第一章集合.docx

1、第一章集合第一章集合教学目的: 集合论是本课程的基础.引入集的概念与集的运算，使学生掌握集和 集的基本运算规律.重点难点:De Morgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论证，通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新 型的运算，学生应理解其概念. 1.1集合概念具有一定性质的对象的全体称为集或集合， 其中的对象称为该集 的元或元素集合的元素必须彼此互异，而且归属明确.一般以大写字 母A,B,X,Y等表示集合，以小写字母a,b,x,y等表示集的元素.若x是集 合X中的一个元，则我们记X壬X .并称X属于X或X包含X ;若X不是 集合X中的元，则我们记X芒X.不包

2、含任何元素的集合称为空集，记 为* 若一个集合 只含有一个元素X，则该集称为单元素集，并记为 *.注意WX !类 似地，xi,X2，Xn 表示含元素Xi,X2,，Xn的集，可简记为 Q U缶约定以专用字母表示一些最常用的集，例如，字母N,乙Q,R,C分别表示自若对集X中的每一个元素X,有一命题P(x)与之对应，则记号x忘X: p(x)表示X中使命题P(x)成立的一切元素x所构成的集.例如对每一 X忘X，令P(x)表示命题0cxc1，则x忘R: P(X)就是开区间(0,1).设A和B是两个集.若A中所有兀素都是B的兀素，则称A是B 的子集，记为AUB.若AUB同时BUA ,则称A和B相等，记为A

3、 = B.我们规定，空集*是任何集合的子集.定理1.1.1 (i)对任何集合A，有AU A(ii)若对集合 A，B 禾口 C 有 AUB，BUC，贝J AUC. 1.2集合的运算一、集合定义在运用集合时，经常需要将一复杂的集分解为某些较简单的集的 某种“组合”，或利用已知集合构造特定的新集，这都依赖于集的运 算设X是一个集合，A和B都是X的子集，我们来定义下面几种运并.由A中所有元与B中所有元汇合在一起构成的集称为 A和B的并，记成aUb，即aU B = x: X亡 A或X亡 b交既属于A又属于B的所有元构成的集称为 A和B的交，记成AB，即a B =x:x A且X迂 b差属于A但不属于B的所

4、有元构成的集称为 A和B的差，记成A-B，即A-B =x: X亡 A但X誉 b)补特别，X _A称为A关于X的补集，记成A，即Ac = X - A图1是几种运算示意图.Ac1.2.1B和C都是X的子集，则(i) A U B=B U A,A A B=B A A(交换律);(ii) (A U B) U C=A U (B U C),(A A B) A C=A A (B A C)(结合律);(iii)(A U B) A C=(A A C) U (B A C)(并对交的分配律),(A A B) U C=(A U C)A (B U C)(交对并的分配律);(iv)(A U B)c=AcA Bc, (A A

5、 B)c=AcU Bc (对偶律).二、集族概念并和交的运算可以推广到更多个集合的情形，设集合 X的每个元都是X的子集，此时称X是X上的一个集族，例如R中所有开区 间就是R上的一个集族.今若X是X上的一个集族，则我们把 乞:存在Au文使X忘A称为集 族X的并，并记成Ua：A）.此外把集5对每一A迂X有A称为集 族X的交，并记成n a：a亡x.对每一 i =1,2,3，n，有X的子集A与之相对应，则集族n nf 1 fl U Ai n AjAN记成Ai I空，其并和交分别记为y 和y ；又若A =1,2,3,，n,，贝y集族iJl 即An： n- n记成，称为一个C CCU An n An 集合

6、序列，其并和交分别记为心和心一般，若对集A中每一元A有集X的一个子集比与之对应，则我 们得到X上的一个集族X ，此时该集族的并和交分别记为U A n A-U% :八2及n g丄f也可以写成总人及总：fU Az g J集族的并和交有和定理1.2.1中类似的对偶律即De Morgan公式. 定理122（De Morgan公式）设 g环是集X上的一个集族，则 xc三、直积的概念和常见例子.设Xi和X是两个集，任取xi - Xi和X2 - X2，就得到一个序对（Xi,X2）.所有这样的序对全体构成的集称为 Xi和X2的直积，记为XiX X2,即X1X X2二幺Xi，X2)： Xi 忘 Xi,x X2X

7、iXX2中的两个元（xi,x2）和（yi,y2）称为相等的，若xi = yi,x2 = y2.nf T n Xk类似地，若xJi兰勺是n个集，则它们的直积记为 7 ，定义为nn Xk =(Xi,X2,，Xn) :Xk忘 Xk,1 k1k三oCn Xk即心 中的元是一个序列（为必，Xk,），其中Xk-Xk/k1积集使用十分广泛，常见的例子是:（i） n维Euclid空间Rn，正是R的n重积:RnRn 二仏兀,，Xn) :Xk 亡 R,1 k nR1就是R,即实数直线，R2是理解为平面，R3理解为空间,中分量全为0的元就记为0，称为原点.（ii） Qn是Rn中的有理点的全体，即Qn 二 ，rn):

8、 m 亡 Q,1 兰 k nzn 二你1*2； , kn): ki Z,1 n(iv)I X J = (X, y): X 亡 I, y 亡 J 是R2中一矩形一般地，对任何集A,B，通常将积集A X B形象地看作一个以A,B为“边”的矩形.1.3对等与基数、映射在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉.在数学分析中函数的定义域通常是Rn的子集，值域是实数集集.若将函数的定义域和值 域换成一般的集，就得到映射的概念.设X和Y是两个集合.若按某种对应关系或法则，使得对每一 X迂X,Y中有唯一的一个元y与之相对应，则我们说给出了从X到Y的一个映射若用f表示此映射，则f,X和Y之间的关系可用f : XT

9、Y表示；此外上述X和y之间的关系表示为y = f(X)y称为X在映射f下的像，X称为y在映射f下的原像.若对任何y壬Y,存在X忘X使y = f（x），则称f是完全映射；若对X中任何两个不同的兀X1和X2有f （xj H f（X2），则f称为是1-1映射.仍设f : Xt Y.令X表示X的子集全体，Y表示Y的子集全体.对每一A忘X及B忘Y令f(A) =f(X):x忘 A , f 二(B) f(X)亡 B,则f(A)称为A在f下的像，f(B)称为B在f下的原像这样，给了f : XT Y，按上述法则，我们诱导出两个新的映射:现在，特别地若f : XT Y是完全1-1映射，则对每一 泸Y,X 中有且只

10、有一个元X使f(x)=y.此时若定义 L(y)=x(y = f(x),则f，是Y到X的一个完全1-1映射，它称为f的逆映射.现设给了三个映射:f : XT Y, g : Yt Z, h : ZtW此时对每一 X壬X，定义u(x) =g(f(X),则U成为X到Z的映射，它称为g和f的复合，记为按照此定义，hgr)及(hy)r都是X到W的映射.定理 1.3.1 设 f : XTY, g : YtZ, h : ZtW，则(i) h 气gr)=(hy)r(ii)若f和g都是完全1-1映射，则gs : xt z也是完全1-1映射.二、对等与基数我们要比较某教室里的学生数与座位数谁多谁少？如果每个学生都有

11、一个座位，而且每个座位上都有一个学生，那么我们根本用不 着一个一个地去数学生与座位，便可断定学生数和座位数是相同的;若每个学生都坐一个座位后，还有空座位，则可断定座位数比学生数 多；若每个座位上都坐一个学生后，还有学生没座位坐，则可断定座 位数比学生数少.现在我们把这种方法推广到比较任何集合元素的多 少.若在集A和B之间存在一个完全1-1映射，贝y我们称A和B对 等，记为AB.例如若 a cb, f(X)= a + (b a)x，则 f : 0,1 t a,b是完全 1-1 映射， 所以0,1a,b.又如 g（x）=tgx,则 g ：（_2,2）t R 是完全 1-1 映射，故（-；，；）R.

12、定理 132（i）对任何集A有AA（自反性）;（ii）若AB，则BA（对称性）;（iii）若AB且BA，则AC（传递性）.定理133设a-川a是一个两两不相交的集族，bqW也 是一个两两不相交的集族.若对每一几有A入B）,，则U 亿：几亡 A U b : X a).证明：由条件，对每一 a-A，令垸：A扎T B扎是完全1-1映射.现对每一 ，有且只有一个 g忙，使xA几，此时就定于是可知f： U A：川Rt ufe：扎是完全1-1映射./u A除了 AB，有时也用A = B表示A与B对等，其中A和B分别称为a和B的基数或势这样，两个集合有相同的基数即两个集合对等.三、基数的比较设a和B是两个集

13、，若a与B的一个子集对等，则我们记A B ；若AB但A不与B对等，则记作AB.此外，若A是有限集并且A12，n，则记A = n , n就是A中元素的个数；若A是可数集，则记A = a ; A有连续统势的情况,我们已经知道记为A=c.这样，对每一正整数n , nwa,并且acc.定理134 (Bernstei n)(i)对任何集A A ；(ii)若 Ab , B C，贝J Ac ；(iii)若 Ab , BA，贝J A = b .证明：只证(iii).由 AB ,ABi，其中Bl u B.即存在完全1-1映射f : AT B,Bi = f (A).由 B n1门3 = min%: an 亡 E且

14、n n2由于E是无限集，故按上述方式得到无限个正整数n1 n2 nk 1,令 n壬An 二(n),a2，akn),n =1,2，.现在对每一 m工1，令Bm 二輪,am2L,，a1(m)，显然Bm是有限集，U Bm是可数集.但是U An = U Bm，所以U A是可数 m 丑 n #mm nm(iv)设A, B是可数集，只证A X B可数(用数学归纳法可推出任意有限个可数集的直积可数).任给a A,令Ca = (a, b):b亡B，贝J A XB= u Ca.显然CaB ,故Ca可数，由(iii)A X B也可数. a耳推论有理数全体是可数集.nin n证明：对每一 n对,An -P，,!是可

15、数集.由定理1.4.1,正有理数全体U An是可数集于是负有理数全体是可数集.再由本定理，有理数全体是可数集.该例给出了一个表面看来令人难以置信的事实， 在实数直线上处 处稠密的有理数的“个数”竟与稀疏分布着的自然数“一样多”例题1.4.1有理系数多项式的全体是可数集.系数 n 次多项式全体组成n=0An =Pn(X)| Pn(X)=1： Q X go H 0问-Q,i = 0,1,，n，则 A=UAn，由于 Ani =0中的任意元素Pn(x)由它的n+1(nX0)个系数a),a1,a n唯一决定，而每个ai(1Mi -2时r汀巧2 .这样|詁与有理数全体的一个子集对等.而后者至多可数故L 中

16、的元至多可数.定理142设A是无限集，B是至多可数集，则 AA U B.A- A1 A-A 1， A1 A1U B， (A-A 1)n Ai= , (A-A 1)n (Ai U B)= .从而由定理1.3.3,A=(A-A 1)U A1 (A-A 1)U (A1 U B)=A U B若把两个集合对等理解为它们所含元素的“个数”相等，则上述 定理说明对无限集来说，加入一个至多可数集后，其“个数”不变 若A为可数集，用a表示可数集的基数，即A = a.1.5不可数集合在无限集中，只讨论了可数集，有没有不可数的无限集呢？本段 说明无限集不一定是可数集.定理1.5.1闭区间0,1是不可数集.证明：假设

17、0,1= a1，a2,，an，是一个可数集.则有0,1中的闭区间I1，使酣11，有I1中的闭区间12， 使a I2，有I2中的闭区间13,使a3和3，等等.这样我们得到0,1中的单减闭区间列Inl，使a In，n =1,2,.由数学分析中的闭区间套定理知存在唯一-斤In.显然匕-0,1，但对任何n，有 Han，此矛盾.nd因此0,1是不可数集.把一切与集0,1对等的集归为一类，称为有连续统势，用 c表示这类集合的基数.即：若A0,1，则A = c.例题1.5.1区间(0,1)的基数是c.证明：由.定理132知,(0,1)(0,1)U 0,1.即(0,1)0,1.所以区间(0,1)的基数是c.因

18、 a cb, f(x) =a+(ba)x，得到 f : 0,1Ta,b是完全 1-1 映射, 所以0,1a,b.说明a,b的基数是c,而由 3定理2, 一个无限集增 加或减少至多可数个元素后，与原集对等，所以(a,b) , a,b),佝b的基数也是c.又由g(x)=tgx,有(一；，；)R.故实数集R的基数是c.说明任何区间有连续统势，特别R有连续统势. 1.6二元数列设n是大于1的正整数，若数列 抵心中的元仅由0,1,2,，n-1这n 个数组成，则 L称为n元数列.此时若从某项后的所有项ak都为0 , 则称GL为有限n元数列，不然称为无限n元数列.如：1,0,1,0,11,0,1,0,0,1

19、,0，为二元数列，2,0,122,1,0,1,2,0,1,2，为三元 数列.定理1.6.1二元数列全体有连续统势.证明:(i)有限二元数列全体是可数的. 设 Aass:aJs是二元数列,则每个A2k）中的基数都为2k ,即有限个，从而A2中的有限二元数 列全体U A2k是可数的.k（ii）无限二元数列全体有连续统势.只需证明无限二元数列全体与（0,1对等.设X迂（0,1,此时有唯一的ki,ki=1或2,使取ai=ki-1.又有唯一的k2,k2=1或2,使2 22 2 22取ak2 -1.又有唯一的k3,k1或2,使取 as = ks -1.(1)丈户-1 +km亡 2i 2m其中 m 二kj

20、=1 或 2，取 ai =匕-1,i =1,2, , m.在（1）中令mT OC,得处aP aiX =迓一y 2i由ai的取法和（1）, GU是一个无限二元数列.这样得到一个映射f ,f : （0,1T无限二元数列全体易证f是完全一一映射，从而无限二元数列全体具有连续统势.处a 处h（不同的X得到不同的ai,设x=2冷，y =5：二,显然若a bi,则x = y,即i 4 2 i 4 2映射f为1-1映射;另一方面，任取一个无限二元数列匕匚问取0或1,2 1=1,于是X亡（0,1，因此f为完全映射.）ii 2定理162可数集的子集全体有连续统势.证明:只需证明自然数集N的子集全体有连续统势.设

21、A是N的任一非空子集，定义1 n亡 Aan = 0 n 迂 N - A则是一个二元数列.即映射f（A）=丄亘是一个二元数列定义f 仲)=o,o,0,则f是N的子集全体到二元数列全体的完全 1-1映射.事实上，N的两子集不同，所对应 的二元数列一定不同（如A =,2, f(A)=勺,1,0, B=fe5,贝J f(B) =i0,0,1,0,1,0,)；另一方面，给一个二元数列,就对应N的一个子集（如En篇轨1,0,1,0厂对应子集A = 1,3）.所以映射f是一个完全1-1映射，即N的子集全体二元数列全体从而N 的子集全体有连续统势C.定理1.6.3至多可数个有连续统势的集的直积有连续统势C证明

22、：不妨设对每一个n工1 , Xn是二元数列全体，要证X=n Xn n=1也有连续统势此时对每一个X =（X1,X2，Xn,Fx ,令令 f（X）= （xf ）x2 ）Xi（2 ）x3 ） xf，Xi（3 , xf , x23，x4 ），则 f（X）是一个二元数X5: ai5这样,由二元数列全体有连续统势知其直积有连续统势特别地，若Xn =R,得,Xn =饮数列全体从而实数列全体有连续n吕统势.我们知道若一个有限集 A有n个元素，则A的子集全体（包括空集）共有2n个元素这样若集A的基数为4，我们把A的子集全体的基既然基数是可以比较的，且已知ca，那么是否还有比c大的基 数呢？下面的定理圆满地回答了这个问题定理 164 2#.证明：设集A的基数为卩.由定义，集A的所有子集构成的集族A 的基数为2卩显然A与A的子集qx:x- a是对等的，所以4 2#为证卩2，只需证明A与A不对等.假设A与A对等，则存在完全1-1映射f : At a.此时对每一 A， f（x）是A的一个子集.令A*二x亡 A: X疋 f（X）由于f是完全的，所以A的上述子集A，应有 八A使f (x*) = A若X忘f(x*)，则应有 X*芒A*(= f(X*)，矛盾；若 X*芒f(x*)(=A*)，则应有 “ A*(= f(X*)，矛盾这就说明A与A不可能对等.