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1、考点整合与训练第十三章 选考部分 第1节 第1课时 坐标系第1节坐标系与参数方程第1课时坐标系最新考纲1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程知 识 梳 理1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时

2、确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标.称为点M的极径，称为点M的极角.一般认为0.当极角的取值范围是0，2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)(0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径0，极角可取任意角.(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，).由图可知下面的关系式成立：或这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.常见曲线

3、的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r，0)，半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线(R)或(R)过点(a，0)，与极轴垂直的直线cos_a过点，与极轴平行的直线sin_a(00，0)，把伸缩变换关系式代入式得：ysin x与式的系数对应相等得到所以，变换公式为考点二极坐标与直角坐标的互化【例2】 (2019德阳诊断)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l过点(1，0)，且斜率为，射线OM的极坐标方程为.(1)求曲线C和

4、直线l的极坐标方程；(2)已知射线OM与曲线C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，则线段PQ的长.解(1)曲线C的参数方程为(为参数)，曲线C的普通方程为(x1)2(y1)22，将xcos ，ysin 代入整理得2cos 2sin 0，即曲线C的极坐标方程为2sin.直线l过点(1，0)，且斜率为，直线l的方程为y(x1)，直线l的极坐标方程为cos 2sin 10.(2)当时，|OP|2sin2，|OQ|，故线段PQ的长为2.规律方法1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0)2进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意，的取

5、值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧. 【训练2】 (1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为cosa，且点A在直线上，求a的值及直线的直角坐标方程.(2)把曲线C1：x2y28x10y160化为极坐标方程.解(1)点A在直线cosa上，acos，所以直线的方程可化为cos sin 2，从而直线的直角坐标方程为xy20.(2)将代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160，所以C1的极坐标方程为28cos 10sin 160.考点三曲线极坐标

6、方程的应用【例31】 (2019太原二模)点P是曲线C1：(x2)2y24上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中点，将点P逆时针旋转90得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线(0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2，0)，求MAB的面积.解(1)由曲线C1的直角坐标方程(x2)2y24可得曲线C1的极坐标方程为4cos .设Q(，)，则P，则有4cos 4sin .所以曲线C2的极坐标方程为4sin .(2)M到射线(0)的距离d2sin ，|AB|BA42(1)，所以SMAB|AB|d2(1)3.【例3

7、2】 (2017全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值.解(1)设点P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10).由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0).(2)设点B的极坐标为(B，)(B0).由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|O

8、A|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.规律方法求线段的长度有两种方法方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度方法二，直接在极坐标系下求解，设A(1，1)，B(2，2)，则|AB|；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|12|即为所求【训练3】 (1)在极坐标系中，求直线sin2被圆4截得的弦长.(2)(2019衡阳二模)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系

9、，A，B为C上两点，且OAOB，设射线OA：，其中0.()求曲线C的极坐标方程；()求|OA|OB|的最小值.解(1)由sin2，得(sin cos )2，可化为xy20.圆4可化为x2y216，圆心(0，0)到直线xy20的距离d2，由圆中的弦长公式，得弦长l224.故所求弦长为4.(2)()将曲线C的参数方程(为参数)化为普通坐标方程为y21.因为xcos ，ysin ，所以曲线C的极坐标方程为2.()根据题意：射线OB的极坐标方程为或，所以|OA|，|OB|，所以|OA|OB|.当且仅当sin2 cos2 ，即时，|OA|OB|取得最小值为.思维升华1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：

10、对于简单的我们可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以等2.直角坐标(x，y)化为极坐标(，)的步骤：(1)运用，tan (x0)；(2)在0，2)内由tan (x0)求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即的终边位置)易错防范1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可2平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一当规定0，02，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点3进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：(1)注意，的取值范围及其

11、影响(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.基础巩固题组(建议用时：60分钟)1.求双曲线C：x21经过：变换后所得曲线C的焦点坐标.解设曲线C上任意一点P(x，y)，由上述可知，得代入x21，得1，化简得1，即1为曲线C的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(5，0)，F2(5，0)为所求.2.(2018武汉模拟)在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.解(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，圆O的直角坐标方程为：x2y2xy，即x2y2xy0，直线l：sin，即s

12、in cos 1，则直线l的直角坐标方程为：yx1，即xy10.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.3.以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|3|OQ|，求直线l的极坐标方程.解(1)，sin y，化为sin 2，得2(2sin )2，曲线的直角坐标方程为x24y4.(2)设直线l的极坐标方程为0(R)，根据题意3，解得0或0，直线l的极坐标方程(R)或(R).4.(2019安阳二模)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy5，以原点O为极点，x

13、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4sin .(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；(2)射线OP：与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长.解(1)因为xcos ，ysin ，直线l：xy5，所以直线l的极坐标方程为cos sin 5，化简得2sin5，即为直线l的极坐标方程.由4sin ，得24sin ，所以x2y24y，即x2(y2)24，即为圆C的直角坐标方程.(2)由题意得A4sin 2，B5，所以|AB|AB|3.5.(2019福州四校期末联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，直线C2的方程为yx.以坐标原点O为极点

14、，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求.解(1)由曲线C1的参数方程为(为参数)，得曲线C1的普通方程为(x2)2(y2)21，则C1的极坐标方程为24cos 4sin 70，由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为(R).(2)由得2(22)70，设A，B对应的极径分别为1，2，则1222，127，.6.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中为参数)，曲线C2：x2y22y0.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：(0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O).(1)求

15、曲线C1，C2的极坐标方程；(2)当0时，求|OA|2|OB|2的取值范围.解(1)y21，由得曲线C1的极坐标方程为2；x2y22y0，曲线C2的极坐标方程为2sin .(2)设A，B对应的极径分别为1，2，则由(1)得|OA|2，|OB|24sin2 ，|OA|2|OB|24sin2 4(1sin2)4，0，11sin22，64(1sin2)9，|OA|2|OB|2的取值范围为(2，5).能力提升题组(建议用时：20分钟)7.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数).以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过原点O的直线l1

16、，l2分别与曲线C交于除原点外的A，B两点，若AOB，求AOB的面积的最大值.解(1)曲线C的普通方程为(x)2(y1)24，即x2y22x2y0，所以，曲线C的极坐标方程为22cos 2sin 0，即4sin.(2)不妨设A(1，)，B，.则14sin，24sin，AOB的面积S|OA|OB|sin 12sin 4sinsin2cos 23.所以，当0时，AOB的面积取最大值3.8.(2018厦门外国语中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为cos2 sin .(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若射线l：ykx(x0)与曲线C1，C2的交点分别为A，B(A，B异于原点)，当斜率k(1，时，求|OA|OB|的取值范围.解(1)曲线C1的直角坐标方程为(x1)2y21，即x22xy20，将代入并化简得曲线C1的极坐标方程为2cos .由cos2 sin 两边同时乘，得2cos2 sin ，结合得曲线C2的直角坐标方程为x2y.(2)设射线l：ykx(x0)的倾斜角为，则射线的极坐标方程为，且ktan (1，.联立得|OA|A2cos ，联立得|OB|B，所以|OA|OB|AB2cos 2tan 2k(2，2，即|OA|OB|的取值范围是(2，2.