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2、线性规划的基础上为适应这种复杂的多目标最优决策的需要，而从20世纪60年代初逐步发展起来的它对众多的目标分别确定一个希望实现的目标值，然后按目标的重要程度（级别）依次进行考虑与计算，以求得最接近各目标预定数值的方案如果某些目标由于种种约束不能完全实现，它也能指出目标值不能实现的程度以及原因，以供决策者参考 第一节 目标规划的基本概念与数学模型一、问题的提出例4-1 某生物药厂需在市场上采购某种原料，现市场上有甲、乙两个等级，单价分别为2千元/kg和1千元/kg，要求采购的总费用不得超过20万元，购得原料的总重量不少于100kg，而甲级原料又不得少于50kg，问如何确定最好的采购方案（即用最少的

3、钱、采购最多数量的原料） 分析：这是一个含有两个目标的数学规划问题 设x1,x2分别为采购甲级、乙级原材料的数量（单位：kg），y1为花掉的资金，y2为所购原料总量则：目标函数为： Miny1 ?x21?x2Maxy2 ?x1?x2 ? (41) ? (42)?2x1?x2?200 (4?3)?x?x?100 (4?4)?12约束条件有： ? x?50 (4?5)?1?x1,x2?0 (4?6)若只考虑花钱最少，则显然属于线性规划问题，由（4-1），（4-3）至（4-6）构成它的数学模型；若只考虑采购数量最多，也是一个线性规划问题，由式（4-2）至（4-6）构成它的数学模型，但现在两者同时都要

4、考虑显然是一个多目标线性规划问题例4-2 某工厂在 计划 期内要生产甲、乙两种产品，现有的资源及两种产品的技术消耗定额、单位利润如表4-1所示试确定计划期内的生产计划，使利润最大，同时厂领导为适应市场需求，尽可能扩大甲产品的生产，减少乙产品的生产，同时考虑这些问题，就形成多目标规划问题 表4-1 产品的资源、技术消耗定额、单位利润表钢 材（kg）木 材 (m3)设备负荷（台小时）单位产品利润 (元) 甲（每件） 9.2 4 3 70 乙（每件） 4 5 10 120 现有资源 3600 201X 3000分析:设x1,x2分别是计划期内甲、乙产品的产量则该问题的 数学 模型为 ?9.2x1?4

5、x2?3600?4x?5x?201X?12 ?3x?10x?30002?1?x1,x2?0?Max y1?70x1?120x2? s.t.?Max y2?x1?Min y?x22?对于这样的多目标问题，线性规划很难为其找到最优方案极有可能出现：第一个方案使第一目标的结果优于第二方案，而对于第二目标，第二方案优于第一方案就是说很难找到一个方案使所有目标同时达到最优，特别当约束条件中有矛盾方程时，线性规划方法是无法解决的实践中，人们转而采取“不求最好，但求满意”的策略，在线性规划的基础上建立一种新的数学规划方法目标规划 二、目标规划的基本概念我们不难得出多目标规划问题的一般形式如下(简记为：GP1

6、)?Maxy1?c11x1?c12x2?c1nxn?C1X?Maxy2?c21x1?c22x2?c2nxn?C2X （4-7） ? ? ? ?Maxy?cx?cx?cx?CXmm11m22mnnm?s.t?a11x1?a12x2?a1nxn?b1?ax?ax?ax?b2112222nn2? （4-8） ? ? ? ?ax?cx?cx?bknnk?k11k22?x1,x2,?,xn?0?AX?B矩阵表示为：MaxY?CX,约束条件:? (GP1) (4-9) X?0?其他情况：如目标函数为miny , 约束条件为“?”，都可作适当的变换，调整为（4-9）的形式下面也称（4-9）式为目标规划的标准

7、型定义4-1 设R?XAX?B,X?, 称R为多目标线性规划问题（简记为GP1）的可行解集合或可行解域这个定义与线性规划问题中可行解集定义完全一样，因此，R是一个凸集 定义4-2 设问题（GP1）的可行解集合非空，X*?R，且对任意的X?R都有CX*?CX，则称X*为问题（GP1）的最优可行解，简称最优解 最优解实际上是使所有目标同时达到最优值，如图41所示20 目标2 目标1 R x图4-1 目标规划解集示意图但更多的情况是：由于多目标之间存在相互矛盾，最优解往往不可能存在，这就要求我们退而求其次，根据目标之间的相对重要程度，分等级和权重，求出相对最优解有效解（满意解），为此引入以下概念，对

8、目标函数和约束条件作适当处理 （一）决策变量与偏差变量决策变量也称控制变量，用x1、x2、?、xn表示，如例4-1中的x1、x2等在多目标规划问题中，由于目标之间存在冲突或约束条件中有矛盾方程，我们可以设想降低目标要求、“放松”严格的约束条件，即从实际出发，根据经验、 历史 资料或市场的需求、上级部门的任务下达等来给每个目标确定一个希望达到的目标值ei, (i =1，2，?，m)一般说来，这些值ei 的确定并不要求十分精确或严格，允许决策的实际值大于或小于ei我们称实际值与目标值的差距为偏差变量(deviation variable)用di?和di?表示 di?第i个目标的实际值超出目标值的部

9、分，称为正偏差变量di?第i个目标的实际值不足目标值的差距，称为负偏差变量规定di?和di?0, (i =1，2，?，m) 实际操作中，当目标值确定时，所做的决策只可能出现以下三种情况：即由di?和di?所构成的3种不同组合表示的含义： di?,di?表示第i个目标的实际值超出目标值；di?0,di?0表示第i个目标的实际值未达到目标值； 并且无论发生哪种情况di?,di?表示第i个目标的实际值恰好等于目标值均有：di?di?如在例4-2中，若提出目标y1的期望值e1= 45000元，y2的期望值e2=250件，y3的期望值e3=200件，则可引入偏差变量di?,di?（i =1，2，3）,

10、d?表示利润超?过45000元的数量，d?则表示利润距45000元还差的数量，d?表示甲产品产量超过250件的部分，?这样可得三个目标函数方程?70x1?120x2?d1?d1?45000?x1?d2?d2?250(4-10) ?x2?d3?d3?200?d?,d?,d?,d?,d?,d?0?112233（二） 目标约束与绝对约束前面通过确定各目标的目标值、引入偏差变量，把目标函数转化成约束方程，从而并入原约束条件中，我们称这类具有机动余地的约束为目标约束(goal restrictions)如例4-2的目标函数转化为目标约束（4-10）因它具有一定的弹性， 一般目标约束不会不满足，只是可能偏

11、差要大一些，故也称为软约束绝对约束(absolute restrictions)是指必须严格满足的等式或不等式约束，也称为系统约束它对应于线性规划中的约束条件（如资源、客观条件约束等），不能满足绝对约束的解即为不可行解，因此也称为硬约束 在一个规划问题中，有时会因为资源的短缺等原因，在约束条件中出现互相矛盾的方程此时，可行解集合是空集应用一般的线性规划方法，只能得出无解的结论而在实际的决策问题里，决策者需要采取一定的措施，或增加资源，或减少产量， 综合 平衡各方面的因素，寻求可行的方案而要找出哪种资源短缺，哪个产量指标过高，仍是解决问题的前提，采取一般的线性规划单纯形法解决这个问题显得十分困难

12、而在目标规划中，将比较容易解决这个问题 我们设想将约束条件“放松”，对约束方程也引入偏差变量，使矛盾的方程不再矛盾！然后通过适当的方法，找出问题的关键，即需要增加的资源品种与数量或需降低的产品产量等，就会获得较好的决策效果这说明两种约束在一定条件下可以转换 例如：在例4-2中，若再增加约束条件：甲、乙两产品总的生产件数大于510，即：x?x?，显然它与约束条件中的：4x1+5x2?201X 矛盾！这样解空间成?了空集但若对新加入的约束条件引入正、负偏差变量d?,d?，可得约束方程?x1?x2?d7?d7?510? 由于d?的作用，约束条件不再矛盾，可行解空间就非空了，我们便可应,d?用后面介绍

13、的方法求出相应的解，从而找出发生矛盾的关键因素及相应的数量，为进一步进行决策提供有力的依据当不易发现约束条件中是否有矛盾方程时，更一般的方法是对所有绝对约束都引入偏差变量，从而把约束条件全部变为等式（三）目标规划的目标函数通过引入偏差变量，使原规划问题中的目标函数变成了目标约束，那么现在问题的目标是什么呢？我们知道：对于满足绝对约束和目标约束的所有解（即可行解），从决策者角度看，判断其优劣的依据是决策值与目标值的偏差越小越好从而目标规划的目标函数就可由偏差变量构成它有三种基本表现形式： 要求恰好达到目标值的，即正、负偏差变量都要尽可能小 构造目标函数为：Min Z?di?di? 要求不能超过目

14、标值的，即允许达不到目标值，但即使超过，一定要越小越好构造目标函数为：Min Z?di? 要求超过目标值的，即允许超过目标值，但即使不足，一定要使缺少量越少越好构造目标函数为：Min Z?di?这样根据各个目标的不同要求，确定出总的目标函数Min Z?(di?d?j)i,j?如例4-2中的目标函数可表示为 Min Z ?d1?d2?d3其完整的目标规划模型为?Min Z?d1?d2?d3?70x1?120x2?d?1?d?1?45000?x1 ?d2?d2?250? x ?d?d?201X33?s.t.?9.2x1?4x2?3600?4x?5x?201X12?3x1?10x2?3000?x,x

15、?0,d,d(i?1,2,3)12ii?0,?（四）优先因子与权系数目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目标的偏差可能相互替代或抵消，因为我们求的是所有偏差和最小，而实际问题中的目标之间也有主次、轻重、缓急之区别决策者往往有一些最重要的，第一位要求达到的目标，我们赋予它优先因子(factor of priority )P1，在它实现的前提下再去解决次要目标依次把第二位达到的目标赋予优先因子P2 ?，并规定Pk ?Pk+1，即不管Pk+1乘以一个多大的正数M，总成立PkMPk+1,表示Pk比Pk+1具有绝对的优先权因此，不同的优先因子代表着不同的优先等级在实现多个目标时，首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑其它级别目标，而P2级目标是在保证P1级目标满足的前提下考虑的决不能因为要使P2级目标更好地实现，而去降低P1级目标的实现值一般地在目标规划模型中，绝对约束相应的目标函数，其优先等级一定是P1级 若要进一步区别具有相同优先级的多个目标，则可分别赋予它们不同的权系数?j(?j可取一确定的非负实数)，根据目标的重要