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角

19、形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似164如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边CD 上一点， BF AE 于 F，试说明： ABF EAD 考点： 相似三角形的判定；矩形的性质。专题： 证明题。分析： 根据两角对应相等的两个三角形相似可解解答： 证明： 矩形 ABCD 中， ABCD ，D=90 （，2 分） BAF= AED （4 分）BFAE， AFB=90 AFB= D（5 分） ABF EAD （ 6 分）点评： 考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角5已知：如图所示，在 ABC 和ADE 中， AB=AC ，AD=AE ，BAC= DAE，且点 B，A，D 在一条直线上

20、，连接 BE，CD，M ，N 分别为BE，CD 的中点（1）求证： BE=CD ； AMN 是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转180 ，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（ 1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（ 2 ）的条件下，请你在图中延长 ED 交线段BC 于点 P求证： PBD AMN 17考点： 相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋转的性质。专题： 几何综合题。分析： （1）因为BAC= DAE ，所以 BAE= CAD ，又因为AB=AC ，AD=AE ，利用 SAS 可证出 BAE CAD ，可知 BE、CD 是对应

21、边，根据全等三角形对应边上的中线相等，可证 AMN 是等腰三角形（2）利用（ 1）中的证明方法仍然可以得出（ 1）中的结论，思路不变（3）先证出 ABM ACN （SAS），可得出 CAN= BAM ，所以 BAC= MAN （等角加等角和相等），又 BAC= DAE ，所以 MAN= DAE= BAC ，所以 AMN ，ADE 和ABC 都是顶角相等的等腰三角形，所以 PBD= AMN ，所以 PBD AMN （两个角对应相等，两三角形相似）解答： （1）证明： BAC= DAE， BAE= CAD ，AB=AC ，AD=AE ， ABE ACD ，BE=CD 由 ABE ACD ，得ABE

22、= ACD ， BE=CD ，M 、N 分别是 BE， CD 的中点，BM=CN 18又AB=AC ， ABM ACN AM=AN ，即 AMN 为等腰三角形（2）解：（ 1）中的两个结论仍然成立（3）证明：在图中正确画出线段PD，由（ 1 ）同理可证 ABM ACN ， CAN= BAM BAC= MAN 又 BAC= DAE ， MAN= DAE= BAC AMN ，ADE 和ABC 都是顶角相等的等腰三角形 PBD 和AMN 都为顶角相等的等腰三角形， PBD= AMN ，PDB= ANM ， PBD AMN 点评： 本题利用了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形一个顶角相等，则底角相

23、等的性质，还有相似三角形的判定（两个角对应相等的两个三角形相似） 6如图， E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC，交 AD 于点 F在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明19考点： 相似三角形的判定；平行四边形的性质。专题： 开放型。分析： 根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有： AEF BEC；AEF DCF；BEC DCF解答： 解：相似三角形有 AEF BEC； AEF DCF； BEC DCF（3 分）如： AEF BEC在?ABCD 中， AD BC， 1= B， 2= 3（6 分）

24、 AEF BEC（7 分）点评： 考查了平行线的性质及相似三角形的判定定理7如图，在 43 的正方形方格中， ABC 和DEF 的顶点都在边长为1 的小正方形的顶点上（1）填空： ABC= 135 ，BC= ；（2）判断 ABC 与DEC 是否相似，并证明你的结论考点： 相似三角形的判定；正方形的性质。专题： 证明题；网格型。20分析： （1）观察可得： BF=FC=2 ，故 FBC=45 ；则ABC=135 ，BC= =2 ；（2）观察可得： BC、EC 的长为 2 、 ，可得 ，再根据其夹角相等；故 ABC DEC解答： 解：（1） ABC=135 ，BC= ；（2）相似；BC= ，EC=

25、 = ； ， ； ；又ABC= CED=135 ， ABC DEC点评： 解答本题要充分利用正方形的特殊性质注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率8如图， 已知矩形 ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm 某一时刻， 动点 M 从 A 点出发沿AB 方向以 1cm/s的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间， AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ？（2）是否存在时刻 t ，使以 A，M ，N 为顶点的三角形与ACD 相似？

26、若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由考点： 相似三角形的判定；一元二次方程的应用；分式方程的应用；正方形的性质。 21专题： 动点型。分析： （1）关于动点问题，可设时间为 x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用， AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的 t 值即可说明存在，反之则不存在解答： 解：（1）设经过 x 秒后， AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ，则有： （62x）x= 3 6，即 x23x+2=0 ，（2 分）解方程，得 x1=1 ，x2=

27、2 ，（3 分）经检验，可知 x1=1 ，x2=2 符合题意，所以经过 1 秒或 2 秒后， AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 （4 分）（2）假设经过 t 秒时，以 A，M ，N 为顶点的三角形与 ACD 相似，由矩形 ABCD ，可得 CDA= MAN=90 ，因此有 或 （5 分）即 ，或 （ 6 分）解，得 t= ；解，得 t= （7 分）经检验， t= 或 t= 都符合题意，所以动点 M ，N 同时出发后，经过 秒或 秒时，以 A，M ，N 为顶点的三角形与 ACD 相似（8分）点评： 主要考查了相似三角形的判定， 正方形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方程 要掌握正方形

28、和相似三角形的性质，才会灵活的运用注意：一般关于动点问题，可设时间为 x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可229如图，在梯形 ABCD 中，若 AB DC， AD=BC ，对角线BD、AC 把梯形分成了四个小三角形（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少； （注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明考点： 相似三角形的判定；概率公式。专题： 开放型。分析： （1）采用列举法，列举出所有可能出现的情况，再找出相似三角形即可求得；与，与相似；（2）利用相似三角形的判定定理即可证得解答： 解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：，（ 2 分）其中有两组（，）是相似的选取到的二个三角形是相似三角形的概率是 P= （4 分）证明：（2）选择、证明在AOB 与COD 中，ABCD， CDB= DBA ，DCA= CAB， AOB COD （8 分）选择、证明 四边形 ABCD 是等腰梯形，23 DAB= CBA ，在DAB 与CBA 中有AD=BC ，DAB= CAB ，AB=AB ， DAB CBA，（6 分） ADO= BCO又DO