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2.目标规划复习题

第四章目标规划

前面的线性规划问题,研究的都是只有一个目标函数,若干个约束条件的最优决策问题.然而现实生活中,衡量一个方案的好坏标准往往不止一个,而且这些标准之间往往不协调,甚至是相互冲突的,标准的度量单位也常常各不相同.例如,在资源的最优利用问题中,除了考虑所得的利润最大,还要考虑使生产的产品质量好,劳动生产率高,对市场的适应性强等等.目标规划(goalprogramming)正是在线性规划的基础上为适应这种复杂的多目标最优决策的需要,而从20世纪60年代初逐步发展起来的.它对众多的目标分别确定一个希望实现的目标值,然后按目标的重要程度(级别)依次进行考虑与计算,以求得最接近各目标预定数值的方案.如果某些目标由于种种约束不能完全实现,它也能指出目标值不能实现的程度以及原因,以供决策者参考.

第一节目标规划的基本概念与数学模型

一、问题的提出

例4-1某生物药厂需在市场上采购某种原料,现市场上有甲、乙两个等级,单价分别为2千元/kg和1千元/kg,要求采购的总费用不得超过20万元,购得原料的总重量不少于100kg,而甲级原料又不得少于50kg,问如何确定最好的采购方案(即用最少的钱、采购最多数量的原料).

分析:

这是一个含有两个目标的数学规划问题.设x1,x2分别为采购甲级、乙级原材料的数量(单位:

kg),y1为花掉的资金,y2为所购原料总量.则:

目标函数为:

Miny1?

x21?

x2

Maxy2?

x1?

x2?

(41)?

(42)?

2x1?

x2?

200(4?

3)?

x?

x?

100(4?

4)?

12约束条件有:

?

x?

50(4?

5)?

1

?

?

x1,x2?

0(4?

6)若只考虑花钱最少,则显然属于线性规划问题,由(4-1),(4-3)至(4-6)

构成它的数学模型;若只考虑采购数量最多,也是一个线性规划问题,由式(4-2)至(4-6)构成它的数学模型,但现在两者同时都要考虑.显然是一个多目标线性规划问题.

例4-2某工厂在计划期内要生产甲、乙两种产品,现有的资源及两种产品的技术消耗定额、单位利润如表4-1所示.试确定计划期内的生产计划,使利润最大,同时厂领导为适应市场需求,尽可能扩大甲产品的生产,减少乙产品的生产,同时考虑这些问题,就形成多目标规划问题.

表4-1产品的资源、技术消耗定额、单位利润表

钢材(kg)

木材(m3)

设备负荷(台小时)

单位产品利润(元)甲(每件)9.24370乙(每件)4510120现有资源3600201X3000

分析:

设x1,x2分别是计划期内甲、乙产品的产量.则该问题的数学模型为

?

9.2x1?

4x2?

3600?

4x?

5x?

201X?

12?

3x?

10x?

30002?

1

?

?

x1,x2?

0?

Maxy1?

70x1?

120x2?

s.t.?

Maxy2?

x1?

Miny?

x22?

对于这样的多目标问题,线性规划很难为其找到最优方案.极有可能出现:

第一个方案使第一目标的结果优于第二方案,而对于第二目标,第二方案优于第一方案.就是说很难找到一个方案使所有目标同时达到最优,特别当约束条件中有矛盾方程时,线性规划方法是无法解决的.实践中,人们转而采取“不求最好,但求满意”的策略,在线性规划的基础上建立一种新的数学规划方法——目标规划.

二、目标规划的基本概念

我们不难得出多目标规划问题的一般形式如下(简记为:

GP1)

?

Maxy1?

c11x1?

c12x2?

?

?

c1nxn?

C1X?

?

Maxy2?

c21x1?

c22x2?

?

?

c2nxn?

C2X(4-7)?

?

?

?

?

?

Maxy?

cx?

cx?

?

?

cx?

CXmm11m22mnnm?

s.t?

a11x1?

a12x2?

?

?

a1nxn?

b1?

ax?

ax?

?

?

ax?

b2112222nn2?

?

(4-8)?

?

?

?

?

ax?

cx?

?

?

cx?

bknnk?

k11k22

?

?

x1,x2,?

xn?

0

?

AX?

B矩阵表示为:

MaxY?

CX,约束条件:

?

(GP1)(4-9)X?

0?

其他情况:

如目标函数为miny,约束条件为“?

”,都可作适当的变换,调整为(4-9)的形式.下面也称(4-9)式为目标规划的标准型.

定义4-1设R?

?

XAX?

B,X?

?

?

称R为多目标线性规划问题(简记为GP1)的可行解集合或可行解域.

这个定义与线性规划问题中可行解集定义完全一样,因此,R是一个凸集.定义4-2设问题(GP1)的可行解集合非空,X*?

R,且对任意的X?

R都有CX*?

CX,则称X*为问题(GP1)的最优可行解,简称最优解.

最优解实际上是使所有目标同时达到最优值,如图4—1所示

2

0目标2目标1Rx

图4-1目标规划解集示意图

但更多的情况是:

由于多目标之间存在相互矛盾,最优解往往不可能存在,这就要求我们退而求其次,根据目标之间的相对重要程度,分等级和权重,求出相对最优解——有效解(满意解),为此引入以下概念,对目标函数和约束条件作适当处理.

(一)决策变量与偏差变量

决策变量也称控制变量,用x1、x2、?

、xn表示,如例4-1中的x1、x2等.

在多目标规划问题中,由于目标之间存在冲突或约束条件中有矛盾方程,我们可以设想降低目标要求、“放松”严格的约束条件,即从实际出发,根据经验、历史资料或市场的需求、上级部门的任务下达等来给每个目标确定一个希望达到的目标值ei,(i=1,2,?

,m).一般说来,这些值ei的确定并不要求十分精确或严格,允许决策的实际值大于或小于ei.我们称实际值与目标值的差距为偏差变量(deviationvariable).用di?

和di?

表示.

di?

——第i个目标的实际值超出目标值的部分,称为正偏差变量.

di?

——第i个目标的实际值不足目标值的差距,称为负偏差变量.规定

di?

和di?

?

0,(i=1,2,?

,m).

实际操作中,当目标值确定时,所做的决策只可能出现以下三种情况:

即由di?

和di?

所构成的3种不同组合表示的含义:

①di?

?

?

di?

?

?

表示第i个目标的实际值超出目标值;②di?

?

0,di?

?

0表示第i个目标的实际值未达到目标值;③

并且无论发生哪种情况di?

?

?

di?

?

?

表示第i个目标的实际值恰好等于目标值.

均有:

di?

?

di?

?

?

如在例4-2中,若提出目标y1的期望值e1=45000元,y2的期望值e2=250件,y3的期望值e3=200件,则可引入偏差变量di?

di?

(i=1,2,3),d?

?

表示利润超

?

过45000元的数量,d?

?

则表示利润距45000元还差的数量,d?

表示甲产品产量

超过250件的部分,?

?

.这样可得三个目标函数方程

?

70x1?

120x2?

d1?

?

d1?

?

45000?

?

?

?

x1?

d2?

d2?

250(4-10)?

?

?

?

x2?

d3?

d3?

200

?

d?

d?

d?

d?

d?

d?

?

0?

112233

(二)目标约束与绝对约束

前面通过确定各目标的目标值、引入偏差变量,把目标函数转化成约束方程,从而并入原约束条件中,我们称这类具有机动余地的约束为目标约束(goalrestrictions).如例4-2的目标函数转化为目标约束(4-10).因它具有一定的弹性,

一般目标约束不会不满足,只是可能偏差要大一些,故也称为软约束.

绝对约束(absoluterestrictions)是指必须严格满足的等式或不等式约束,也称为系统约束.它对应于线性规划中的约束条件(如资源、客观条件约束等),不能满足绝对约束的解即为不可行解,因此也称为硬约束.

在一个规划问题中,有时会因为资源的短缺等原因,在约束条件中出现互相矛盾的方程.此时,可行解集合是空集.应用一般的线性规划方法,只能得出无解的结论.而在实际的决策问题里,决策者需要采取一定的措施,或增加资源,或减少产量,综合平衡各方面的因素,寻求可行的方案.而要找出哪种资源短缺,哪个产量指标过高,仍是解决问题的前提,采取一般的线性规划单纯形法解决这个问题显得十分困难.而在目标规划中,将比较容易解决这个问题.我们设想将约束条件“放松”,对约束方程也引入偏差变量,使矛盾的方程不再矛盾!

然后通过适当的方法,找出问题的关键,即需要增加的资源品种与数量或需降低的产品产量等,就会获得较好的决策效果.这说明两种约束在一定条件下可以转换.

例如:

在例4-2中,若再增加约束条件:

甲、乙两产品总的生产件数大于510,即:

x?

?

x?

?

?

?

?

,显然它与约束条件中的:

4x1+5x2?

201X矛盾!

这样解空间成

?

?

了空集.但若对新加入的约束条件引入正、负偏差变量d?

d?

?

?

,可得约束方

?

?

x1?

x2?

d7?

d7?

510

?

?

由于d?

的作用,约束条件不再矛盾,可行解空间就非空了,我们便可应,d?

用后面介绍的方法求出相应的解,从而找出发生矛盾的关键因素及相应的数量,为进一步进行决策提供有力的依据.

当不易发现约束条件中是否有矛盾方程时,更一般的方法是对所有绝对约束都引入偏差变量,从而把约束条件全部变为等式.

(三)目标规划的目标函数

通过引入偏差变量,使原规划问题中的目标函数变成了目标约束,那么现在问题的目标是什么呢?

我们知道:

对于满足绝对约束和目标约束的所有解(即可行解),从决策者角度看,判断其优劣的依据是决策值与目标值的偏差越小越好.从而目标规划的目标函数就可由偏差变量构成.它有三种基本表现形式:

①要求恰好达到目标值的,即正、负偏差变量都要尽可能小.构造目标函数为:

MinZ?

di?

?

di?

.②要求不能超过目标值的,即允许达不到目标值,但

即使超过,一定要越小越好.构造目标函数为:

MinZ?

di?

.③要求超过目标

值的,即允许超过目标值,但即使不足,一定要使缺少量越少越好.构造目标函数为:

MinZ?

di?

.这样根据各个目标的不同要求,确定出总的目标函数

MinZ?

?

(di?

?

d?

j).

i,j

?

?

?

如例4-2中的目标函数可表示为Min.Z?

d1?

d2?

d3

其完整的目标规划模型为

?

MinZ?

d1?

?

d2?

d3?

?

70x1?

120x2?

d?

1?

d?

1?

45000?

?

?

?

x1?

d2?

d2?

250

?

x?

d?

?

d?

?

201X33?

?

s.t.?

9.2x1?

4x2?

3600

?

4x?

5x?

201X12?

?

3x1?

10x2?

3000?

?

?

x,x?

0,d,d(i?

1,2,3)12ii?

0,?

?

(四)优先因子与权系数

目标规划中,当决策者要求实现多个目标时,这些目标的偏差可能相互替代或抵消,因为我们求的是所有偏差和最小,而实际问题中的目标之间也有主次、轻重、缓急之区别.决策者往往有一些最重要的,第一位要求达到的目标,我们赋予它优先因子(factorofpriority)P1,在它实现的前提下再去解决次要目标.依次把第二位达到的目标赋予优先因子P2?

?

,并规定Pk?

Pk+1,即不管Pk+1乘以一个多大的正数M,总成立Pk>MPk+1,表示Pk比Pk+1具有绝对的优先权.因此,不同的优先因子代表着不同的优先等级.在实现多个目标时,首先保证P1级目标的实现,这时可不考虑其它级别目标,而P2级目标是在保证P1级目标满足的前提下考虑的.决不能因为要使P2级目标更好地实现,而去降低P1级目标的实现值.一般地在目标规划模型中,绝对约束相应的目标函数,其优先等级一定是P1级.

若要进一步区别具有相同优先级的多个目标,则可分别赋予它们不同的权系数?

j(?

j可取一确定的非负实数),根据目标的重要

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