第七章 74742 超几何分布 教案.docx
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第七章74742超几何分布教案
7. 超几何分布
学习目标1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系．
知识点 超几何分布
1．定义：
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
P（X＝k）＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．均值：
E（X）＝.
1．超几何分布是不放回抽样．（√）
2．超几何分布的总体是只有两类物品．（√）
3．超几何分布与二项分布的均值相同．（√）
4．超几何分布与二项分布没有任何联系．（×）
一、超几何分布的辨析
例1 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；
（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列；
（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；
（4）某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；
（5）现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列．
解
（1）
（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
（3）（4）符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
（5）中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题．
反思感悟 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点
（1）总体是否可分为两类明确的对象．
（2）是否为不放回抽样．
（3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．
跟踪训练1（多选）下列随机变量中，服从超几何分布的有（）
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
答案ABD
解析 依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布．而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．
二、超几何分布的概率
例2某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
解
（1）由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
代表队中的学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为＝.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为
1－＝.
（2）根据题意，知X的所有的可能取值为1,2,3.
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
反思感悟 求超几何分布的分布列的步骤
跟踪训练2 现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为.
（1）求7名学生中甲班的学生数；
（2）设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．
解
（1）设甲班的学生人数为M，则＝＝，
即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2（舍去）．
∴7名学生中甲班的学生共有3人．
（2）由题意可知，ξ服从超几何分布．
∴P（ξ≥1）＝P（ξ＝1）＋p（ξ＝2）＝＋＝＋＝.
三、超几何分布与二项分布间的关系
例3 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：
克），质量的分组区间为（490,495]，（495，500]，…，（510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图．
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
解
（1）质量超过505克的产品的频率为5×＋5×＝，
所以质量超过505克的产品数量为40×＝12（件）．
（2）质量超过505克的产品数量为12件，则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布．
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴X的均值为
方法一E（X）＝0×＋1×＋2×＝.
方法二E（X）＝＝.
（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，
P（Y＝k）＝C×k×2－k，k＝0,1,2，
∴P（Y＝0）＝C×2＝，
P（Y＝1）＝C××＝，
P（Y＝2）＝C×2＝.
∴Y的分布列为
Y
0
1
2
P
反思感悟 二项分布与超几何分布的关系
在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．
区别
①当这n次试验是n重伯努利试验时（如有放回摸球），X服从二项分布；
②当n次试验不是n重伯努利试验时（如不放回摸球），X服从超几何分布
联系
在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例（3）
跟踪训练3
（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；
（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．
解
（1）任取一件得到次品的概率为＝，有放回的取出5件，相当于5重伯努利试验，故ξ～B（5,0.1），所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P
0.59049
0.32805
0.0729
0.0081
0.00045
0.00001
（2）由于商品数量较大，从中只抽取5件，故η的分布列近似地为ξ的分布列．
1．（多选）下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
答案 ACD
解析 由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD.
2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（）
A.B.C.D.
答案 C
解析 记X为2张中的中奖数，则P（X＝2）＝＝.
3．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为（）
A.B.
C．1－D.
答案 D
解析 设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋.
4．盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E（ξ）＝________.
答案
解析 E（ξ）＝＝.
5．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取________时，对应的概率为.
答案3
解析 由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C可以看出“从5名三好学生中选取了3名”．
1．知识清单：
（1）超几何分布的概念及特征．
（2）超几何分布的均值．
（3）超几何分布与二项分布的区别与联系．
2．方法归纳：
类比．
3．常见误区：
超几何分布与二项分布混淆，前者是不放回抽样，后者是有放回抽样．
1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是（）
A.B.C.D.
答案C
解析 根据题意，得P＝＝.
2．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是（）
A．P（0C．P（X＝1）D．P（X＝2）
答案 B
解析 本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．
3．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是（）
A．nB.
C.D.
答案C
解析 设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，∴抽到的次品数的均值E（X）＝.
4．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（）
A.B.C.D.
答案A
解析 正品数比次品数少，有两种情况：
0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率公式可知，当0个正品4个次品时，P＝＝，当1个正品3个次品时，P＝＝＝，所以正品数比次品数少的概率为＋＝.故选A.
5．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任意抽2件，则出现2件次品的概率为（）
A.B.C.D．以上都不对
答案A
解析 设抽到的次品数为X，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝5，n＝2.于是出现2件次品的概率为
P（X＝2）＝＝.
6．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P（X＝1）＝________.
答案
解析 易知P（X＝1）＝＝.
7．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P（X<2）＝________，随机变量X的均值E（X）＝________.
答案
解析 X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，
所以P（X<2）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＝＋＝，E（X）＝＝0.6.
8．数学教师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________．
答案
解析 设X表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＝.
9．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
（1）求ξ的分布列；
（2）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．
解
（1）ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，
P（ξ＝k）＝，k＝0,1,2.
所以，P（ξ＝0）＝＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝.
所以，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
（2）由
（1）知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为
P（ξ≤1）＝P（ξ＝0）＋P（ξ＝1）＝
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