届高考数学第七篇立体几何与空间向量专题76利用空间向量证明平行与垂直练习.docx
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届高考数学第七篇立体几何与空间向量专题76利用空间向量证明平行与垂直练习
专题7.6利用空间向量证明平行与垂直
【考试要求】
1.理解直线的方向向量及平面的法向量；
2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；
3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理；
4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；
5.能用向量方法解决点到平面、相互平行的平面的距离问题；
6.并能描述解决夹角和距离的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
【知识梳理】
1.直线的方向向量和平面的法向量
ala为直线的有向线段所在直线与直线
（1）直线的方向向量：
如果表示非零向量平行或重合，则称此向量l的方向向量.
llaa叫做平面α的方向向量的法向量
（2）平面的法向量：
直线，则向量⊥α，取直线.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
ll的方向向量分别为直线，21nn，21
ll∥12
nnnn?
λ∥＝2121
ll⊥12
nnnn0·⊥?
＝2211
ln，的方向向量为直线平面m的法向量为α
lα∥
mnnm0?
⊥＝·
l⊥α
mnmn∥λ?
＝
平面α，β的法向量分别为nm，
α∥β
mmnn＝?
λ∥
α⊥β
mmnn0
·⊥?
＝
3.异面直线所成的角
a，bll的方向向量，则设分别是两异面直线，21
ab与β的夹角
ll所成的角θ与21
范围
）（0，π
π?
?
?
?
，0?
?
2
求法
ab·＝βcosab||||
ab·|||cosβ|＝θcos＝ba||||?
4.求直线与平面所成的角
lanla，〈|cos＝θsin，则θ所成的角为α与平面，直线的法向量为α，平面的方向向量为设直线
an|·|n.＝〉|
na||||5.求二面角的大小
→→ABCDllABCD〉＝〈.
－β的两个面内与棱
（1）如图①，，，垂直的直线，则二面角的大小是二面角α－θ
nnl－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小
（2）如图②③，θ，分别是二面角α－满足|cos21nnnn的夹角（或其补角|，二面角的平面角大小是向量|θ＝|cos〈）.，与〉21216.点到平面的距离
→BAAB到法向量的投影，求向量到平面距离基本思路：
确定平面法向量，在平面内取一点用向量方法求点→ABn|·|nBd＝.
到平面α.如图平面α的法向量为，点的距离向量，投影向量的长度即为所要求的距离
n||【微点提醒】
1.平面的法向量是非零向量且不唯一.
2.建立空间直角坐标系要建立右手直角坐标系.
an所成角的余弦值的绝对值，即sinθθ的正弦值等于直线的方向向量＝与平面的法向量|cos3.线面角anan〉，|cos〈|.
，θ〉|，不要误记为cos＝〈nn，，β的法向量4.二面角与法向量的夹角：
利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α21nn的夹角是相等，还是互补.，时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量21【疑误辨析】
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）直线的方向向量是唯一确定的.（）
aa∥α.（）α
（2）若直线的方向向量和平面的法向量平行，则）
.（两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角（3）．
ππ?
?
?
?
?
?
?
?
，00，，）二面角的范围是[0，，直线与平面所成角的范围是（4）两异面直线夹角的范围是π].（
?
?
?
?
22（4）√（3）×【答案】
（1）×
（2）×直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；【解析】
（1）.
两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角或其补角α；（3）
（2）a⊥【教材衍化】nn）则（－3，1，－4）2改编）已知平面α，β的法向量分别为5）＝（2，3，，，＝（练习2.（选修2－1P10421⊥βA.α∥βB.αβ相交但不垂直D.以上均不对C.α，C
【答案】
nnnn.
·相交但不垂直＝－23≠0，∴α，【解析】∵β≠λ，且2112nmmnl〉＝〈，23.（选修－1P112A4改编）已知向量α，的方向向量和法向量，若分别是直线cos和平面1l）与α所成的角为（－，则
2B.60°C.120°D.150°A.30°
A
【答案】1lmmnnα，所成的角为〉＝120°，所以直线【解析】由于cos〈30°.，，所以〈〉＝－与
2【真题体验】BDCDBCDaABABCDA）的距离为的棱长为－（，则平面正方体4.（2019·天津和平区月考）与平面111111132aaaaB.3C.A.2D.33D
【答案】zDADABACDDCyDDx轴建立空间轴、为坐标原点，，，所在直线分别为显然【解析】轴、⊥平面，以1111→aaAaanaDABaBBAa，0）0）0（直角坐标系，则平面的一个法向量为＝，－，），（，，，（，，，＝0），－（0，11→nBA3||·ad.
＝则两平面间的距离＝
n3||
，42，－，－2），平面β的一个法向量为（－（15.（2018·北京朝阳区检测）已知平面α的一个法向量为，2kk）
（，若）α∥β，则等于2
D.－A.2B.－4
C.4
C
【答案】
22－1k4.
【解析】因为α∥β，所以＝＝，所以＝
k4－－2nla，则直4），0的法向量为，－＝（－）6.（2019·烟台月考若直线2的方向向量为0＝（1，，2），平面αl______.与平面α线的位置关系为l⊥α【答案】
1lna.
，所以＝－α因为【解析】⊥
2【考点聚焦】利用空间向量证明平行问题考点一
BMADPBDBCDABCDADBCCDADM的的中点，，2是，＝2，如图，在四面体【例1】＝中，⊥平面是，⊥2QCAQQAC.
＝在线段上，且中点，点3
BCDPQ.证明：
∥平面【答案】见解析zyODOPOBDO轴的正半轴，建，所在射线分别为，以为原点，，法一【解析】证明如图，取的中点xyzO.
立空间直角坐标系－
DAB0）.2，，，2），（02，－，0），（02由题意知，（0，yCx0）.设点的坐标为（，，00→→QCAQ，3＝因为
?
?
3312?
?
Q.
所以yx，＋，
00?
?
4442MADM1）.（0因为，为2的中点，故，1?
?
?
?
PPBM，0，0又的中点，故为，
?
?
2?
?
323→?
?
PQ.
＝所以yx0，，＋
00?
?
444→aBCDaPQ0.·＝＝（0，0，1）又平面，故的一个法向量为BCDPQ平面又，?
BCDPQ.
∥平面所以CBOFACDFDFFC的坐标，，同法一建立空间直角坐标系，写出点3法二在线段，上取点，连接，使得，＝yCx0）.
坐标为（设点，，001→→yFxCFCD坐标为（0）∵，＝，则，设点，
41yxxxyy0），－2，－－＝，0）（－，（，
000043?
xx，＝?
04?
?
332→?
?
?
OF∴＝∴yx0，＋，
00?
?
44432?
yy?
，＝＋
044?
?
323→?
?
PQ，＝又由法一知yx0，，＋
00?
?
444→→OFPQPQOF.
∴，∴＝∥PQBCDOFBCD，平面，?
又?
平面PQBCD.∥平面∴【规律方法】
（1）恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.
（2）证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.
PADABCDABCDPADPAADEF，，为正方形，△是直角三角形，且，＝＝2如图所示，平面】【训练1⊥平面，GPAPDCDPBEFG.
∥平面求证：
.的中点，，分别是线段．
【答案】见解析ABCDABCDPAD，且【解析】证明∵平面为正方形，⊥平面
ADABAP.
，∴两两垂直，CABAAxyz，，0）（2，2，0），0）（2，以0为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系－，，则，（0，0GEFDP0）.
，（1，21），，（01，1）（0，2，0），（0，0，2），，（0，0，→→EGEF，，2，－1，0），1）＝（1法一∴＝（0，zyEFGnx的法向量为，＝（，，设平面）→?
?
yEFn，，0·＝＝0?
?
?
则即?
zxy，→＝＋20－?
?
?
?
EGn，＝0·EFGzn的一个法向量，0（1，，令1）＝1，则为平面＝→→→PBnnPBPB0，∴，－（2，02），∴，·⊥∵＝＝EFGPBEFGPB.
∥平面，∴∵?
平面→→FEPB，1，，－2），0）＝（0，－法二0＝（2，→→→→tFGPBFGsFE，＝＋（1＝，1，－1）.设ts1），－，（0，－10）＋，（1，10即（2，，－2）＝t，2＝?
?
st?
，－＝0ts2.＝∴解得＝?
?
t，＝－－2→→→FGFEPB2∴，＝2＋→→→→→FGFEPBFGFE.
共面与，不共线，∴与又∵．
EFGPBPBEFG.?
平面∥平面，∴∵利用空间向量证明垂直问题考点二
CDPBPCBCDABCDABCABBCP，的底面是直角梯形，∠＝＝∠＝90°，22】如图所示，已知四棱锥＝－＝＝【例ABCDPBC侧面证明：
⊥底面.
BDPA；⊥
（1）PABPAD.平面⊥平面
（2）【答案】见解析POOBC【解析】证明
（1）取，连接的中点，PBCABCDPBC∵平面⊥底面为等边三角形，，△ABCDPO.
∴⊥底面zOPBCBCOxOABy轴，所在直线为为坐标原点，以所在直线为平行的直线为轴，过点以轴，的中点与.
建立空间直角坐标系，如图所示
POBCCDAB3.
21，则，＝＝不妨设＝＝PDAB3）.00），，（0∴，（1，－2，0），（1，0，0），（－1，－1，→→PABD3）.2＝（1，－∴1＝（－2，－，0），，－→→PABD，3）＝∵·0＝（－2）×1＋（－1）×（－2）＋0×（－→→BDPABDPA.
⊥∴⊥，∴?
?
13?
MPAMDM.
（2）取，连接的中点，则，1，－
?
?
22?
?
33→→?
?
PBDM3），－∵＝，，，＝（10，0，
?
?
2233→→PBDM03）∴·×1＋0×0＋＝×（－＝，
22．
→→PBDMPBDM.
⊥∴，即⊥33→→PADM＋×（－3）＝×1＋0×（－2）0∵，·＝
22→→DMPADMPA.
∴，即⊥⊥PAPBPDMPAB.∩，∴＝又∵⊥平面DMPADPADPAB.，∴平面?
平面⊥平面∵【规律方法】
（1）利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.
（2）用向量证明垂直的方法
①线线垂直：
证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零.
②线面垂直：
证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示.
③面面垂直：
证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.
ABCABCDCC的中为（底面为正三角形的直三棱柱）的所有棱长都为－2，】【训练2如图所示，正三棱柱1111ABABD.
.求证：
⊥平面点11
【答案】见解析mBDmA，λ设平面的方向向量为由共面向量定理，则存在实数内的任意一条直线.【解析】证明法一1→→BDBAm.
＋μ，使μ＝λ1→→→cbacacbcabBBaBCbBA，以它们为202，·令，＝，＝＝＝，·＝，显然它们不共面，并且|·|＝|＝||＝|＝1空间的一个基底，1→→→cABacBDabBAa，＝＝＋，则＝，＋－
1121?
?
→→?
?
cbamBABDμλ＋＝λμ＋λ＝＋μ，＋
1?
?
21?
?
?
?
→?
?
?
?
caaABmcbμλ＋·（＝λ－）·＋μ＋
1?
?
?
?
21?
?
→?
?
mABμ＋λ，结论得证.
故＝4＝4μ－2－λ0.⊥
1?
?
2．
AOBCO.
的中点如图所示，取，连接法二
ABC因为△为正三角形，BCAO.
⊥所以BBCCABCABCABC，－⊥平面因为在正三棱柱中，平面11111BAOBCC.
⊥平面所以11→→→zCOOOBOOyOAxB的中点所在直线为，以轴、为原点，分别以轴、取，，轴建立空间直角坐标系，1111ADBA，3）（0，－1，1，0），0（0，2，3），则0）（1，0，，，（1B0）.
（1，2，1zABDnxy设平面），的法向量为，＝（，1→→BDBA0）.
，11，2，，3），＝（－2－＝（1→→BDnBAn⊥，，⊥因为1→?
?
BAn，＝·0?
zyx，＝＋－3＋201?
?
?
故?
→yx，＝＋－20?
?
BDn0·＝zxy，＝－2，令3＝1，则＝BDnA的一个法向量，，－3）故为平面＝（1，21→→→nABnABAB，2，，－3），所以＝∥，所以而（1＝111BDABA.
故⊥平面11用空间向量解决有关位置关系的探索性问题考点三
与平行有关的探索性问题1角度CAABCCAABCDBDACCAA⊥平面的所有棱长都等于13【例－】如图，棱柱－2均为和∠60°，平面，∠1111111ABCD.
AABD⊥
（1）求证：
；1PBPDACCCP.∥平面，若存在，求出点，使的位置，若不存在，请说明理由
（2）在直线上是否存在点111【答案】见解析AOAAACOAAOAAAOBDACOBD，＝60°，，在△1，中，设∠与交于点＝，则2⊥，连接＝【解析】
（1）证明1111
222AOAAAOAOAA·，cos60°＝＝＋3∴－2111222AAAOAO＋∴，＝11AOOA.
∴⊥1ABCDOCACACCCABCDAACCABCDAOAAAA.，⊥平面，∴，且平面⊥平面?
∩平面平面由于平面＝11111111BzAOBOCOAxy，，－1以3，，，所在直线分别为（轴、，轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则0）（01CCDA3）.2，3），0，0），，（0，10），（0（，－30，0），，（00，，11→→AABD，3），1由于，＝（－，230，0），（0＝1→→BDAA＋1×0＋，3＝0×（－×0＝23）·01→→AABDBDAA.
∴⊥⊥，即11CBPDACCP∥平面，使
（2）解假设在直线上存在点，111→→zyzxyCCCPPx3）.），则（，，－1，（0）＝设λ＝λ，（，，，11→BPP）.λ（－3，1＋λ3，＋从而有（0，1λ3，λ），＝→?
?
CAn，⊥131?
CnDA⊥平面，则设131→?
?
DAn，⊥13→→DAAC，0）2（0又＝，，，3），0，3（＝111．
y，＝20?
3?
zynx，，设，则＝（）3333?
zx，＝30＋333CBPDAn∥平面，因为，（1，0，－取1）＝131→→BPnBPn，＝－13－3则λ⊥＝0，即，得λ·＝－33CPCCCPC.的延长线上，且即点＝在11与垂直有关的探索性问题角度2
ADBCABADEFABCD2.
＝4所在的平面互相垂直，已知，－【例32】如图，正方形＝所在平面和等腰梯形＝
BFAC⊥；
（1）求证：
BPBCEFBEPPAC.若不存在，请说明理由
（2）在线段？
若存在，上是否存在一点，使得平面求出⊥平面的值；
PE【答案】见解析ADEFAFADAFADEFABCDADEFABCDAD⊥，∩平面，＝【解析】
（1）证明∵平面?
⊥平面，，平面平面ABCDAF.
∴⊥平面ACABCDAFAC.
⊥平面∵，∴?
CHBHAAHBCAHH＝3，过，作⊥3，于＝，则＝1222ABACABACACBC∴2＝3，∴⊥＋，＝，∴FABAFABAAC＝⊥平面∩，∴，∵BFFABACBF.
，∴?
平面∵⊥ACAFAB.
两两垂直由
（1）知，，，.
（2）解存在→→→AyACAFxzABA－的方向分别为轴，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系轴，以为坐标原点，，xyz，EABC2）.
，3，1－（，0），32，（0，0），0，（2，0），0，（0则．
BPEPBBEP，不与点λ，重合，设满足题意，则易知点>0＝λ假设在线段，则上存在一点
PE?
?
λ3λ2λ－2?
?
P.，，
?
?
λλ1λ＋1＋1＋zmxyPAC）.＝（设平面，的法向量为，?
?
λ23λ2λ－→→?
?
APAC＝，由，23，，0）（0＝，，
?
?
λ＋1＋λ11＋λλλ22－λ3?
→zxmyAP，0＋＝＝＋·
λ＋λ11＋λ1＋?
得?
→yACm，·＝0＝23y，＝0?
?
2λ－?
zx＝令＝1，则，即2λ－
λ2xz，＝?
?
λ22λ－?
?
?
?
PACm，1，0.
＝所以为平面的一个法向量
?
?
λ2?
?
3?
?
BCEFn.＝的一个法向量为平面同理，可求得1，，1?
?
32BCEFPACmn⊥平面时，平面·，＝0，即λ＝当
3BP2P.
故存在满足题意的点＝，此时
PE3解决立体几何中探索性问题的基本方法【规律方法】
.
或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理
（1）通常假设题中的数学对象存在（zxy，如），；②坐标平面内的点其中一个坐标为，0探索性问题的关键是设点：
①空间中的点可设为
（2）（ABzzxOyxy上；④直线（线段，如（0轴上的点为，0，））面上的点为（0，，0）；③坐标轴上的点两个坐标为→→PAPPAB.
的点，可设为，表示出点＝λ的坐标，或直接利用向量运算ADABADPDPDABCDABCDPPADPAPAAB，＝213【训练】如图，在四棱锥－中，平面⊥平面，⊥，＝，⊥，＝，CDAC5.
＝＝
PABPD
（1）求证：
；⊥平面AMPCDBMPAM.∥平面
（2）在棱的值；若不存在，说明理由上是否存在点？
若存在，求，使得
AP【答案】见解析ADADABPADABCDPADABCD，∩平面【解析】
（1）证明因为平面，⊥平面＝，平面⊥PDPADABAB.
，所以所以⊥⊥平面PABPDPDPAABPAA.，所以又＝⊥，⊥平面∩COPOADO.的中点，，连接
（2）解取ADPOPAPD.
＝⊥因为，所以ABCDPOPADPAD，平面因为，?
平面⊥平面ABCDPO.
所以⊥平面COCOABCDPO.因为，所以?
平面⊥ADACCDCO.
因为，所以＝⊥PCDBOxyzA，，－1，0），（0（1，1，0），（2，0，0），（0如图，建立空间直角坐标系，－.由题意得，，（01，0）1）.
，0
→→APPAAMM.1]，使得λ设＝是棱∈[0，上一点，则存在λ→BMM）.λ，λ），1＝（－，－，因此点，（01－λλPCDBMPCDBM，所以要使平面，∥平面因为?
→nBM＝2）0，，）·（1，－，，－－，即则·＝0（1λλ21.
解得λ＝
4．
PAMBMPCD，上存在点∥平面，使得所以在棱
AM1此时＝.
AP4【反思与感悟】
1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想.
2.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：
一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；（3）根据运算结果的几何意义来解释相关问题.
3.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：
（1）有三条两两垂直的直线；
（2）有线面垂直；（3）有两面垂直.
【易错防范】
1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的aba，只需证明向量一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线∥b（λ∈R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.＝λ2.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.
【分层训练】
【基础巩固题组】（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1.若直线l的一个方向向量为a＝（2，5，7），平面α的一个法向量为u＝（1，1，－1），则（）
A.l∥α或l?
αB.l⊥α
斜交αα与D.lC.l?
A
【答案】
A.α.故选?
，所以a⊥u，故l∥α或l＝【解析】由条件知a·u＝2×1＋5×1＋7×（－1）0cab），，，＝（20，4）－＝（4，－62），则下列结论正确的是（，，，－－已知2.＝（231）cbcbcaaaB.A.∥，∥∥⊥，bcaa以上都不对D.⊥，∥C.
C
【答案】
caac，∴，∥，－＝2（－23，1）＝【解析】∵2＝（－4，－6，2）bbaa.
－3）×0＋1×4＝0又，∴·⊥＝－2×2＋（→→→CDEABCDABCE）与平面＝λ＋μ的位置关系是，则直线（3.若平行相交B.A.平行或在平面内C.在平面内D.D
【答案】
→→→→→→CECDCEABABCD.，∴，＋μ，【解析】∵＝λ共面CDEAB.
的位置关系是平行或在平面内则与平面PMn中，在平面，2），平面＝（6，－3，α的一个法向量为6）内有一点4.已知平面α，则下列点（1，－1）α内的是（
PP1），2（－，3），B.A.0（2，3PP4）
（3，－30）4，D.，C.（－4，A
【答案】→MP1），，，（1＝，4A【解析】逐一验证法，对于选项→→nnMPMP⊥0∴12·＝6－＋6＝，∴，P.
α∴点在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面内a2MNANMABANaMDBAABCDCAC，则＝和上的点，如图所示，在正方体5.－中，棱长为，＝，分别为1111113CBBC）
与平面的位置关系是（11
B.平行A.斜交
MNBBCCD.在平面C.垂直内11B
【答案】a2ANAM＝建立如图所示的空间直角坐标系，由于【解析】＝，13．
aaaaaa2222?
?
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?
?
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→aa?
?
?
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?
MNMN，，，，0－，，.
＝，，则
?
?
?
?
?
?
333333CCDBBC⊥平面，又1111→CBBCaCD.的一个法向量所以0）＝（0，为平面，1111→→→→DMNCMNCD因为⊥·，所以，＝01111CBBCCCMNMNBB.∥平面?
平面，所以又1111二、填空题→→→→→BPyBCBPxABBCzAB⊥平，
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