第七章 74742 超几何分布 教案.docx

1、第七章 74 742 超几何分布 教案7.超几何分布学习目标1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系知识点超几何分布1定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(Xk)，km，m1，m2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布2均值：E(X).1超几何分布是不放回抽样()2超几何分布的总体是只有两类物品()3超几何分布与二项分布的均值相同()4超几何分布与二项分布没有任何联系()一

2、、超几何分布的辨析例1下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；(4)某班级有男生25人，女生20人选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列解(1)(2)中样本没有分类，不是超几

3、何分布问题，是重复试验问题(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题反思感悟判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点(1)总体是否可分为两类明确的对象(2)是否为不放回抽样(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数跟踪训练1(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有()A在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为XB从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数C一名学生骑自行车上学，

4、途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量XD从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X答案ABD解析依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布二、超几何分布的概率例2某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X

5、表示参赛的男生人数，求X的分布列解(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1.(2)根据题意，知X的所有的可能取值为1,2,3.P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X123P反思感悟求超几何分布的分布列的步骤跟踪训练2现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为.(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为，求1的概率解(1)设甲班的学生人数为M，则，即M2M60，解得M3或M2(舍去)7名学生中甲班的学生共有3人(2)由

6、题意可知，服从超几何分布P(1)P(1)p(2).三、超几何分布与二项分布间的关系例3某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495，(495，500，(510,515，由此得到样本的频率分布直方图如图(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列解(1)质量超过505克的产品的频率为55，所以质量超过505克的

7、产品数量为4012(件)(2)质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布P(X0)，P(X1)，P(X2)，X的分布列为X012PX的均值为方法一E(X)012.方法二E(X).(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且YB，P(Yk)Ck2k，k0,1,2，P(Y0)C2，P(Y1)C，P(Y2)C2.Y的分布列为Y012P反思感悟二项分布与超几何分布的关系在n次试验中，某事件A

8、发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布区别当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3)跟踪训练3(1)100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数的分布列；(2)某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数的分布列解(1)任取一件得到次品的概率为，有放回的取出5件，相当于5重伯努利试验，故B(5,0.1)，所以的分布列为012345P0.590 490.32

9、8 050.072 90.008 10.000 450.000 01(2)由于商品数量较大，从中只抽取5件，故的分布列近似地为的分布列1(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是()A将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC某射手的命中率为，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数答案ACD解析由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.2在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是()A. B.

10、 C. D.答案C解析记X为2张中的中奖数，则P(X2).3从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为()A. B.C1 D.答案D解析设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X3)P(X3)P(X4).4盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为，则E()_.答案解析E().5某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取_时，对应的概率为.答案3解析由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C可以看出“从5名三好学生中选取了3名”1知识清单：(1)超几何分布的概念

11、及特征(2)超几何分布的均值(3)超几何分布与二项分布的区别与联系2方法归纳：类比3常见误区：超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样1盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是()A. B. C. D.答案C解析根据题意，得P.2一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是()AP(0X2) BP(X1)CP(X1) DP(X2)答案B解析本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率3有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数

12、的均值是()An B.C. D.答案C解析设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，抽到的次品数的均值E(X).4在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为()A. B. C. D.答案A解析正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率公式可知，当0个正品4个次品时，P，当1个正品3个次品时，P，所以正品数比次品数少的概率为.故选A.5一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽2件，则出现2件次品的概率为()A. B. C. D以上都不对答

13、案A解析设抽到的次品数为X，则X服从超几何分布，其中N50，M5，n2.于是出现2件次品的概率为P(X2).6某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X1)_.答案解析易知P(X1).7有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)_，随机变量X的均值E(X)_.答案解析X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，所以P(X2)P(X0)P(X1)，E(X)0.6.8数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是_答案解析设X表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P(X2)P(X2)P(X3).9从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数(1)求的分布列；(2)求“所选3人中女生人数1”的概率解(1)可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，P(k)，k0,1,2.所以，P(0)，P(1)，P(2).所以，的分布列为012P(2)由(1)知，“所选3人中女生人数1”的概率为P(1)P(0)P(1)