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第一讲与三角形有关的线段

欧阳光明（2021.03.07）

知识点1、三角形的概念

☑不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

☑三角形的表示方法

三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”

三角形ABC用符号表示为△ABC。

三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.

知识点2、三角形的三边关系

【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?

各条路线的长一样吗?

为什么？

☑三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b

拓展：

a+b＞c，根据不等式的性质得c-b＜a，即两边之差小于第三边。

即a-b＜c＜a+b（三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）

【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（　　）

A．3cm

B．4cm

C．7cm

D．11cm

【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？

为什么？

（1）3，5，8；

（2）5，6，10；（3）5，6，7.（4）5,6,12

【辨析】有三条线段a、b、c，a+b＞c，扎西认为：

这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？

为什么？

【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？

为什么？

【练习】

1、三角形三边为3，5，3-4a，则a的范围是。

2、三角形两边长分别为25cm和10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为。

3、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为

4、一个三角形周长为27cm，三边长比为2∶3∶4，则最长边比最短边长。

5、等腰三角形两边为5cm和12cm，则周长为。

6、已知：

等腰三角形的底边长为6cm，那么其腰长的范围是________。

7、已知：

一个三角形两边分别为4和7，则第三边上的中线的范围是_________。

8、下列条件中能组成三角形的是（　　）

A、5cm,7cm,13cm　B、3cm,5cm,9cm　C、6cm,9cm,14cm　D、5cm,6cm,11cm

9、等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（　　）

　　A、5，6　　　　B、6，4　　　　　C、7，2　　　　D、以上三种情况都有可能

11、一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为（　　）

　　A、4，6　　　　B、4，6，8　　　C、6，8　　　　D、6，8，10

11、△ABC中，a=6x，b=8x，c=28，则x的取值范围是（　　）

　　A、2＜x＜14　B、x＞2　　C、x＜14　　D、7＜x＜14

12.指出下列每组线段能否组成三角形图形

（1）a=5,b=4,c=3 

（2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12（4）a=5,b=5,c=6

13.已知等腰三角形的两边长分别为11cm和5cm，求它的周长。

14.已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求这个三角形的腰长。

15、已知等腰三角形一边长为24cm，腰长是底边的2倍。

求这个三角形的周长。

16、如图，求证：

AB+BC+CD+DA>AC+BD

知识点3三角形的三条重要线段

☑三角形的高

（1）定义：

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）

（2）高的叙述方法

①AD是△ABC的高

②AD⊥BC，垂足为D

③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90度

【练习】

画出

、

、

三个△ABC各边的高,并说明是哪条边的高.

AB边上的高是线段____AB边上的高是线段____AB边上的高是线段____

BC边上的高是_________BC边上的高是_________BC边上的高是_________

AC边上的高是_________AC边上的高是_________AC边上的高是_________

[辨析]高与垂线有区别吗？

_____________________________________________

[探究]画出图1中三角形ABC三条边上的高，看看有什么发现？

如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

试着画一画

【结论】________________________________________

☑三角形的中线

（1）定义：

在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

【探究2】如图，AD为三角形ABC的中线，△ABD和△ACD的面积相比有何关系？

【例2】如图，已知△ABC的周长为16厘米，AD是BC边上的中线，AD=

AB，AD=4厘米，△ABD的周长是12厘米，求△ABC各边的长。

☑三角形的角平分线

（1）定义：

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

[辨析]三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

画出△ABC各角的角平分线,并说明是哪角的角平分线.

[探究]观察画出的三条角平线，你有什么发现？

_______________________________

[自我检测]

如图，AD、AE、CF分别是△ABC的中线、角平分线和高，则：

（1）BD=______=

________；

（2）BC=2_______=2_______；

（3）∠BAE=_______=

_______；

（4）∠BAC=2_______=2_______；（5）_______=________=90

知识点4三角形的稳定性

三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。

四边形则不具有稳定性。

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。

你还能举出一些例子吗？

【试一试】

1、如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为_______

2、如图，D为△ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍，则BE的长为（　　）

3、若点P是△ABC内一点，试说明AB+AC＞PB+PC

【课后作业】

1.AD是△ABC的高，可表示为，AE是△ABC的角平分线，可表示为，BF是△ABC的中线，可表示为.

2.如图2，AD是△ABC的角平分线，则∠=∠=

∠；E在AC上，且AE=CE,则BE是△ABC的；CF是△ABC的高，则∠=∠=900，CFAB.

3.如图3,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的角平分线,若BD=2cm,则BC=;若∠BAC=600,则∠CAE=.

4.如图4,以AD为高的三角形共有.

5.三角形的一条高是一条……………………………（）

A.直线B.垂线C.垂线段D.射线

6.下列说法中，正确的是………………………………（）

A.三角形的角平分线是射线B.三角形的高总在三角形的内部

C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段D.三角形的中线在三角形的内部

7.下列图形具有稳定性的是………………………………（）

A.正方形B.梯形C.三角形D.平行四边形

8.如图8，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD、CE交于点O,OF⊥CE,则下列说法中正确的是………………………………………………………（）

A.OE为△ABD中AB边上的高B.OD为△BCE中BC边上的高

C.AE为△AOC中OC边上的高D.OF为△AOC中AC边上的高

9.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求∠BED的度数．

10.已知BD是△ABC的中线，AC长为5cm，△ABD与△BDC的周长差为3cm.AB长为3cm，求BC的长.

11.如图11,在△ABC中，∠ACB=900,CD是AB边上的高，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,

求

（1）△ABC的面积；

（2）CD的长.

12.如图12，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E,若∠EDA=∠EAD,试说明，AD是△ABC的角平分线.

第二讲与三角形有关的角

知识点1、三角形的内角和定理：

三角形的内角和等于1800。

【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？

回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

想一想，还可以怎样拼？

①剪下∠A，按图

（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

图2

②把

和

剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？

证明：

已知△ABC，求证：

∠A+∠B+∠C=1800。

、

【例1】如图，C岛在A岛的北偏东30°方向，B岛在A岛的北偏东100°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

【讨论】直角三角形的两锐角之和是多少度?

结论:

直角三角形的两个锐角互余.

直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC。

由三角形内角和定理可得：

有两个角互余的三角形是直角三角形。

知识点2、三角形的外角

定义：

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

[自我探究]画出图中三角形ABC的外角

1、判断图中∠1是不是△ABC的外角：

_______________

2、如图，

（1）∠1、∠2都是△ABC的外角吗？

________________

（2）△ABC共有多少个外角？

___________________

请在图中标出△ABC的其它外角.

3、探究题：

如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？

∵CE∥AB，∴∠A=_____，_____=∠2

又∠ACD=_______+________

∴∠ACD=_______+________

结论1___三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

结论2__三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角（外角两性质）

【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就是三个外角的和。

外角的作用：

1、已知外角和与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个

2、可证一个角等于另两个角的和

3、证明两个角不相等的关系

[课后练习]

1.填空：

求出下列各图中∠1的度数.

（1）如图，∠1=______；

（2）如图，∠1=______；（3）如图，∠1=______；

（4）如图，∠1=______；（5）如图，∠1=______；（6）如图，∠1=______.

2、判断正误：

（1）三角形的一个外角等于两个内角的和.（）

（2）三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角，等于它的另一个不相邻的内角.（）（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角.（）

2.已知：

如图，∠1=30°，∠2=50°，∠3=45°，

则

（1）∠4=______°；

（2）∠5=______°.

3.已知：

如图∠1=40°，∠2=∠3，则

（1）∠4=______°；

（2）∠2=______°.

4.如图，AB∥CD，∠B=55°，∠C=40°，则

（1）∠D=______°；

（2）∠1=______°.

5.如图，∠BAE，∠CBF，

∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？

解：

因为∠BAE=∠__+∠____，

∠CBF=∠__+∠___，

∠ACD=__________，

所以∠BAE+∠CBF+∠ACD

=（∠__+∠___）+（________）+（___________）

=2（∠1+_________）=2×180°=360°.

6.已知：

如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，

∠BAC=80°，∠C=40°，则∠BAD=________°.

7.已知：

如图，BD是△ABC的角平分线,

∠A=100°，∠C=30°，则∠ADB=________°.

8.*如图，AD、BE分别是△ABC的高和

角平分线，∠BAC=100°，∠C=30°，则∠1=________°.

9、如图所示，D,E分别AC，AB边上的点，DB,EC相

交于点F，则∠A+∠B+∠C+∠EFB=_________

10.△ABC中，∠B=∠A+100，∠C=∠B+200，求△ABC各内角的度数

第9题

11、如图所示，已知∠1=∠2，∠BAC=70度，求∠DEF的度数。

12.如图所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,求∠BOC的度数.

13.如图所示,在△AB

C中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.

第三讲多边形及其内角和

一、知识点总结

知识点一：

多边形及有关概念1、多边形的定义：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

2、多边形的分类:

（1）多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这

条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.

　　　　　　　　　　　　凸多边形　　　　　　　　凹多边形

（2）多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．

知识点二：

正多边形

各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形　　　　正方形　　　　正五边形　　　　正六边形　正十二边形

知识点三：

多边形的对角线多边形的对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。

要点诠释：

（1）从n边形一个顶点可以引（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形。

（2）n边形共有

条对角线。

知识点四：

多边形的内角和公式：

边形的内角和为

.

　内角和定理的应用：

①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数。

知识点五：

多边形的外角和：

任意多边形的外角和等于360°.

　二、经典例题透析类型一：

多边形内角和及外角和定理应用例1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？

【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数.

【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？

【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。

类型二：

多边形对角线公式的运用例2、一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）.

　　A．6　　　B．7　　　C．8　　　D．9

【变式1】一个十二边形有几条对角线。

类型三：

可转化为多边形内角和问题

例3、如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________.

【变式1】如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。

类型四：

实际应用题

例4．如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？

【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了__________m.

【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？

若能，当他走回点A时共走了多少米？

若不能，写出理由。

【变式3】如图所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE.按规定AB、CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量.这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB、CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗？

说明理由.

三、综合练习

一、选择题：

1.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是（）

A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形

2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是（）

A.5B.6C.7D.8

3.若正n边形的一个外角为60°,则n的值是（）

A.4B.5C.6D.8

4.下列角度中,不能成为多边形内角和的是（）

A.600°B.720°C.900°D.1080°

5.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是（）

A.八边形B.十边形C.十二边形D.十四边形

二、填空题

1.十边形的对角线有_____条.

2.内角和是1620°的多边形的边数是________.

3.一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的内角和是°.

4.一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是边形.

5.如图在△ABC中，D是∠ACB与∠ABC的角平分线的交点，BD的延长线交AC于E，

且∠EDC=50°，则∠A的度数为.

三、计算题

1.一个多边形的每一个外角都等于45°,求这个多边形的内角和.

2.一个多边形的每一个内角都等于144°，求它的边数.

3.一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数.

4.已知一多边形的每一个内角都相等，它的外角等于内角的

，求这个多边形的边数；

毛5.探究：

（1）如图①

与

有什么关系？

为什么？

（2）把图①

沿

折叠，得到图②，填空：

∠1＋∠2_______

（填“

”“

”“

”），当

时，

+

=______.

（3）如图③，是由图①的

沿

折叠得到的，如果

，

则

（

+

）

＝,

从而猜想

与

的关系为.

图①图②图③

6．

（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=________，∠XBC+∠XCB=_______．

（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？

若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．

第四讲全等三角形

（一）知识要点

1、全等三角形的有关概念

1）能够完全重合的两个图形叫做形。

2）能够完全重合的两个三角形叫做全等形。

把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

3）全等三角形表示方法：

“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，

如△ABC≌△DEF。

4）对应元素：

①对应顶点：

点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点

②对应边：

AB与DE，AC与DF，BC与EF是对应边

③对应角：

∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F是对应角

当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所示，△ABC和△DEF全等，是，记作△ABC≌△DEF。

其中，。

2、常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。

（1）平移型：

如下左图，若△ABC≌△DEF，则BC=EF。

将△DEF向左平移得到下右图，则仍有BC=EF，在右图中，若知BC=EF，则可推出BE=CF。

（2）旋转型：

如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：

图1的旋转中心为点A，有公共部分∠1；图2的旋转中心为点O，有一对对顶角∠1=∠2。

（3）翻折型：

如右图，两个三角形的全等属于翻折型，其中图中有公共边AB

3、全等三角形的性质

1）全等三角形的对应边相等；

2）全等三角形的对应角相等。

3）知识延伸：

如果两个三角形全等，则三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。

4、规律方法小结：

在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；

（4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。

（二）典型例题

例1：

若把△ABC绕A点顺时针旋转一定的角度，就得到△ADE，请写出图中所有的对应边和对应角。

例2：

如图，已知△ABD≌△ACE。

试说明BE=CD，∠DCO=∠EBO。

例3：

如图，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD和BC的位置关系，并加以说明。

例4：

如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）

A、150B、200C、250D、300

例5：

如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿AB，AC边翻折1800形成的，若∠1：

∠2：

∠3=28：

5：

3，则求∠α的度数。

例6：

如图所示，△ABC≌△ADE，∠B和∠D对应，∠C和∠E对应，且∠B=25°，∠E=105°，∠DAC=15°，则∠EAC等于多少度？

例7：

如图，已知△ABC≌△DBE，AB⊥CD，DE的延长线交AC于点F，那么DF⊥AC吗？

说明理由．

例8：

如图，已知△ABE≌△ACD．且AB=AC，求证：

（1）∠BAD=∠CAE;

（2）BD=CE.

例9.如图，已知

，

，

，

，

.求

的度数.

（三）反馈练习

1．如图，△ABC≌△DCB，若∠l与∠2是一组对应角，则其他的对应角有，，对应边有，，。

2．如图，△AB≌C△A′B′C′，且点B，B′，C，C′在同一直线上，则BB′=____；若∠A=80º，则∠A′=º，∠B′DC=º。

（题1）（题2）（题3）（题4）

3．如图，把△ABC沿直线BC翻折180º，得到△DBC，则△ABC与△DBC的关系是。

4．如图，把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△AED，那么△ABC△AED，其中对应边有，，，对应角有，，。

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