运筹学课后习题二要点.docx
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运筹学课后习题二要点
习题二
2.1某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于80单位，B不少于150单位,C不少于180单位.此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分.已知六种食物每百克
的营养成分含量及食物价格如表2-22所示.
（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费
最少的数学模型；
（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有
A,B,C三种营养成分•试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型.
表2-22
含量
营养成分
食物
*■
*
四
五
六
需要量
A
13
25
14
40
8
11
>80
B
24
9
30
25
12
15
>150
C
18
7
21
34
10
0
>180
食物单价（元/100g）
0.5
0.4
0.8
0.9
0.3
0.2
【解】
（1）设Xj为每天第j种食物的用量，数学模型为
minZ=05jl+Mx2+08z5+09巧+0+02^e
13xj+25xa+14也+4Q码+8码+llx6>80
24咼十+30z3+25z4+12心十15x6>150
1跖+7xa+21x3+34x4+10巧>180
町、孟旷毛、兀r>0
（2）设，y为第i种单位营养的价格，则数学模型为
maxw=SOjj4-150y3+180y5
13^+2472+18^<0.5
25^+9^+?
^<0.4
14”+30兀+21乃<0.8
=40^+25^+34y3<0.9
8^+12^2+10乃<0.3
llyL+15j5+^0.2
必必小工°
2.2写出下列线性规划的对偶问题
minxv-9”+6儿-纨+切+10兀
划1+6旳-些+凡+旳之弋
-2y^2y3=3
7i+»2—丹=6
_6”-旳+2乃二-7
对偶问题为：
2.3考虑线性规划
nunZ二12五+20x2
鼻1+4冷工4
Xj+5xa>2
2西+3xa>7
血,xa>0
（1）说明原问题与对偶问题都有最优解；
⑵通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解;⑶利用公式CbB「1求原问题的最优解；
（4）利用互补松弛条件求原问题的最优解.
【解】
（1）原问题的对偶问题为
”无约東：
儿刘，>0,几兰6^>0
maxvp=4y14-2y2+7”
乃+乃+2乃兰12
空伽+5旳+3必乞20
[yj^Qj=12,3
容易看出原问题和对偶问题都有可行解，女口X=（2,1）、Y=（1,0,1），由定理2.4知都有
最优解。
（2）
对偶问题最优单纯形表为
C（j）
4
2
7
0
0
R.H.S.
Basis
C（i）
y1
y2
A
y4
y5
y3
7
0
-1/5
1
4/5
-1/5
28/5
y1
4
1
7/5
0
-3/5
2/5
4/5
C（j）-Z（j）
0
-11/5
0
-16/5
-1/5
w=42.4
对偶问题的最优解Y=（4/5,0,28/5），由定理2.6，原问题的最优解为X=（16/5,1/5）,Z=42.4
（4）由y1、y不等于零知原问题第
三个约束是紧的，解等式
珂+4亏=4
2x}+3x2=7
得到原问题的最优解为X=（16/5,1/5）。
2.4证明下列线性规划问题无最优解
minZ=xL-2x2-2x3
2码+冷一2心=3
201內>0,^无约東
证明：
首先看到该问题存在可行解，例如x=（2,1,1），而上述问题的对偶问题为
max神=物+6
2^+^2<1
-2”+3y2=-2
K之0J无约東
由约束条件①②知y1<0,由约束条件③当y2>0知y1>1，对偶问题无可行解，因此原问题也无最优解（无界解）。
2.5已知线性规划
+5x2+码<5
5旺+6心+西兰63&+10光+忌三7內20,花2Q西无约東
【解】其对偶问题是：
minm=5jj4-6y3+7ys
71+5^+3.73>15
羽+6兀+10j3>20
<
7i+ya+?
3=5
XH0由原问题的最优解知，原问题约束③的松弛变量不等于零（X」）,X1、X3不等于零,
则对偶问题的约束①、约束③为等式，又由于•：
知y3=0；解方程
儿+”2=15川+乃二5
得到对偶问题的最优解Y=（5/2,5/2,0）;w=55/2=27.5
2.6用对偶单纯形法求解下列线性规划
（1）minZ=3x1+4xa+5巧\L+2x2+3
«2xl*2乃+x310如％”為NO
【解】将模型化为
minZ=3xt+4xj+5x3
-x1-2^_3码+為二一2
£_2画_2冷_码+冷=-10丐W1234上
对偶单纯形表：
Cj
3
4
5
0
0
Cb
Xb
Xi
X2
X3
X4
X5
b
0
X4
-1
-2
-3
1
0
-8
0
X5
[-2]
-2
-1
0
1
-10
C（j）-Z（j）
3
4
5
0
0
0
0X4
0
[-1]
—5/2
1
—1/2
—3
3X
1
1
1/2
0
—1/2
5
C（j）-Z（j）
0
1
7/2
0
3/2
0
5X
0
1
5/2
—1
1/2
3
3Xi
1
0
—2
1
—1
2
C（j）-Z（j）
0
0
1
1
1
b列全为非负，
最优解为
x=（2,3,
0）;Z=18
（2）minZ=+4叼
+^2>4«2iV]十殆童2
Xj>0,-0
【解】将模型化为
minZ-3码+4x3
_两_问+禺二一4
3
4
0
0
b
Xb
Cb
X1
X2
X3
X4
X3
0
[-1]
-1
1
0
-4
X4
0
2
1
0
1
2
Cj—Zj
3
4
0
0
X1
3
1
1
-1
0
4
X4
0
0
[-1]
2
1
-6
Cj—Zj
0
1
3
0
X1
3
1
0
1
1
-2
X2
4
0
1
-2
-1
6
Cj—Zj
0
0
5
1
出基行系数全部非负，最小比值失效，原问题无可行解。
⑶min7二2西+4x?
2aj+3乜<24
可+2x3>10
Tx+3xj>15
九乃王°
【解】将模型化为
mixkZ二2尊+4巫
I2xl+3x2+x3=24
2奄+些=_1Q
_X]—3花+阳=-15
x.>0J=172,3t<5
Cj
2
4
0
0
0
b
Xb
Cb
Xi
X2
X3
X4
X5
X3
0
2
3
1
0
0
24
X4
0
-1
-2
0
1
0
-10
X5
0
-1
[-3]
0
0
1
-15
Cj—Zj
2
4
0
0
0
X3
0
1
0
1
0
1
9
X4
0
-1/3
0
0
1
—2/3
0
X2
4
1/3
1
0
0
—1/3
5
Cj—Zj
2/3
0
0
0
4/3
最优解X=（0,5）;Z=20
（4）minZ-2^+3z2+5^+6z4
xL+2x:
+3陆+x4>2
*_2珂+x2-x3+3x4<-3
x;>OJ=1/-X
【解】将模型化为
minZ=2xl+3x2+5码+6兀
~2x、—3兀3-兀彳+Xj=^2
I-2xj+%-x3+3盂*+坷-_乡亏>0,八1.…,6
Cj
2
3
5
6
0
0
b
Xb
Cb
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X5
0
-1
[-2]
-3
-4
1
0
-2
X6
0
-2
1
-1
3
0
1
-3
Cj—Zj
2
3
5
6
0
0
X2
3
1/2
1
3/2
2
-1/2
0
1
X6
0
-5/2
0
[-5/2]
1
1/2
1
-4
Cj—Zj
1/2
0
1/2
0
3/2
0
X2
3
[-1]
1
0
13/5
-1/5
3/5
-7/5
X3
5
1
0
1
-2/5
-1/5
-2/5
8/5
Cj—Zj
0
0
0
1/5
8/5
1/5
X1
2
1
-1
0
-13/5
1/5
-3/5
7/5
X3
5
0
[1]
1
11/5
-2/5
1/5
1/5
Cj
2
3
5
6
0
0
b
Xb
Cb
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X5
0
-1
-2
-3
-4
1
0
-2
X6
0
[-2]
1
-1
3
0
1
-3
Cj-Zj
2
3
5
6
0
0
X5
0
0
[-5/2]
-5/2
-11/2
1
-1/2
-1/2
X1
2
1
-1/2
1/2
-3/2
0
-1/2
3/2
Cj-Zj
0
2
4
9
0
1
X2
3
0
1
1
11/5
-2/5
1/5
1/5
X1
2
1
0
1
-7/5
-1/5
-2/5
8/5
Cj-Zj
0
0
2
23/5
4/5
3/5
7•某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A、B、C,有关资料见表2-23.
表2-23
每月可供原材料
（Kg）
A
B
C
产
品
材料消耗
原材料
甲
2
1
1
200
乙
1
2
3
500
丙
2
2
1
600
每件产品利润
4
1
3
（1）怎样安排生产，使利润最大.
（2）若增加1kg原材料甲，总利润增加多少.
（3）设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少，为什么？
（4）单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变.
（5）原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产A和C两种产品.
（6）由于市场的变化，产品B、C的单件利润变为3元和2元，这时应如何调整生产计划.
（7）工厂计划生产新产品D，每件产品D消耗原材料甲、乙、丙分别为2kg,2kg及1kg,
每件产品D应获利多少时才有利于投产.
【解】
（1）设X1、X2、X3分别为产品A、B、C的月生产量，数学模型为
maxZ=4x}+x2+?
也
2码+1心+码<200
+2xa+3xs<500
2两+心+两<600
>0,^>0,^>0
最优单纯形表:
C（j）
4
1
3
0
0
0
R.H.S.
Ratio
Xb
Cb
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X1
4
1
1/5
0
3/5
-1/5
0
20
X3
3
0
3/5
1
-1/5
2/5
0
160
X6
0
0
0
0
-1
0
1
400
C（j）-Z（j）
0
-8/5
0
-9/5
-2/5
0
Z=560
最优解X=（20,0,160）,Z=560。
工厂应生产产品A20件，产品C160种，总利润为560丿元。
92n
（2）由最优表可知，影子价格为_■j,故增加利润1.8元。
因为y2=o.4，所以叫价应不少于依据最优表计算得
8
-3<^<2,-13<9
13
屮[1,6],CaCf-oo.y],^€[2,12]
—罟期乞4叭「机叱他<100P-400^et^/OO],^€[100/00],^€[200,+®）.
（6）
只生产产品B200件，总利润为600元。
变化后的检验数为01,4=-2,5=0。
故X2进基％出基,得到最最优解X=（0,200,0），即
C（j）
4
3
2
0
0
0
R.H.S.
Ratio
Xb
Cb
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X1
4
1
[1/5]
0
3/5
-1/5
0
20
100
X3
2
0
3/5
1
-1/5
2/5
0
160
800/3
X6
0
0
0
0
-1
0
1
400
M
C（j）-Z（j）
0
1
0
-2
0
0
560
X2
2
5
1
0
3
-1
0
100
M
X3
3
-3
0
1
-2
[1]
0
100
100
X6
0
0
0
0
-1
0
1
400
M
C（j）-Z（j）
-5
0
0
-5
1
0
X2
2
2
1
1
1
0
0
200
X4
0
-3
0
1
-2
1
0
100
X6
0
0
0
0
-1
0
1
400
C（j）-Z（j）
-2
0
-1
-3
0
0
⑺设产品D的产量为X7,单件产品利润为C7,只有当-＞■'-时才有利于投
产。
则当单位产品D的利润超过4.4元时才有利于投产。
&对下列线性规划作参数分析
maxZ=（3+2/z）^+（5-
［咔4
3xj+2花＜18
（1）h从°
【解】卩=0时最优解X=（4,3,0）;最优表:
C（j）
3
5
0
0
0
R.H.S.
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X1
3
1
0
1
0
0
4
X2
5
0
1
0
0.5
0
3
X5
0
0
0
-3
-1
1
0
C（j）-Z（j）
0
0
-3
-2.5
0
27
将参数引入到上表:
C（j）
3+23
5—3
0
0
0
R.H.S.
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X1
3+23
1
0
1
0
0
4
X2
5—3
0
1
0
0.5
0
3
X5
0
0
0
-3
-1
1
0
C（j）-Z（j）
0
0
—3—23
-2.5+0.53
0
27
当一3-20及-2.5+0.5卩＜0时最优基不变，有一1.5＜卩＜5。
当卩＜—1.5时X3进基
X1出基；卩＞5时X4进基X2出基，用单纯形法计算。
参数变化与目标值变化的关系如下表所示。
From
To
From
To
Leaving
Entering
Range
（Vector）
（Vector）
OBJ
Value
OBJValue
Slope
Variable
Variable
1
0
5
27
52
5
X2
X4
2
5
M
52
M
8
3
0
-1.5
27
19.5
5
X1
X3
4
-1.5
-M
19.5
M
-3
帀《4+”
z2<6
3xj+2xa<18-2//
每,xa>0
卩=0时最优解X=（4,3,0）,Z=27;最优表:
maxZ=3x1-h5x2
C（j）
3
5
0
0
0
R.H.S.
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X1
3
1
0
1
0
0
4
X2
5
0
1
0
0.5
0
3
X5
0
0
0
-3
-1
1
0
C（j）-Z（j）
0
0
-3
-2.5
0
27
（2）
【解】
"4"
T
古二&f+护二
6
+
0
J8_
-2
b=月T©+护#）=矿知+亍扩乂
才
_1
00_
_1-
=
3
+
0
0.50
0
_0_
厂2
-11
一耳
■■
4
'1_
=
3
+
0
A
_u_
-5
替换最优表的右端常数，得到下表。
C（j）
3
5
0
0
0
R.H.S.
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X1
3
1
0
1
0
0
4+i
X2
5
0
1
0
0.5
0
3
X5
0
0
0
卜3]
-1
1
—5i
C（j）-Z（j）
0
0
-3
-2.5
0
1卩<—4时冋题不可行，一4W（1<0时最优基不变。
（1=—4时Z=15。
2卩>0时X5出基X3进基得到下表：
C（j）
3
5
0
0
0
R.H.S.
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X1
3
1
0
0
-1/3
1/3
4-2/3i
X2
5
0
1
0
1/2
0
3
X3
0
0
0
1
1/3
-1/3
51/3
C（j）-Z（j）
0
0
0
-3/2
-1
OWiw6时为最优解。
1=6时Z=15。
③1>6时X1出基X4进基得到下表：
C（j）
3
5
0
0
0
R.H.S.
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X4
0
-3
0
0
1
-1
-12+2i
X2
5
3/2
1
0
0
1/2
9-i
X3
0
1
0
1
0
0
4+i
C（j）-Z（j）
1=9时最优解X=（0,0,13,6,0）,Z=0;i>9时无可行解。
综合分析如下表所示。
From
To
From
To
Leaving
Entering
Range
（Vector）（V
ector）
OBJValue
OBJValue
Slope
Variable
Variable
1
0
0
27
27
3
X5
X3
2
0
6
27
15
-2
X1
X2
3
6
9
15
0
-5
X2
4
9
Infinity
Infeasible
5
0
-4
27
15
3
X1
6
-4
-Infinity
Infeasible
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