考点整合与训练第十三章 选考部分 第1节 第1课时 坐标系.docx

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考点整合与训练第十三章选考部分第1节第1课时坐标系

第1节　坐标系与参数方程

第1课时　坐标系

最新考纲　1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．

知识梳理

1.平面直角坐标系中的伸缩变换

设点P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：

的作用下，点P（x，y）对应到点P′（x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2.极坐标系

（1）极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画（如图所示）.这两个数组成的有序数对（ρ，θ）称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标（ρ，θ）（ρ≠0）建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.

（2）极坐标与直角坐标的互化

设M为平面上的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为（ρ，θ）.由图可知下面的关系式成立：

或

这就是极坐标与直角坐标的互化公式.

3.常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆

ρ＝r（0≤θ<2π）

圆心为（r，0），半径为r的圆

ρ＝2rcos__θ

圆心为，半径为r的圆

ρ＝2rsin__θ

（0≤θ<π）

过极点，倾斜角为α的直线

θ＝α（ρ∈R）

或θ＝α＋π（ρ∈R）

过点（a，0），与极轴垂直的直线

ρcos__θ＝a

过点，与极轴平行的直线

ρsin__θ＝a

（0<θ<π）

[微点提醒]

关于极坐标系

1.极坐标系的四要素：

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可.

2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π）时，平面上的点（除去极点）与极坐标（ρ，θ）（ρ≠0）建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.

3.极坐标与直角坐标的重要区别：

多值性.

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.（　　）

（2）若点P的直角坐标为（1，－），则点P的一个极坐标是.（　　）

（3）在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.（　　）

（4）极坐标方程θ＝π（ρ≥0）表示的曲线是一条直线.（　　）

解析　

（1）一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π）时，平面上的点（除去极点）才与极坐标建立一一对应关系；（4）极坐标θ＝π（ρ≥0）表示的曲线是一条射线．

答案　

（1）×　

（2）√　（3）√　（4）×

2.（选修4－4P15习题T3改编）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x（0≤x≤1）的极坐标方程为（　　）

A.ρ＝，0≤θ≤

B.ρ＝，0≤θ≤

C.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤

D.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤

解析　∵y＝1－x（0≤x≤1），

∴ρsinθ＝1－ρcosθ（0≤ρcosθ≤1）；

∴ρ＝.

答案　A

3.（选修4－4P15T4改编）在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是（　　）

A.B.

C.（1，0）D.（1，π）

解析　法一　由ρ＝－2sinθ得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋（y＋1）2＝1，圆心坐标为（0，－1），其对应的极坐标为.

法二　由ρ＝－2sinθ＝2cos，知圆心的极坐标为，故选B.

答案　B

4.（2015·湖南卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为________.

解析　由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋（y－1）2＝1.

答案　x2＋（y－1）2＝1

5.（2014·广东卷）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________.

解析　将2ρcos2θ＝sinθ两边同乘以ρ，得2（ρcosθ）2＝ρsinθ，化为直角坐标方程为2x2＝y①，C2：

ρcosθ＝1化为直角坐标方程为x＝1②，联立①②可解得所以曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．

答案　（1，2）

6.（2014·陕西卷）在极坐标系中，点到直线ρsin（θ－）＝1的距离是________.

解析　将极坐标转化为直角坐标为（，1）．极坐标方程ρsin＝1转化为直角坐标方程为x－y＋2＝0，则点（，1）到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝1.

答案　1

考点一　平面直角坐标系中的伸缩变换　

易错警示

【例1】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.

（1）5x＋2y＝0；

（2）x2＋y2＝1.

解　伸缩变换则

（1）若5x＋2y＝0，则5（2x′）＋2（3y′）＝0，

所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线.

（2）若x2＋y2＝1，则（2x′）2＋（3y′）2＝1，

则x2＋y2＝1经过伸缩变换后的方程为4x′2＋9y′2＝1，为椭圆.

规律方法　伸缩变换后方程的求法

平面上的曲线y＝f（x）在变换φ：

的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f（x），得＝f，整理之后得到y′＝h（x′），即为所求变换之后的方程．

易错警示　应用伸缩变换时，要分清变换前的点坐标（x，y）与变换后的点坐标（x′，y′）．

【训练1】在同一坐标系中，求将曲线y＝sin3x变为曲线y＝sinx的伸缩变换公式.

解　将曲线y＝sin3x①经过伸缩变换变为y＝sinx，即y′＝sinx′②，

设伸缩变换公式是（λ>0，μ>0），

把伸缩变换关系式代入②式得：

μy＝sinλx与①式的系数对应相等得到

所以，变换公式为

考点二　极坐标与直角坐标的互化

【例2】（2019·德阳诊断）已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l过点（－1，0），且斜率为，射线OM的极坐标方程为θ＝.

（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；

（2）已知射线OM与曲线C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，则线段PQ的长.

解　

（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），

∴曲线C的普通方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝2，

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入整理得ρ＋2cosθ－2sinθ＝0，

即曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin.

∵直线l过点（－1，0），且斜率为，

∴直线l的方程为y＝（x＋1），

∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－2ρsinθ＋1＝0.

（2）当θ＝时，|OP|＝2sin＝2，

|OQ|＝＝，

故线段PQ的长为2－＝.

规律方法　1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝（x≠0）．

2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.

【训练2】

（1）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线上，求a的值及直线的直角坐标方程.

（2）把曲线C1：

x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程.

解　

（1）∵点A在直线ρcos＝a上，

∴a＝cos＝，

所以直线的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，

从而直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

（2）将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，

得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，

所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.

考点三　曲线极坐标方程的应用

【例3－1】（2019·太原二模）点P是曲线C1：

（x－2）2＋y2＝4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中点，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2.

（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；

（2）射线θ＝（ρ>0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M（2，0），求△MAB的面积.

解　

（1）由曲线C1的直角坐标方程（x－2）2＋y2＝4可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ.

设Q（ρ，θ），则P，

则有ρ＝4cos＝4sinθ.

所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.

（2）M到射线θ＝（ρ>0）的距离d＝2sin＝，

|AB|＝ρB－ρA＝4＝2（－1），

所以S△MAB＝|AB|×d＝×2（－1）×＝3－.

【例3－2】（2017·全国Ⅱ卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.

（1）设点M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.

解　

（1）设点P的极坐标为（ρ，θ）（ρ>0），M的极坐标为（ρ1，θ）（ρ1>0）.

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ（ρ>0）.

因此C2的直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4（x≠0）.

（2）设点B的极坐标为（ρB，α）（ρB>0）.

由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，

于是△OAB的面积

S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋.

当α＝－时，S取得最大值2＋.

所以△OAB面积的最大值为2＋.

规律方法　求线段的长度有两种方法．方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度．方法二，直接在极坐标系下求解，设A（ρ1，θ1），B（ρ2，θ2），则|AB|＝；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求．

【训练3】

（1）在极坐标系中，求直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长.

（2）（2019·衡阳二模）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B为C上两点，且OA⊥OB，设射线OA：

θ＝α，其中0<α<.

（ⅰ）求曲线C的极坐标方程；

（ⅱ）求|OA|·|OB|的最小值.

解　

（1）由ρsin＝2，得（ρsinθ＋ρcosθ）＝2，可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，

圆心（0，0）到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝2，

由圆中的弦长公式，得弦长

l＝2＝2＝4.

故所求弦长为4.

（2）（ⅰ）将曲线C的参数方程（φ为参数）化为普通坐标方程为＋y2＝1.

因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

所以曲线C的极坐标方程为ρ2＝.

（ⅱ）根据题意：

射线OB的极坐标方程为θ＝α＋或θ＝α－，

所以|OA|＝，

|OB|＝＝，

所以|OA|·|OB|＝

＝≥＝.

当且仅当sin2α＝cos2α，即α＝时，|OA|·|OB|取得最小值为.

[思维升华]

1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：

对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．

2.直角坐标（x，y）化为极坐标（ρ，θ）的步骤：

（1）运用ρ＝，tanθ＝（x≠0）；

（2）在[0，2π）内由tanθ＝（x≠0）求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限（即θ的终边位置）．

[易错防范]

1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．

2．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．

3．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：

（1）注意ρ，θ的取值范围及其影响．

（2）重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.

基础巩固题组

（建议用时：

60分钟）

1.求双曲线C：

x2－＝1经过φ：

变换后所得曲线C′的焦点坐标.

解　设曲线C′上任意一点P′（x′，y′），

由上述可知，得代入x2－＝1，

得－＝1，化简得－＝1，

即－＝1为曲线C′的方程，

可见仍是双曲线，则焦点F1（－5，0），F2（5，0）为所求.

2.（2018·武汉模拟）在极坐标系下，已知圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：

ρsin＝.

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.

解　

（1）圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，

圆O的直角坐标方程为：

x2＋y2＝x＋y，

即x2＋y2－x－y＝0，

直线l：

ρsin＝，

即ρsinθ－ρcosθ＝1，

则直线l的直角坐标方程为：

y－x＝1，即x－y＋1＝0.

（2）由得

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.

3.以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.

（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程.

解　

（1）∵ρ＝，ρsinθ＝y，

∴ρ＝化为ρ－ρsinθ＝2，得ρ2＝（2＋ρsinθ）2，

∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.

（2）设直线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ∈R），

根据题意＝3·，

解得θ0＝或θ0＝，

直线l的极坐标方程θ＝（ρ∈R）或θ＝（ρ∈R）.

4.（2019·安阳二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：

x＋y＝5，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.

（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；

（2）射线OP：

θ＝与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长.

解　

（1）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，直线l：

x＋y＝5，

所以直线l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝5，

化简得2ρsin＝5，即为直线l的极坐标方程.

由ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，

所以x2＋y2＝4y，即x2＋（y－2）2＝4，

即为圆C的直角坐标方程.

（2）由题意得ρA＝4sin＝2，

ρB＝＝5，

所以|AB|＝|ρA－ρB|＝3.

5.（2019·福州四校期末联考）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；

（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.

解　

（1）由曲线C1的参数方程为（α为参数），得曲线C1的普通方程为（x－2）2＋（y－2）2＝1，

则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，

由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝（ρ∈R）.

（2）由得ρ2－（2＋2）ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，

则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，

∴＋＝＝＝.

6.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），曲线C2：

x2＋y2－2y＝0.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：

θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）.

（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；

（2）当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围.

解　

（1）∵∴＋y2＝1，由

得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝；

∵x2＋y2－2y＝0，

∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（2）设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则由

（1）得

|OA|2＝ρ＝，|OB|2＝ρ＝4sin2α，

∴|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4（1＋sin2α）－4，

∵0<α<，∴1<1＋sin2α<2，

∴6<＋4（1＋sin2α）<9，

∴|OA|2＋|OB|2的取值范围为（2，5）.

能力提升题组

（建议用时：

20分钟）

7.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）过原点O的直线l1，l2分别与曲线C交于除原点外的A，B两点，若∠AOB＝，求△AOB的面积的最大值.

解　

（1）曲线C的普通方程为（x－）2＋（y－1）2＝4，

即x2＋y2－2x－2y＝0，

所以，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＝0，即ρ＝4sin.

（2）不妨设A（ρ1，θ），B，θ∈.

则ρ1＝4sin，ρ2＝4sin，

△AOB的面积S＝|OA|·|OB|sin

＝ρ1ρ2sin

＝4sinsin

＝2cos2θ＋≤3.

所以，当θ＝0时，△AOB的面积取最大值3.

8.（2018·厦门外国语中学模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ.

（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若射线l：

y＝kx（x≥0）与曲线C1，C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1，]时，求|OA|·|OB|的取值范围.

解　

（1）曲线C1的直角坐标方程为（x－1）2＋y2＝1，即x2－2x＋y2＝0，将代入并化简得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

由ρcos2θ＝sinθ两边同时乘ρ，得ρ2cos2θ＝ρsinθ，结合得曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.

（2）设射线l：

y＝kx（x≥0）的倾斜角为φ，则射线的极坐标方程为θ＝φ，且k＝tanφ∈（1，].

联立得|OA|＝ρA＝2cosφ，

联立得|OB|＝ρB＝，

所以|OA|·|OB|＝ρA·ρB＝2cosφ·＝2tanφ＝2k∈（2，2]，即|OA|·|OB|的取值范围是（2，2].