考点整合与训练第十三章 选考部分 第1节 第1课时 坐标系.docx
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考点整合与训练第十三章选考部分第1节第1课时坐标系
第1节 坐标系与参数方程
第1课时 坐标系
最新考纲 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化;3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.
知识梳理
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:
的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点,射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径,θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定,极点的极坐标中,极径ρ=0,极角θ可取任意角.
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面上的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ).由图可知下面的关系式成立:
或
这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
3.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
ρ=r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0),半径为r的圆
ρ=2rcos__θ
圆心为,半径为r的圆
ρ=2rsin__θ
(0≤θ<π)
过极点,倾斜角为α的直线
θ=α(ρ∈R)
或θ=α+π(ρ∈R)
过点(a,0),与极轴垂直的直线
ρcos__θ=a
过点,与极轴平行的直线
ρsin__θ=a
(0<θ<π)
[微点提醒]
关于极坐标系
1.极坐标系的四要素:
①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,四者缺一不可.
2.由极径的意义知ρ≥0,当极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系,约定极点的极坐标是极径ρ=0,极角可取任意角.
3.极坐标与直角坐标的重要区别:
多值性.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )
(2)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是.( )
(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( )
(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( )
解析
(1)一般认为ρ≥0,当θ∈[0,2π)时,平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系;(4)极坐标θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.
答案
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.(选修4-4P15习题T3改编)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )
A.ρ=,0≤θ≤
B.ρ=,0≤θ≤
C.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤
D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤
解析 ∵y=1-x(0≤x≤1),
∴ρsinθ=1-ρcosθ(0≤ρcosθ≤1);
∴ρ=.
答案 A
3.(选修4-4P15T4改编)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是( )
A.B.
C.(1,0)D.(1,π)
解析 法一 由ρ=-2sinθ得ρ2=-2ρsinθ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,即x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为.
法二 由ρ=-2sinθ=2cos,知圆心的极坐标为,故选B.
答案 B
4.(2015·湖南卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为________.
解析 由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,即x2+(y-1)2=1.
答案 x2+(y-1)2=1
5.(2014·广东卷)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为________.
解析 将2ρcos2θ=sinθ两边同乘以ρ,得2(ρcosθ)2=ρsinθ,化为直角坐标方程为2x2=y①,C2:
ρcosθ=1化为直角坐标方程为x=1②,联立①②可解得所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).
答案 (1,2)
6.(2014·陕西卷)在极坐标系中,点到直线ρsin(θ-)=1的距离是________.
解析 将极坐标转化为直角坐标为(,1).极坐标方程ρsin=1转化为直角坐标方程为x-y+2=0,则点(,1)到直线x-y+2=0的距离d==1.
答案 1
考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换
易错警示
【例1】在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.
(1)5x+2y=0;
(2)x2+y2=1.
解 伸缩变换则
(1)若5x+2y=0,则5(2x′)+2(3y′)=0,
所以5x+2y=0经过伸缩变换后的方程为5x′+3y′=0,为一条直线.
(2)若x2+y2=1,则(2x′)2+(3y′)2=1,
则x2+y2=1经过伸缩变换后的方程为4x′2+9y′2=1,为椭圆.
规律方法 伸缩变换后方程的求法
平面上的曲线y=f(x)在变换φ:
的作用下的变换方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y′=h(x′),即为所求变换之后的方程.
易错警示 应用伸缩变换时,要分清变换前的点坐标(x,y)与变换后的点坐标(x′,y′).
【训练1】在同一坐标系中,求将曲线y=sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换公式.
解 将曲线y=sin3x①经过伸缩变换变为y=sinx,即y′=sinx′②,
设伸缩变换公式是(λ>0,μ>0),
把伸缩变换关系式代入②式得:
μy=sinλx与①式的系数对应相等得到
所以,变换公式为
考点二 极坐标与直角坐标的互化
【例2】(2019·德阳诊断)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l过点(-1,0),且斜率为,射线OM的极坐标方程为θ=.
(1)求曲线C和直线l的极坐标方程;
(2)已知射线OM与曲线C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,则线段PQ的长.
解
(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数),
∴曲线C的普通方程为(x+1)2+(y-1)2=2,
将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入整理得ρ+2cosθ-2sinθ=0,
即曲线C的极坐标方程为ρ=2sin.
∵直线l过点(-1,0),且斜率为,
∴直线l的方程为y=(x+1),
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ+1=0.
(2)当θ=时,|OP|=2sin=2,
|OQ|==,
故线段PQ的长为2-=.
规律方法 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式;x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tanθ=(x≠0).
2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意ρ,θ的取值范围及其影响;要善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;要灵活运用代入法和平方法等技巧.
【训练2】
(1)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线上,求a的值及直线的直角坐标方程.
(2)把曲线C1:
x2+y2-8x-10y+16=0化为极坐标方程.
解
(1)∵点A在直线ρcos=a上,
∴a=cos=,
所以直线的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2,
从而直线的直角坐标方程为x+y-2=0.
(2)将代入x2+y2-8x-10y+16=0,
得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0,
所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.
考点三 曲线极坐标方程的应用
【例3-1】(2019·太原二模)点P是曲线C1:
(x-2)2+y2=4上的动点,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点O为中点,将点P逆时针旋转90°得到点Q,设点Q的轨迹为曲线C2.
(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;
(2)射线θ=(ρ>0)与曲线C1,C2分别交于A,B两点,定点M(2,0),求△MAB的面积.
解
(1)由曲线C1的直角坐标方程(x-2)2+y2=4可得曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ.
设Q(ρ,θ),则P,
则有ρ=4cos=4sinθ.
所以曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(2)M到射线θ=(ρ>0)的距离d=2sin=,
|AB|=ρB-ρA=4=2(-1),
所以S△MAB=|AB|×d=×2(-1)×=3-.
【例3-2】(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.
(1)设点M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解
(1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).
由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,
于是△OAB的面积
S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosα·=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
规律方法 求线段的长度有两种方法.方法一,先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程,然后求线段的长度.方法二,直接在极坐标系下求解,设A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),则|AB|=;如果直线过极点且与另一曲线相交,求交点之间的距离时,求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标,则|ρ1-ρ2|即为所求.
【训练3】
(1)在极坐标系中,求直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长.
(2)(2019·衡阳二模)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(φ为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,A,B为C上两点,且OA⊥OB,设射线OA:
θ=α,其中0<α<.
(ⅰ)求曲线C的极坐标方程;
(ⅱ)求|OA|·|OB|的最小值.
解
(1)由ρsin=2,得(ρsinθ+ρcosθ)=2,可化为x+y-2=0.圆ρ=4可化为x2+y2=16,
圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离d==2,
由圆中的弦长公式,得弦长
l=2=2=4.
故所求弦长为4.
(2)(ⅰ)将曲线C的参数方程(φ为参数)化为普通坐标方程为+y2=1.
因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,
所以曲线C的极坐标方程为ρ2=.
(ⅱ)根据题意:
射线OB的极坐标方程为θ=α+或θ=α-,
所以|OA|=,
|OB|==,
所以|OA|·|OB|=
=≥=.
当且仅当sin2α=cos2α,即α=时,|OA|·|OB|取得最小值为.
[思维升华]
1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程:
对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘以ρ等.
2.直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的步骤:
(1)运用ρ=,tanθ=(x≠0);
(2)在[0,2π)内由tanθ=(x≠0)求θ时,由直角坐标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置).
[易错防范]
1.确定极坐标方程,极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不可.
2.平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的,但点的极坐标的表示形式不唯一.当规定ρ≥0,0≤θ<2π,使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点.
3.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,应注意两点:
(1)注意ρ,θ的取值范围及其影响.
(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.
基础巩固题组
(建议用时:
60分钟)
1.求双曲线C:
x2-=1经过φ:
变换后所得曲线C′的焦点坐标.
解 设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),
由上述可知,得代入x2-=1,
得-=1,化简得-=1,
即-=1为曲线C′的方程,
可见仍是双曲线,则焦点F1(-5,0),F2(5,0)为所求.
2.(2018·武汉模拟)在极坐标系下,已知圆O:
ρ=cosθ+sinθ和直线l:
ρsin=.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
解
(1)圆O:
ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,
圆O的直角坐标方程为:
x2+y2=x+y,
即x2+y2-x-y=0,
直线l:
ρsin=,
即ρsinθ-ρcosθ=1,
则直线l的直角坐标方程为:
y-x=1,即x-y+1=0.
(2)由得
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.
3.以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ=.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)过极点O作直线l交曲线于点P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程.
解
(1)∵ρ=,ρsinθ=y,
∴ρ=化为ρ-ρsinθ=2,得ρ2=(2+ρsinθ)2,
∴曲线的直角坐标方程为x2=4y+4.
(2)设直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R),
根据题意=3·,
解得θ0=或θ0=,
直线l的极坐标方程θ=(ρ∈R)或θ=(ρ∈R).
4.(2019·安阳二模)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:
x+y=5,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程;
(2)射线OP:
θ=与圆C的交点为O,A,与直线l的交点为B,求线段AB的长.
解
(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,直线l:
x+y=5,
所以直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=5,
化简得2ρsin=5,即为直线l的极坐标方程.
由ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ,
所以x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4,
即为圆C的直角坐标方程.
(2)由题意得ρA=4sin=2,
ρB==5,
所以|AB|=|ρA-ρB|=3.
5.(2019·福州四校期末联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),直线C2的方程为y=x.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;
(2)若直线C2与曲线C1交于A,B两点,求+.
解
(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),得曲线C1的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1,
则C1的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,
由于直线C2过原点,且倾斜角为,故其极坐标方程为θ=(ρ∈R).
(2)由得ρ2-(2+2)ρ+7=0,设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2,
则ρ1+ρ2=2+2,ρ1ρ2=7,
∴+===.
6.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中φ为参数),曲线C2:
x2+y2-2y=0.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:
θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).
(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;
(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.
解
(1)∵∴+y2=1,由
得曲线C1的极坐标方程为ρ2=;
∵x2+y2-2y=0,
∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(2)设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2,则由
(1)得
|OA|2=ρ=,|OB|2=ρ=4sin2α,
∴|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4,
∵0<α<,∴1<1+sin2α<2,
∴6<+4(1+sin2α)<9,
∴|OA|2+|OB|2的取值范围为(2,5).
能力提升题组
(建议用时:
20分钟)
7.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数).以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)过原点O的直线l1,l2分别与曲线C交于除原点外的A,B两点,若∠AOB=,求△AOB的面积的最大值.
解
(1)曲线C的普通方程为(x-)2+(y-1)2=4,
即x2+y2-2x-2y=0,
所以,曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0,即ρ=4sin.
(2)不妨设A(ρ1,θ),B,θ∈.
则ρ1=4sin,ρ2=4sin,
△AOB的面积S=|OA|·|OB|sin
=ρ1ρ2sin
=4sinsin
=2cos2θ+≤3.
所以,当θ=0时,△AOB的面积取最大值3.
8.(2018·厦门外国语中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数);在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ.
(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)若射线l:
y=kx(x≥0)与曲线C1,C2的交点分别为A,B(A,B异于原点),当斜率k∈(1,]时,求|OA|·|OB|的取值范围.
解
(1)曲线C1的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0,将代入并化简得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ.
由ρcos2θ=sinθ两边同时乘ρ,得ρ2cos2θ=ρsinθ,结合得曲线C2的直角坐标方程为x2=y.
(2)设射线l:
y=kx(x≥0)的倾斜角为φ,则射线的极坐标方程为θ=φ,且k=tanφ∈(1,].
联立得|OA|=ρA=2cosφ,
联立得|OB|=ρB=,
所以|OA|·|OB|=ρA·ρB=2cosφ·=2tanφ=2k∈(2,2],即|OA|·|OB|的取值范围是(2,2].