运筹学课后习题二要点.docx

1、运筹学课后习题二要点习题二2.1某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于80单位，B不少于150单位, C不少于180单位.此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分. 已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表 2-22所示.（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A , B, C三种营养成分试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂 商能获得最大利益，建立数学模型.表 2-22含量营养成分食物* *四五六需要量A13251440811 80B24930251215 150C187

2、2134100 180食物单价（元/100g）0.50.40.80.90.30.2【解】（1）设Xj为每天第j种食物的用量，数学模型为min Z = 0 5jl + Mx2 + 0 8z5 + 0 9巧 + 0 + 0 2e13xj +25xa +14 也 +4Q码 + 8码 +llx6 8024咼十 + 30z3 + 25z4 +12心十 15x6 1501 跖 +7xa + 21x3 +34x4 +10巧 180町、孟旷毛、兀r 0(2)设，y为第i种单位营养的价格，则数学模型为max w = SOjj 4-150y3 +180y513+2472+18 0.525+9+? 0.414” +

3、30兀 +21 乃 0.8=40 + 25+ 34y3 0.98+122 +10乃 22西 +3xa 7血,xa 0(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解; 利用公式CbB1求原问题的最优解；(4)利用互补松弛条件求原问题的最优解.【解】(1)原问题的对偶问题为”无约東：儿刘，0,几兰6 0max vp = 4y14- 2y2 + 7”乃+乃+ 2乃兰12空伽+ 5旳+3必乞20yjQj = 12,3容易看出原问题和对偶问题都有可行解，女口 X = (2, 1)、Y = (1 , 0, 1)，由定理2.4知都有最优解。(2)对偶问题最优单纯形表为C(

4、j)42700R. H. S.BasisC(i)y1y2Ay4y5y370-1/514/5-1/528/5y1417/50-3/52/54/5C(j)-Z(j)0-11/50-16/5-1/5w=42.4对偶问题的最优解 Y = (4/5,0,28/5)，由定理2.6，原问题的最优解为 X=(16/5 ,1/5), Z= 42.4(4)由y1、y不等于零知原问题第三个约束是紧的，解等式珂+4亏=42x + 3x2 =7得到原问题的最优解为 X=(16/5 , 1/5)。2. 4证明下列线性规划问题无最优解min Z = xL - 2x2 - 2x32码+冷一 2心=3 2 01內0,无约東证明

5、：首先看到该问题存在可行解，例如 x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为max神=物+62+21-2” +3y2 = -2K之0 J无约東由约束条件知 y1 0知y1 1，对偶问题无可行解，因此原问题 也无最优解(无界解)。2. 5已知线性规划+ 5x2 + 码 15羽 + 6兀 +10j3 20 4 2iV十殆童2Xj 0, - 0【解】将模型化为min Z - 3码 +4x3_两_问+禺二一43400bXbCbX1X2X3X4X30-1-110-4X4021012Cj Zj3400X1311-104X400-121-6Cj Zj0130X131011-2X2401-2-16Cj Zj0

6、051出基行系数全部非负，最小比值失效，原问题无可行解。 min 7 二 2西 +4x?2aj +3乜 10Tx + 3xj 15九乃王【解】将模型化为mixkZ 二 2尊+4巫I 2xl + 3x2 +x3 = 242奄 + 些=_1Q_X 3花 +阳=-15x.0J=172,3t 2* _2珂 + x2 - x3 +3x4 OJ = 1/- X【解】将模型化为min Z = 2xl + 3x2 +5码 + 6 兀 2x、 3兀3 -兀彳 + Xj = 2I -2xj +% - x3 +3盂* + 坷-_乡 亏 0,八1.,6Cj235600bXbCbX1X2X3X4X5X6X50-1-2-

7、3-410-2X60-21-1301-3Cj Zj235600X231/213/22-1/201X60-5/20-5/211/21-4Cj Zj1/201/203/20X23-11013/5-1/53/5-7/5X35101-2/5-1/5-2/58/5Cj Zj0001/58/51/5X121-10-13/51/5-3/57/5X3501111/5-2/51/51/5Cj235600bXbCbX1X2X3X4X5X6X50-1-2-3-410-2X60-21-1301-3Cj - Zj235600X500-5/2-5/2-11/21-1/2-1/2X121-1/21/2-3/20-1/23/

8、2Cj - Zj024901X2301111/5-2/51/51/5X12101-7/5-1/5-2/58/5Cj - Zj00223/54/53/57某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品 A、B、C,有关资料见表2-23.表 2-23每月可供原材料(Kg)ABC产品材料消耗原材料甲211200乙123500丙221600每件产品利润413(1)怎样安排生产，使利润最大.(2)若增加1kg原材料甲，总利润增加多少.(3) 设原材料乙的市场价格为 1.2元/Kg，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少，为什 么？(4)单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变.(5) 原材料分别单独在什么范

9、围内波动时，仍只生产 A和C两种产品.(6) 由于市场的变化，产品 B、C的单件利润变为3元和2元，这时应如何调整生产计划.(7) 工厂计划生产新产品 D，每件产品D消耗原材料甲、乙、丙分别为 2kg , 2kg及1kg ,每件产品D应获利多少时才有利于投产.【解】(1)设X1、X2、X3分别为产品A、B、C的月生产量，数学模型为maxZ = 4x +x2 +?也2码+1心+码 200+2xa + 3xs 5002两+心+两 0, 0, 0最优单纯形表:C(j)413000R.H.S.RatioXbCbX1X2X3X4X5X6X1411/503/5-1/5020X3303/51-1/52/50

10、160X60000-101400C(j)-Z(j)0-8/50-9/5-2/50Z=560最优解X= ( 20, 0, 160), Z=560。工厂应生产产品 A20件，产品C160种，总利润为560 丿元。9 2 n(2)由最优表可知，影子价格为 _ j ,故增加利润1.8元。因为y2=o.4，所以叫价应不少于 依据最优表计算得8-3 2, -1A：3 913屮1,6, CaCf-oo.y, 2,12罟期 乞4叭机叱他100P -400Ahet/OO, 100/00, 200,+).(6)只生产产品B 200件，总利润为600元。变化后的检验数为 01, 4=-2, 5=0。故X2进基出基,

11、得到最最优解 X=(0,200,0)，即C(j)432000R.H.S.RatioXbCbX1X2X3X4X5X6X1411/503/5-1/5020100X3203/51-1/52/50160800/3X60000-101400MC(j)-Z(j)010-200560X225103-10100MX33-301-210100100X60000-101400MC(j)-Z(j)-500-510X22211100200X40-301-210100X60000-101400C(j)-Z(j)-20-1-300设产品D的产量为X7,单件产品利润为 C7,只有当- -时才有利于投产。则当单位产品D的利润

12、超过4.4元时才有利于投产。&对下列线性规划作参数分析max Z = (3+2/z) + (5-咔43xj + 2花 18(1)h从 【解】卩=0时最优解X=(4,3,0);最优表:C(j)35000R. H. S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X13101004X250100.503X5000-3-110C(j)-Z(j)00-3-2.5027将参数引入到上表:C(j)3 + 2 35 3000R.H.S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X13 + 2 3101004X25 30100.503X5000-3-110C(j)-Z(j)003 23-2.5 + 0.5 3027当一

13、3-2 0及-2.5 + 0.5卩 0时最优基不变，有一1.5 卩 5。当卩 1.5时X3进基X1出基；卩5时X4进基X2出基，用单纯形法计算。参数变化与目标值变化的关系如下 表所示。FromToFromToLeav ingEn teri ngRan ge(Vector)(Vector)OBJValueOBJ ValueSlopeVariableVariable10527525X2X425M52M830-1.52719.55X1X34-1.5-M19.5M-3帀4 + ”z2 63xj +2xa 0卩=0时最优解X=(4,3,0) , Z = 27;最优表:max Z = 3x1-h 5x2C

14、(j)35000R. H. S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X13101004X250100.503X5000-3-110C(j)-Z(j)00-3-2.5027(2)【解】4T古二&f+护二6+0J8_-2b =月T +护#)=矿知+亍扩乂才_ 10 0_ 1 -=3+00.5 00_0_厂2-1 1一耳 41 _=3+0A_u_-5替换最优表的右端常数，得到下表。C(j)35000R.H.S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X13101004 +iX250100.503X5000卜3-115 iC(j)-Z(j)00-3-2.501卩4时冋题不可行，一 4W (1 0时X5

15、出基X3进基得到下表：C(j)35000R.H.S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X13100-1/31/34-2/3 iX250101/203X300011/3-1/351 /3C(j)-Z(j)000-3/2-1OW i w 6时为最优解。1 = 6时Z = 15。 1 6时X1出基X4进基得到下表：C(j)35000R.H.S.BasisC(i)X1X2X3X4X5X40-3001-1-12+2 iX253/21001/29- iX30101004+ iC(j)-Z(j)1 = 9时最优解X=(0, 0, 13, 6, 0), Z=0 ; i 9时无可行解。 综合分析如下表所示。FromToFromToLeav ingEn teri ngRan ge(Vector) (Vector)OBJ ValueOBJ ValueSlopeVariableVariable10027273X5X32062715-2X1X2369150-5X249InfinityIn feasible50-427153X16-4-Infinit yIn feasible