届高考数学第七篇立体几何与空间向量专题76利用空间向量证明平行与垂直练习.docx

1、届高考数学第七篇立体几何与空间向量专题76利用空间向量证明平行与垂直练习 专题7.6 利用空间向量证明平行与垂直 【考试要求】 1.理解直线的方向向量及平面的法向量； 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系； 3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理； 4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题； 5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题； 6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 【知识梳理】 1.直线的方向向量和平面的法向量 ala为直线的有向线段所在直线与直线(1)直线的方向向量：如

2、果表示非零向量平行或重合，则称此向量l的方向向量. llaa叫做平面的方向向量的法向量(2)平面的法向量：直线，则向量，取直线. 2.空间位置关系的向量表示 位置关系向量表示 ll的方向向量分别为直线，21nn ，21ll 12nnnn ?2121ll 12nnnn0 ?2211ln，的方向向量为直线平面m 的法向量为l mnnm0 ?l mnmn ?平面，的法向量分别为nm ， mmnn ? mmnn0 ?3.异面直线所成的角 a，bll 的方向向量，则设分别是两异面直线，21 ab 与的夹角ll所成的角与 21 范围 )(0，?，0 ?2 求法ab cos ab|ab|cos | cos

3、ba|?4.求直线与平面所成的角 lanla，|cossin ，则所成的角为与平面，直线的法向量为，平面的方向向量为设直线 an|n. | na|5.求二面角的大小 ABCDllABCD. 的两个面内与棱(1)如图，垂直的直线，则二面角的大小是二面角 nnl的两个半平面，的法向量，则二面角的大小(2)如图，分别是二面角 满足|cos 21nnnn的夹角(或其补角|，二面角的平面角大小是向量|cos). ，与21216.点到平面的距离 BAAB到法向量的投影，求向量到平面距离基本思路：确定平面法向量， 在平面内取一点用向量方法求点ABn|nBd. 到平面.如图平面的法向量为，点的距离向量，投影向

4、量的长度即为所要求的距离 n|【微点提醒】 1.平面的法向量是非零向量且不唯一. 2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系. an所成角的余弦值的绝对值，即sin 的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量|cos3.线面角anan，|cos|. ，|，不要误记为cos nn，的法向量4.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面21nn的夹角是相等，还是互补. ，时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量21【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) aa.( ) (2)若直线的方向向量

5、和平面的法向量平行，则) .( 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角(3) ?，00，) 二面角的范围是0，直线与平面所成角的范围是(4)两异面直线夹角的范围是.( ?22 (4) (3) 【答案】 (1) (2) 直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；【解析】 (1). 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角；(3)(2)a 【教材衍化】nn) 则( 3，1，4)2改编)已知平面，的法向量分别为5)(2，3，(练习2.(选修21P10421 A. B. 相交但不垂直D.以上均不对 C.，C 【答案】 nnnn. 相交但不垂直230，【解析】 ，且2112nmmnl，23

6、.(选修1P112A4改编)已知向量，的方向向量和法向量，若分别是直线cos 和平面1l) 与所成的角为( ，则 2B.60 C.120 D.150 A.30 A 【答案】1lmmnn ，所成的角为120，所以直线 【解析】由于cos 30.，所以与 2 【真题体验】BDCDBCDaABABCDA) 的距离为的棱长为( ，则平面 正方体4.(2019天津和平区月考)与平面111111132aaaa B.3C.A.2D. 33D 【答案】zDADABACDDCyDDx轴建立空间轴、为坐标原点，所在直线分别为显然【解析】 轴、平面，以1111aaAaanaDABaBBAa，0)0)0(直角坐标系，

7、则平面的一个法向量为，)，(，(，0)，(0，11nBA3|ad. 则两平面间的距离 n3| ，42，2)，平面的一个法向量为(15.(2018北京朝阳区检测)已知平面的一个法向量为，2kk) ( ，若)，则 等于2 D.A.2 B.4 C.4 C 【答案】 221k4. 【解析】 因为，所以，所以 k42nla，则直4)，0的法向量为，()6.(2019烟台月考若直线2的方向向量为0(1，2)，平面l_. 与平面线的位置关系为l 【答案】 1lna. ，所以因为【解析】 2 【考点聚焦】 利用空间向量证明平行问题考点一 BMADPBDBCDABCDADBCCDADM的的中点，2是，2，如图，

8、在四面体【例1】 中，平面是，2QCAQQAC. 在线段上，且中点，点3 BCDPQ. 证明：平面 【答案】见解析zyODOPOBDO轴的正半轴，建，所在射线分别为，以为原点，法一【解析】证明 如图，取的中点xyzO. 立空间直角坐标系 DAB0). 2，2)，(02，0)，(02由题意知，(0，yCx0). 设点的坐标为(，00QCAQ ，3因为 ?3312?Q. 所以yx， 00?4442MADM1). (0因为，为2的中点，故，1?PPBM，0，0 又的中点，故为， ?2?323?PQ. 所以yx0， 00?444aBCDaPQ0. (0，0，1)又平面，故的一个法向量为BCDPQ 平面

9、又，?BCDPQ. 平面所以CBOFACDFDFFC的坐标，同法一建立空间直角坐标系，写出点3法二 在线段，上取点，连接，使得，yCx0). 坐标为(设点，001yFxCFCD 坐标为(0)，则，设点， 41yxxxyy 0)，2，0)(，(， 000043?xx，? 04?332?OF yx0， 00?44432?yy?， 044?323?PQ， 又由法一知yx0， 00?444OFPQPQOF. ，PQBCDOFBCD，平面， ?又?平面PQBCD. 平面【规律方法】 (1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键. (2)证明直线与平面平行，只须证明

10、直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算. PADABCDABCDPADPAADEF，为正方形，是直角三角形，且，2如图所示，平面】【训练1 平面，GPAPDCDPBEFG. 平面求证：.的中点，分别是线段 【答案】见解析ABCDABCDPAD ，且【解析】证明 平面为正方形，平面 ADABAP. ，两两垂直，CABAAxyz，0)(2，2，0)，0)(2，以0为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系，则，(0，0GEFDP0).

11、，(1，21)，(01，1)(0，2，0)，(0，0，2)，(0，0，EGEF ，2，1，0)，1)(1法一 (0，zyEFGnx 的法向量为，(，设平面)?yEFn，00? 则即?zxy，20?EGn，0EFGzn 的一个法向量，0(1，令1)1，则为平面PBnnPBPB 0，(2，02)，EFGPBEFGPB. 平面，?平面FEPB ，1，2)，0)(0，法二 0(2，tFGPBFGsFE ，(1，1，1).设ts 1)，(0，10)，(1，10即(2，2)t，2?st?，0ts2. 解得?t，2FGFEPB 2，2FGFEPBFGFE. 共面与，不共线，与又 EFGPBPBEFG. ?平

12、面平面， 利用空间向量证明垂直问题考点二 CDPBPCBCDABCDABCABBCP，的底面是直角梯形，90，22】 如图所示，已知四棱锥【例ABCDPBC 侧面证明：底面. BDPA ；(1)PABPAD. 平面平面(2) 【答案】见解析POOBC 【解析】证明 (1)取，连接的中点，PBCABCDPBC 平面底面为等边三角形，ABCDPO. 底面zOPBCBCOxOABy轴，所在直线为为坐标原点，以所在直线为平行的直线为轴，过点以轴，的中点与. 建立空间直角坐标系，如图所示 POBCCDAB3. 21，则，不妨设PDAB3). 00)，(0，(1，2，0)，(1，0，0)，(1，1，PAB

13、D3). 2(1，1(2，0)，PABD ，3)0(2)1(1)(2)0(BDPABDPA. ，?13?MPAMDM. (2)取，连接的中点，则，1， ?22?33?PBDM 3)，(10，0， ?2233PBDM 03)100(， 22 PBDMPBDM. ，即33PADM(3)10(2)0， 22DMPADMPA. ，即PAPBPDMPAB. ，又平面DMPADPADPAB. ，平面?平面平面【规律方法】 (1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键. (2)用向量证明垂直的方法 线线垂直：证明两直线所在的方向

14、向量互相垂直，即证它们的数量积为零. 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示. 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. ABCABCDCC的中为(底面为正三角形的直三棱柱)的所有棱长都为2，】【训练2 如图所示，正三棱柱1111ABABD. .求证：平面点11 【答案】见解析mBDmA， 设平面的方向向量为由共面向量定理，则存在实数内的任意一条直线.【解析】证明 法一1BDBAm. ，使1cbacacbcabBBaBCbBA，以它们为202，令，显然它们不共面，并且|1 空间的一个基底，1cABacBDabBAa ，则，

15、 1121?cbamBABD ， 1?21?caaABmcb () 1?21?mAB，结论得证. 故4420. 1?2 AOBCO. 的中点 如图所示，取，连接法二 ABC 因为为正三角形，BCAO. 所以BBCCABCABCABC ，平面因为在正三棱柱中，平面11111BAOBCC. 平面所以11zCOOOBOOyOAxB 的中点所在直线为，以轴、为原点，分别以轴、取，轴建立空间直角坐标系，1111ADBA ，3)(0，1，1，0)，0(0，2，3)，则0)(1，0，(1B0). (1，2，1zABDnxy 设平面)，的法向量为，(，1BDBA0). ，11，2，3)，(2(1BDnBAn

16、，因为1?BAn，0?zyx，3201? 故?yx，20?BDn0zxy ，2，令31，则BDnA 的一个法向量，3)故为平面(1，21nABnABAB ，2，3)，所以，所以而(1111BDABA. 故平面11 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题 考点三 与平行有关的探索性问题1 角度CAABCCAABCDBDACCAA平面的所有棱长都等于 13【例】如图，棱柱2均为和60，平面，1111111ABCD. AABD (1)求证：；1PBPDACCCP. 平面，若存在，求出点，使的位置，若不存在，请说明理由(2)在直线上是否存在点111 【答案】见解析AOAAACOAAOAAAOBDACO

17、BD ，60，在1，中，设与交于点，则2，连接【解析】(1)证明 1111 222AOAAAOAOAA ，cos 6032111222AAAOAO ，11AOOA. 1ABCDOCACACCCABCDAACCABCDAOAAAA. ，平面，且平面平面?平面平面由于平面11111111BzAOBOCOAxy，1以3，所在直线分别为(轴、，轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则0)(01CCDA3). 2，3)，0，0)，(0，10)，(0(，30，0)，(00，11AABD ，3)，1由于，(，230，0)，(01BDAA 10，30(023)01AABDBDAA. ，即11CBPDACCP

18、平面，使(2)解 假设在直线上存在点，111zyzxyCCCPPx3). )，则(，1，(0)设，(，11BPP). (3，13，从而有(0，13，)，?CAn，131?CnDA 平面，则设131?DAn，13DAAC ，0)2(0又，3)，0，3(111 y，20?3?zynx ，设，则()3333?zx，30333CBPDAn 平面，因为，(1，0，取1)131BPnBPn ，133则0，即，得33CPCCCPC. 的延长线上，且即点在11 与垂直有关的探索性问题角度2 ADBCABADEFABCD2. 4所在的平面互相垂直，已知，【例32】 如图，正方形所在平面和等腰梯形 BFAC ；(

19、1)求证：BPBCEFBEPPAC. 若不存在，请说明理由(2)在线段？若存在，上是否存在一点，使得平面求出平面的值； PE 【答案】见解析ADEFAFADAFADEFABCDADEFABCDAD ，平面， 【解析】(1)证明平面?平面，平面平面ABCDAF. 平面ACABCDAFAC. 平面，?CHBHAAHBCAHH 3，过，作3，于，则1222ABACABACACBC 23，FABAFABAAC 平面，BFFABACBF. ，?平面ACAFAB. 两两垂直由(1)知，.(2)解 存在AyACAFxzABA的方向分别为轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系轴，以为坐标原点，xyz ，E

20、ABC2). ，3，1(，0)，32，(0，0)，0，(2，0)，0，(0则 BPEPBBEP，不与点，重合，设满足题意，则易知点0假设在线段，则上存在一点 PE?322?P. ， ?111zmxyPAC). (设平面，的法向量为，?232?APAC， 由，23，0)(0， ?111223?zxmyAP，0 111? 得?yACm，023y，0?2?zx 令1，则，即2 2xz，? ?22?PACm，1，0. 所以为平面的一个法向量 ?2?3?BCEFn. 的一个法向量为平面同理，可求得1，1?32BCEFPACmn 平面时，平面，0，即当 3BP2P. 故存在满足题意的点，此时 PE3 解决

21、立体几何中探索性问题的基本方法【规律方法】 . 或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理(1)通常假设题中的数学对象存在(zxy，如)，；坐标平面内的点其中一个坐标为，0探索性问题的关键是设点：空间中的点可设为(2)(ABzzxOyxy上；直线(线段，如(0轴上的点为，0，)面上的点为(0，0)；坐标轴上的点两个坐标为PAPPAB. 的点，可设为，表示出点的坐标，或直接利用向量运算ADABADPDPDABCDABCDPPADPAPAAB，21 3【训练】如图，在四棱锥中，平面平面，CDAC5. PABPD (1)求证：；平面AMPCDBMPAM. 平面(2)在棱的值；若不存在，说明理由上是否

22、存在点？若存在，求，使得 AP 【答案】见解析ADADABPADABCDPADABCD ，平面【解析】(1)证明 因为平面，平面，平面PDPADABAB. ，所以所以平面PABPDPDPAABPAA. ，所以又，平面COPOADO. 的中点，连接(2)解 取ADPOPAPD. 因为，所以ABCDPOPADPAD ，平面因为，?平面平面ABCDPO. 所以平面COCOABCDPO. 因为，所以?平面ADACCDCO. 因为，所以PCDBOxyzA，1，0)，(0(1，1，0)，(2，0，0)，(0如图，建立空间直角坐标系，.由题意得，(01，0)1). ，0 APPAAMM. 1，使得设是棱0，

23、上一点，则存在BMM). ，)，1(，因此点，(01PCDBMPCDBM ，所以要使平面，平面因为?nBM 2)0，)(1，即则0(121. 解得 4 PAMBMPCD，上存在点平面，使得所以在棱 AM1此时. AP4【反思与感悟】 1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想. 2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)建立立体图形与空间向

24、量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题. 3.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：(1)有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直. 【易错防范】 1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的aba，只需证明向量一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线b(R)即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行

25、，仍需强调直线在平面外. 2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标. 【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题 1.若直线l的一个方向向量为a(2，5，7)，平面的一个法向量为u(1，1，1)，则( ) A.l或l? B.l 斜交 与D.l C.l?A 【答案】 A. .故选?，所以au，故l或l 【解析】由条件知au21517(1)0cab) ，(20，4)(4，62)，则下列结论正确的是( ，已知2.(231)cbcbcaaa B.A.， ，bcaa 以上都不对D. ，C. C 【答案】 caac ，2(23，

26、1)【解析】 2(4，6，2)bbaa. 3)0140又，22(CDEABCDABCE) 与平面 的位置关系是，则直线( 3.若 平行相交 B.A. 平行或在平面内C.在平面内 D.D 【答案】 CECDCEABABCD. ，【解析】 共面CDEAB. 的位置关系是平行或在平面内则与平面PMn中，在平面，2)，平面(6，3，的一个法向量为6)内有一点4.已知平面，则下列点(1，1) 内的是( PP1) ，2(，3) ，B. A.0(2，3PP4) (3，30) 4，D.，C. (4，A 【答案】MP 1)，(1，4A【解析】 逐一验证法，对于选项nnMPMP 01266，P. 点在平面内，同理

27、可验证其他三个点不在平面内a2MNANMABANaMDBAABCDCAC，则和上的点，如图所示，在正方体5.中，棱长为，分别为1111113CBBC) 与平面的位置关系是 ( 11 B.平行A.斜交 MNBBCC D.在平面C.垂直 内11B 【答案】a2ANAM 建立如图所示的空间直角坐标系，由于 【解析】，13 aaaaaa2222?aa?MNMN，0，. ，则 ?333333CCDBBC 平面，又1111CBBCaCD. 的一个法向量所以0)(0，为平面，1111DMNCMNCD 因为，所以，01111CBBCCCMNMNBB. 平面?平面，所以又1111 二、填空题BPyBCBPxABBCzAB平，