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第一章集合

教学目的:

集合论是本课程的基础.引入集的概念与集的运算，使学生掌握集和集的基本运算规律.

重点难点:

DeMorgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要

遇到的论证，通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的运算，学生应理解其概念.

§1.1集合概念

具有一定性质的对象的全体称为集或集合，其中的对象称为该集的元或元素•集合的元素必须彼此互异，而且归属明确.一般以大写字母A,B,X,Y等表示集合，以小写字母a,b,x,y等表示集的元素.若x是集合X中的一个元，则我们记X壬X.并称X属于X或X包含X;若X不是集合X中的元，则我们记X芒X.不包含任何元素的集合称为空集，记为*•若一个集合只含有一个元素X，则该集称为单元素集，并记为*｝.注意W^X!

类似地，｛xi,X2，…，Xn｝表示含元素Xi,X2,…，Xn的集，可简记为QU缶约定

以专用字母表示一些最常用的集，例如，字母N,乙Q,R,C分别表示自

若对集X中的每一个元素X,有一命题P（x）与之对应，则记号

｛x忘X:

p（x）｝表示X中使命题P（x）成立的一切元素x所构成的集.例如

对每一X忘X，令P（x）表示命题"0cxc1"，则｛x忘R:

P（X）｝就是开区间

（0,1）.

设A和B是两个集.若A中所有兀素都是B的兀素，则称A是B的子集，记为AUB.若AUB同时BUA,则称A和B相等，记为A=B.

我们规定，空集*是任何集合的子集.

定理1.1.1（i）对任何集合A，有AUA

（ii）若对集合A，B禾口C有AUB，BUC，贝JAUC.

§1.2集合的运算

一、集合定义

在运用集合时，经常需要将一复杂的集分解为某些较简单的集的某种“组合”，或利用已知集合构造特定的新集，这都依赖于集的运算•设X是一个集合，A和B都是X的子集，我们来定义下面几种运

并.由A中所有元与B中所有元汇合在一起构成的集称为A和B

的并，记成aUb，即

aUB={x:

X亡A或X亡b}

交•既属于A又属于B的所有元构成的集称为A和B的交，记成

A^B，即

a"B={x:

x€A且X迂b}

差•属于A但不属于B的所有元构成的集称为A和B的差，记成

A-B，即

A-B={x:

X亡A但X誉b）

补特别，X_A称为A关于X的补集，记成A，即

Ac=X-A

图1是几种运算示意图.

1.2

B和C都是X的子集，则

（i）AUB=BUA,AAB=BAA（交换律）;

（ii）（AUB）UC=AU（BUC）,（AAB）AC=AA（BAC）（结合律）;

（iii）（AUB）AC=（AAC）U（BAC）（并对交的分配律）,

（AAB）UC=（AUC）A（BUC）（交对并的分配律）;

（iv）（AUB）c=AcABc,（AAB）c=AcUBc（对偶律）.

二、集族概念

并和交的运算可以推广到更多个集合的情形，设集合X的每个

元都是X的子集，此时称X是X上的一个集族，例如R中所有开区间就是R上的一个集族.

今若X是X上的一个集族，则我们把乞:

存在Au文使X忘A称为集族X的并，并记成U｛a：

A€）~｝.此外把集5对每一A迂X有A称为集族X的交，并记成n｛a：

a亡x｝.

对每一i"=｛1,2,3，…，n｝，有X的子集A与之相对应，则集族

f・1flUAinAj

｛AN"｝记成｛AiI空，其并和交分别记为y和y；又若

A=｛1,2,3,…，n,…｝，贝y集族｛"iJl｝即｛An：

n-n｝记成，称为一个

□CCC

UAnnAn集合序列，其并和交分别记为心和心

一般，若对集A中每一元A有集X的一个子集比与之对应，则我们得到X上的一个集族X｝，此时该集族的并和交分别记为

UA'nA-

U%:

八2及ng丄f也可以写成总人及总：

UAzgJ

集族的并和交有和定理1.2.1中类似的对偶律即DeMorgan公式.定理122（DeMorgan公式）设g环是集X上的一个集族，则xc

三、直积的概念和常见例子.

设Xi和X是两个集，任取xi-Xi和X2-X2，就得到一个序对

（Xi,X2）.所有这样的序对全体构成的集称为Xi和X2的直积，记为Xi

XX2,即

X1XX2二幺Xi，X2）：

Xi忘Xi,x^X2}

XiXX2中的两个元（xi,x2）和（yi,y2）称为相等的，若xi=yi,x2=y2.

fTnXk

类似地，若'xJi兰勺是n个集，则它们的直积记为7，定义为

nXk={（Xi,X2,…，Xn）:

Xk忘Xk,1

nXk

即心中的元是一个“n隹向量"（XZ,…，Xn），它的第k个“分

nXk

量”Xk迂Xk，1兰k兰n若Xk=x（1兰k兰n），则将匕写作xn，称为X的n重积或n次幕.

fxnXk

最后集合序列^Xk^k＞的直积km定义为

□c

nXk=qxi,X2，…，Xk,…）：

Xk亡Xk,k>1}

k三

nXk

即心中的元是一个序列（为必，…，Xk,…），其中Xk-Xk/k^1

积集使用十分广泛，常见的例子是:

（i）n维Euclid空间Rn，正是R的n重积:

Rn二仏兀,…，Xn）:

Xk亡R,1

R1就是R,即实数直线，R2是理解为平面，R3理解为空间,

中分量全为0的元就记为0，称为原点.

（ii）Qn是Rn中的有理点的全体，即

Qn二…，rn）:

m亡Q,1兰k

zn二你1*2；",kn）:

kiZ,1n}

（iv）

IXJ={（X,y）:

X亡I,y亡J}

是R2中一矩形•一般地，对任何集A,B，通常将积集AXB形象地看

作一个以A,B为“边”的矩形.

§1.3对等与基数

、映射

在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉.在数学分析中函数的

定义域通常是Rn的子集，值域是实数集集.若将函数的定义域和值域换成一般的集，就得到映射的概念.

设X和Y是两个集合.若按某种对应关系或法则，使得对每一X迂

X,Y中有唯一的一个元y与之相对应，则我们说给出了从X到Y的

一个映射若用f表示此映射，则f,X和Y之间的关系可用

XTY

表示；此外上述X和y之间的关系表示为

y=f（X）

y称为X在映射f下的像，X称为y在映射f下的原像.若对任何y壬Y,

存在X忘X使y=f（x），则称f是完全映射；若对X中任何两个不同的

兀X1和X2有f（xjHf（X2），则f称为是1-1映射.

仍设f:

XtY.令X表示X的子集全体，Y表示Y的子集全体.

对每一A忘X及B忘Y令

f（A）={f（X）:

x忘A},f二（B）f（X）亡B},

则f（A）称为A在f下的像，f」（B）称为B在f下的原像•这样，给了

XTY，按上述法则，我们诱导出两个新的映射:

现在，特别地若f:

XTY是完全1-1映射，则对每一泸Y,X中有且只有一个元X使f（x）=y.此时若定义L（y）=x（y=f（x））,则f，

是Y到X的一个完全1-1映射，它称为f的逆映射.

现设给了三个映射:

XTY,g:

YtZ,h:

ZtW

此时对每一X壬X，定义

u（x）=g（f（X））,

则U成为X到Z的映射，它称为g和f的复合，记为

按照此定义，h"gr）及（hy）r都是X到W的映射.

定理1.3.1设f:

XTY,g:

YtZ,h:

ZtW，则

（i）h气gr）=（hy）r

（ii）若f和g都是完全1-1映射，则gs:

xtz也是完全1-1

映射.

二、对等与基数

我们要比较某教室里的学生数与座位数谁多谁少？

如果每个学

生都有一个座位，而且每个座位上都有一个学生，那么我们根本用不着一个一个地去数学生与座位，便可断定学生数和座位数是相同的;

若每个学生都坐一个座位后，还有空座位，则可断定座位数比学生数多；若每个座位上都坐一个学生后，还有学生没座位坐，则可断定座位数比学生数少.现在我们把这种方法推广到比较任何集合元素的多少.

若在集A和B之间存在一个完全1-1映射，贝y我们称A和B对等，记为A〜B.

例如若acb,f（X）=a+（b—a）x，则f:

[0,1]t[a,b]是完全1-1映射，所以[0,1]〜[a,b].

又如g（x）=tgx,则g：

（_2,2）tR是完全1-1映射，故（-；，；）

定理132

（i）对任何集A有A〜A（自反性）;

（ii）若A〜B，则B〜A（对称性）;

（iii）若A〜B且B〜A，则A〜C（传递性）.

定理133设｛a-川a｝是一个两两不相交的集族，｛bqW｝也是一个两两不相交的集族.若对每一几有A入〜B）,，则

U亿：

几亡AU{b:

X€a）.

证明：

由条件，对每一a-A，令垸：

A扎TB扎是完全1-1映射.

现对每一｝，有且只有一个g忙，使x^A几，此时就定

于是可知f：

U｛A］：

川Rtufe］：

扎是完全1-1映射.

/uA

除了A〜B，有时也用A=B表示A与B对等，其中A和B分别称

为a和B的基数或势•这样，两个集合有相同的基数即两个集合对等.

三、基数的比较

设a和B是两个集，若a与B的一个子集对等，则我们记A

若A

此外，若A是有限集并且A〜｛12…，n｝，则记A=n,n就是A

中元素的个数；若A是可数集，则记A=a;A有连续统势的情况,

我们已经知道记为A=c.这样，对每一正整数n,nwa,并且acc.

定理134（Bernstein）（i）对任何集

（ii）若A

（iii）若A

证明：

只证（iii）.

由A

A〜Bi，其中BluB.即存在完全1-1映射f:

ATB,,

Bi=f（A）.

由B

B〜A，其中AUA.即存在完全1-1映射g:

BTA,

A=g（B）.

令A-Ai=A2，

f（A2）=B2,g（B2）=A3,

f（A3）=B3，g（B3）=A4，

f（A4）=B4,

由于f和g都是完全1-1映射，所以A2,A3,,互不相交，B2,B3,,

也互不相交•显然，由于f是完全1-1映射，An〜Bn（n=2,3,…）,这样

由定理1.3.3知UAn〜UBn.

ndn/

另一方面，由于g也是完全1-1映射，所以B〜Ai,Bk~Ak+i（k=2,3,…）,这样B-kQBk〜A^Ak+m-UAn，从而

A=（A-UAn）U（UAn）〜（B-UBn）U（UBn）=B.

n=2n/n/n/

图2定理1.3.4证明示意

§1.4可数集合

若有正整数n使集合A与《2,…，n｝对等，则A称为有限集；不

然称A为无限集•特别地若A〜N（正整数全体），则A称为可数集•显然，A可数的充分必要条件是A中的全体元素可以排列成

31,32"-,an,…的形状.

有限集和可数集统称为至多可数集.

定理1.4.1（i）任一无限集必含一个可数子集；（ii）可数集的任

无限子集是可数集；（iii）至多可数个可数集的并是可数集.（iv）有限个可数集的直积是可数集.

证明：

（i）设A为无限集，取a^A，则A-^｝是无限集.取

32亡A-｛印｝，则A-右皑｝是无限集.再取as亡A-匕耳｝，如此就归纳地

（ii）设E是可数集A=｛ai,a2,…，an,…｝的一个无限子集.令

m=minh:

an忘E}，

门2=min{n:

a^E且n>n1

门3=min%:

an亡E且n>n2

由于E是无限集，故按上述方式得到无限个正整数n1

易知£=£%「◎「｝是一个可数集.

（iii）我们仅对AL是可数个两两不相交的可数集的情形来证

UAn可数.对每一n>1,令n壬

An二£（n）,a2"，…，akn）,…n=1,2，….

现在对每一m工1，令

Bm二輪,am2L,…，a1（m）｝，

显然Bm是有限集，UBm是可数集.但是UAn=UBm，所以UA是可数m丑n#mmnm

（iv）设A,B是可数集，只证AXB可数（用数学归纳法可推出任

意有限个可数集的直积可数）.任给a€A,令Ca=｛（a,b）:

b亡B｝，贝JAX

B=uCa.显然Ca〜B,故Ca可数，由（iii）AXB也可数.a耳

推论有理数全体是可数集.

inn

证明：

对每一n对,An-P，,…!

是可数集.由定理1.4.1,正有理

数全体UAn是可数集•于是负有理数全体是可数集.再由本定理，有理

数全体是可数集.

该例给出了一个表面看来令人难以置信的事实，在实数直线上处处稠密的有理数的“个数”竟与稀疏分布着的自然数“一样多”

例题1.4.1有理系数多项式的全体是可数集.

系数n次多项式全体组成

n=0

An=[Pn（X）|Pn（X）=1：

QXgoH0问-Q,i=0,1,…，n＞，则A=UAn，由于An

i=0

中的任意元素Pn（x）由它的n+1（nX0）个系数a）,a1,an唯一决定，而每

个ai（1Mi

数集，从而（n+1）个Q的直积可数，即代是可数的，再利用定理141（iii）

得出所要结论.

例题1.4.2R中任一两两不相交的开区间族仏上気中的元至多可

证明：

对每一kJ.取|几中的有理数仇.由于｛|J中的元两两不相

交，因此当'叭丰>-2时r汀巧2.这样｛|詁与有理数全体的一个子集对等.而

后者至多可数•故L｝中的元至多可数.

定理142设A是无限集，B是至多可数集，则A〜AUB.

从而由定理1.3.3,

A=（A-A1）UA1〜（A-A1）U（A1UB）=AUB

若把两个集合对等理解为它们所含元素的“个数”相等，则上述定理说明对无限集来说，加入一个至多可数集后，其“个数”不变若A为可数集，用a表示可数集的基数，即A=a.

§1.5不可数集合

在无限集中，只讨论了可数集，有没有不可数的无限集呢？

本段说明无限集不一定是可数集.

定理1.5.1闭区间［0,1］是不可数集.

证明：

假设

[0,1]={a1，a2,…，an，…}

是一个可数集.则有［0,1］中的闭区间I1，使酣11，有I1中的闭区间12，使a^I2，有I2中的闭区间13,使a3和3，等等.这样我们得到［0,1］中

的单减闭区间列＜Inl＞，使a^In，n=1,2,….由数学分析中的闭区间套

因此［0,1］是不可数集.

把一切与集［0,1］对等的集归为一类，称为有连续统势，用c表示

这类集合的基数.即：

若A〜［0,1］，则A=c.

例题1.5.1区间（0,1）的基数是c.

证明：

由.定理132知,

（0,1）〜（0,1）U｛0,1｝.即（0,1）〜[0,1].

所以区间（0,1）的基数是c.

因acb,f（x）=a+（b—a）x，得到f:

[0,1]T[a,b]是完全1-1映射,所以［0,1］〜［a,b］.说明［a,b］的基数是c,而由§3定理2,一个无限集增加或减少至多可数个元素后，与原集对等，所以（a,b）,［a,b）,佝b］的

基数也是c.又由g（x）=tgx,有（一；，；）〜R.故实数集R的基数是c.

说明任何区间有连续统势，特别R有连续统势.

§1.6二元数列

设n是大于1的正整数，若数列抵｝心中的元仅由0,1,2,…，n-1这n个数组成，则◎L称为n元数列.此时若从某项后的所有项ak都为0,则称GL为有限n元数列，不然称为无限n元数列.

如：

｛1,0,1,0,11,0,1,0,0,1,0，…｝为二元数列，｛2,0,122,1,0,1,2,0,1,2，…｝为三元数列.

定理1.6.1二元数列全体有连续统势.

证明:

（i）有限二元数列全体是可数的.设A^«as｝s>:

^aJs>是二元数列｝,

则每个A2k）中的基数都为2k,即有限个，从而A2中的有限二元数列全体UA2k是可数的.

k」

（ii）无限二元数列全体有连续统势.

只需证明无限二元数列全体与（0,1]对等.

设X迂（0,1],此时有唯一的ki,ki=1或2,使

取ai=ki-1.又有唯一的k2,k2=1或2,使

222222

取a^k2-1.又有唯一的k3,k^1或2,使

取as=ks-1.

（1）

丈户-1+km

亡2i2m

其中m二kj=1或2，取ai=匕-1,i=1,2,,m.

在

（1）中令mTOC,得

处a

Pai

X=迓一^

y2i

由ai的取法和

（1）,GU是一个无限二元数列.这样得到一个映射f,

（0,1]T无限二元数列全体

易证f是完全一一映射，从而无限二元数列全体具有连续统势.

处a处h

（不同的X得到不同的ai,设x=2冷，y=5：

二,显然若a^bi,则x=y,即

i42i42

映射f为1-1映射;另一方面，任取一个无限二元数列匕｝匚问取0或1,

21=1,于是X亡（0,1］，因此f为完全映射.）

ii2

定理162可数集的子集全体有连续统势.

证明:

只需证明自然数集N的子集全体有连续统势.

设A是N的任一非空子集，定义

[1n亡A

an=[0n迂N-A

则是一个二元数列.即映射f（A）=£丄亘是一个二元数列•定义

f仲）={o,o,…,0,…},

则f是N的子集全体到二元数列全体的完全1-1映射.事实上，N的两

子集不同，所对应的二元数列一定不同（如

A=《,2},f（A）=勺,1,0,…},B=fe5,贝Jf（B）=i0,0,1,0,1,0,…}）；另一方面，给一

个二元数列,就对应N的一个子集（如En篇轨1,0,1,0厂｝对应子集

A=｛1,3｝）.所以映射f是一个完全1-1映射，即

N的子集全体〜二元数列全体

从而N的子集全体有连续统势C.

定理1.6.3至多可数个有连续统势的集的直积有连续统势

□C

证明：

不妨设对每一个n工1,Xn是二元数列全体，要证X=nXnn=1

也有连续统势•此时对每一个X=（X1,X2，…，Xn,…Fx,令

令f（X）=（xf）x2）Xi

（2）x3）xf，Xi（3,[xf,x23，x{4'…），则f（X）是一个二元数

X5:

ai5

这样,由二元数列全体有连续统势知其直积有连续统势

特别地，若Xn=R,得,Xn=饮数列全体从而实数列全体有连续

n吕

统势.

我们知道若一个有限集A有n个元素，则A的子集全体（包括空

集）共有2n个元素•这样若集A的基数为4，我们把A的子集全体的基

既然基数是可以比较的，且已知c>a，那么是否还有比c大的基数呢？

下面的定理圆满地回答了这个问题

定理164^<2#.

证明：

设集A的基数为卩.由定义，集A的所有子集构成的集族A的基数为2卩显然A与A的子集qx｝:

x-a｝是对等的，所以4<2#为证

卩<2»，只需证明A与A不对等.

假设A与A对等，则存在完全1-1映射

Ata.

此时对每一"A，f（x）是A的一个子集.令

A*二｛x亡A:

X疋f（X）｝

由于f是完全的，所以A的上述子集A，应有八A使f（x*）=A若

X忘f（x*），则应有X*芒A*（=f（X*）），矛盾；若X*芒f（x*）（=A*），则应有“A*（=f（X*）），矛盾•这就说明A与A不可能对等.

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