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1、已经整理七升八暑期数学辅导全集第一讲 与三角形有关的线段欧阳光明（2021.03.07）知识点1、三角形的概念不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。三角形的表示方法三角形用符号“”表示，顶点是A,B,C的三角形，记作“ABC”三角形ABC用符号表示为ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几

2、种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+bc，b+ca，a+cb拓展：a+bc，根据不等式的性质得c-ba，即两边之差小于第三边。即a-bca+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A3cmB4cmC7cmD11cm【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a、b、c，a+bc，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【

3、例1】用一条长为18的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4的等腰三角形吗？为什么？【练习】1、三角形三边为3，5，3-4a，则a的范围是。2、三角形两边长分别为25cm和10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为。3、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为4、一个三角形周长为27cm，三边长比为234，则最长边比最短边长。5、等腰三角形两边为5cm和12cm，则周长为。6、已知：等腰三角形的底边长为6cm，那么其腰长的范围是_。7、已知：一个三角形两边分别为4和7，则第三边上的中线的范围是_。8、下列条件中能组成三角

4、形的是（）A、5cm, 7cm, 13cmB、3cm, 5cm, 9cmC、6cm, 9cm, 14cmD、5cm, 6cm, 11cm9、等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（）A、5，6 B、6，4C、7，2D、以上三种情况都有可能11、一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为（）A、4，6 B、4，6，8 C、6，8D、6，8，1011、ABC中，a=6x，b=8x，c=28，则x的取值范围是（）A、2x14B、x2 C、x14D、7x1412.指出下列每组线段能否组成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,

5、c=12 （4）a=5,b=5,c=613.已知等腰三角形的两边长分别为11cm和5cm，求它的周长。14.已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求这个三角形的腰长。15、已知等腰三角形一边长为24cm，腰长是底边的2倍。求这个三角形的周长。16、如图，求证：AB+BC+CD+DAAC+BD知识点3 三角形的三条重要线段三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）(2)高的叙述方法AD是ABC的高ADBC，垂足为D点D在BC上，且BDA=CDA=90度【练习】画

6、出、三个ABC各边的高,并说明是哪条边的高.AB边上的高是线段_ AB边上的高是线段_ AB边上的高是线段_BC边上的高是_ BC边上的高是_ BC边上的高是_AC边上的高是_ AC边上的高是_ AC边上的高是_辨析 高与垂线有区别吗？_探究 画出图1中三角形ABC三条边上的高，看看有什么发现？如果ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画【结论】_三角形的中线（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。【探究2】如图，AD为三角形ABC的中线，ABD和ACD的面积相比有何关系？【例2】如图，已知ABC的周长

7、为16厘米，AD是BC边上的中线，AD=AB，AD=4厘米，ABD的周长是12厘米，求ABC各边的长。三角形的角平分线（1）定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。辨析三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？画出ABC各角的角平分线,并说明是哪角的角平分线.探究观察画出的三条角平线，你有什么发现？_自我检测如图，AD、AE、CF分别是ABC的中线、角平分线和高，则：(1)BD=_=_； (2)BC=2_=2_；(3)BAE=_=_；(4)BAC=2_=2_；(5)_=_=90知识点4 三角形的稳定性三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就

8、唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形则不具有稳定性。钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。你还能举出一些例子吗？【试一试】1、如图，AD是ABC的中线，已知ABD比ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为_2、如图，D为ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且ABC的面积等于DEC面积的2倍，则BE的长为（）3、若点P是ABC内一点，试说明AB+ACPB+PC【课后作业】1.AD是ABC的高，可表示为，AE是ABC的角平分线，可表示为，BF是ABC的中线，可表示为.2.如图2，AD是ABC的角平分线，则=；E在AC

9、上，且AE=CE,则BE是ABC的；CF是ABC的高，则=900，CFAB.3.如图3,AD是ABC的中线,AE是ABC的角平分线,若BD=2cm,则BC=;若BAC=600,则CAE=.4.如图4,以AD为高的三角形共有.5.三角形的一条高是一条（ ） A.直线 B.垂线 C.垂线段 D.射线6.下列说法中，正确的是（ ） A.三角形的角平分线是射线B.三角形的高总在三角形的内部C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段D.三角形的中线在三角形的内部7.下列图形具有稳定性的是（ ） A.正方形 B.梯形 C.三角形 D.平行四边形8.如图8，ADBC于D,CEAB于E,AD、CE交于

10、点O,OFCE,则下列说法中正确的是（ ） A.OE为ABD中AB边上的高 B.OD为BCE中BC边上的高C.AE为AOC中OC边上的高 D.OF为AOC中AC边上的高9. 如图，BD是ABC的角平分线，DEBC，交AB于点E，A=45，BDC=60，求BED的度数10.已知BD是ABC的中线，AC长为5cm，ABD与BDC的周长差为3cm.AB长为3cm，求BC的长.11.如图11,在ABC中，ACB=900,CD是AB边上的高，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,求(1) ABC的面积；(2)CD的长.12.如图12，D是ABC中BC边上一点，DEAC交AB于点E,若EDA=EAD,

11、试说明，AD是ABC的角平分线.第二讲 与三角形有关的角知识点1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800。【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出BCD的度数，可得到A+B+ACB=1800。想一想，还可以怎样拼？剪下A，按图（2）拼在一起，可得到A+B+ACB=1800。图2把和剪下按图（3）拼在一起，可得到A+B+ACB=1800。如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800

12、的方法吗？证明：已知ABC，求证：A+B+C=1800。、【例1】如图，C岛在A岛的北偏东30方向，B岛在A岛的北偏东100方向，C岛在B岛的北偏西55方向，从C岛看A、B两岛的视角ACB是多少度？【讨论】直角三角形的两锐角之和是多少度?结论: 直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形ABC可以写成RtABC。由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形。知识点2、三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。自我探究 画出图中三角形ABC的外角1、判断图中1是不是ABC的外角：_2、如图，(1)1、2都是ABC的外角吗？_

13、(2)ABC共有多少个外角？_请在图中标出ABC的其它外角.3、探究题：如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明ACD与A、B的关系吗？CEAB， A=_，_=2又ACD=_+_ACD=_+_结论1_三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；结论2_三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角(外角两性质)【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就是三个外角的和。外角的作用：1、已知外角和与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个2、可证一个角等于另两个角的和3、证明两个角不相等的关系 课后练习1.填空：求出下列各图中1的

14、度数.(1)如图，1=_；(2)如图，1=_；(3)如图，1=_；(4)如图，1=_；(5)如图，1=_；(6)如图，1=_.2、判断正误： (1)三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） (2)三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角，等于它的另一个不相邻的内角. ( ) (3)三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角. ( )2.已知：如图，1=30，2=50，3=45，则(1)4=_；(2)5=_.3.已知：如图1=40，2=3，则 (1)4=_；(2)2=_.4.如图，ABCD，B=55，C=40，则 (1)D=_；(2)1=_.5. 如图，BAE，CBF，ACD是ABC的三个外角，

15、它们的和是多少？ 解：因为BAE=_+_，CBF=_+_，ACD=_，所以BAE+CBF+ACD=（_+_）+（_）+（_） =2（1+_）=2180=360.6.已知：如图，在ABC中，AD是BC边上的高，BAC=80，C=40，则BAD=_.7.已知：如图，BD是ABC的角平分线, A=100，C=30，则ADB=_.8.*如图，AD、BE分别是ABC的高和角平分线，BAC=100，C=30，则1=_.9、如图所示，D,E分别AC，AB边上的点，DB,EC相交于点F，则A+B+C+EFB=_10.ABC中，B=A+100，C=B+200，求ABC各内角的度数第9题11、如图所示，已知1=2

16、，BAC=70度，求DEF的度数。12.如图所示,在ABC中,A=70,BO,CO分别平分ABC和ACB,求BOC的度数.13.如图所示,在ABC中,D是BC边上一点,1=2,3=4,BAC=63, 求DAC的度数.第三讲 多边形及其内角和一、知识点总结知识点一：多边形及有关概念1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形. 凸多边形 凹多边形 (2)多边形通常

17、还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形。(2)n边形共有条对角线。知识点四：多边形的内角和公式：边形的内角和为.内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内

18、角和，求其边数。知识点五：多边形的外角和：任意多边形的外角和等于360. 二、经典例题透析类型一：多边形内角和及外角和定理应用例1一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800，求这个多边形的边数.【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750，求这个多边形的内角和是多少？ 【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350，求这个多边形的边数。类型二：多边形对角线公式的运用例2、一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ ）.A6 B7 C8 D9【变式1】一个十二边形有几条对角线。类型三：可转化为多边形

19、内角和问题例3、如图所示，1+2+3+4+5+6=_. 【变式1】如图所示，求ABCDEF的度数。类型四：实际应用题例4如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15，再前进10m，又向右转15，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了_m.【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36，然后继续向前走10米，再向右转36，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回点A时共走了多少米？若不能，写出理由。【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边ABCF

20、，CDAE. 按规定AB、CD的延长线相交成80角，因交点不在模板上，不便测量. 这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由. 三、综合练习一、选择题：1.一个多边形的内角和是720,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.83.若正n边形的一个外角为60,则n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.84.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600 B.720 C.900 D.10805.

21、若一个多边形的内角和与外角和之和是1800,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形二、填空题1.十边形的对角线有_条.2.内角和是1620的多边形的边数是_.3.一个多边形的每一个外角都等于36，那么这个多边形的内角和是 . 4.一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是边形.5.如图在ABC中，D是ACB与ABC的角平分线的交点，BD的延长线交AC于E，且EDC=50，则A的度数为. 三、计算题1.一个多边形的每一个外角都等于45,求这个多边形的内角和.2.一个多边形的每一个内角都等于144，求它的边数.3.一个正多边形的一个内角比相邻外角大36，求这个

22、正多边形的边数.4.已知一多边形的每一个内角都相等，它的外角等于内角的，求这个多边形的边数；毛5. 探究：（1）如图与有什么关系？为什么？（2）把图沿折叠，得到图，填空：12_ (填“”“”“”)，当时，+=_.（3）如图，是由图的沿折叠得到的，如果，则（+）, 从而猜想与的关系为.图 图 图 6（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、CABC中，A=30，则ABC+ACB=_，XBC+XCB=_（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么ABX+ACX的大小是否变化？若变

23、化，请举例说明；若不变化，请求出ABX+ACX的大小第四讲 全等三角形（一）知识要点1、全等三角形的有关概念1）能够完全重合的两个图形叫做形。2）能够完全重合的两个三角形叫做全等形。把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。3）全等三角形表示方法：“全等”用“”表示，读作“全等于”，如ABCDEF。4）对应元素：对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边对应角：A与D，B与E，C与F是对应角当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所示，ABC和DEF全等

24、，是，记作ABCDEF。其中，。2、常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。（1）平移型：如下左图，若ABCDEF，则BC=EF。将DEF向左平移得到下右图，则仍有BC=EF，在右图中，若知BC=EF，则可推出BE=CF。（2）旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图1的旋转中心为点A，有公共部分1；图2的旋转中心为点O，有一对对顶角1=2。（3）翻折型：如右图，两个三角形的全等属于翻折型，其中图中有公共边AB3、全等三角形的性质1）全等三角形的对应边相等；2）全等三角形的对应角相等。3）知识延伸：如果两个三角形全等，则三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角

25、平分线也相等。4、规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；（4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。（二）典型例题例1：若把ABC绕A点顺时针旋转一定的角度，就得到ADE，请写出图中所有的对应边和对应角。例2：如图，已知ABDACE。试说明BE=CD，DCO=EBO。例3：如图，ADFCBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD和BC的位置关系

26、，并加以说明。例4：如图，在ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若ADBEDBEDC，则C的度数为（ ）A、150 B、200C、250 D、300例5：如图，ABE和ADC是ABC分别沿AB，AC边翻折1800形成的，若1：2：3=28：5：3，则求的度数。例6：如图所示，ABCADE，B和D对应，C和E对应，且B=25，E=105，DAC=15，则EAC等于多少度？例7：如图，已知ABCDBE，ABCD，DE的延长线交AC于点F，那么DFAC吗？说明理由例8：如图，已知ABEACD且AB =AC，求证： (1) BAD= CAE; (2)BD= CE.例9.如图，已知， ， ，.求的度数.（三）反馈练习1如图，ABCDCB，若l与2是一组对 应角，则其他的对应角有，对应边有， 。2如图，ABCABC，且点B，B，C，C在同一直线上，则BB=_；若A=80，则A= ，BDC=。 （题1） （题2） （题3）（题4）3如图，把ABC沿直线BC翻折180，得到DBC，则ABC与DBC的关系是 。4如图，把ABC绕点A旋转一定的角度得到AED，那么ABCAED，其中对应边有，对应角有 ， ， 。5