初三数学竞赛试题决赛.docx

1、初三数学竞赛试题决赛初三数学竞赛试题（决赛）（时间： 120 分钟 满分： 120 分）一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）1两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油 . 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里 . 这时，设咖啡杯里的奶油量为 a，奶油杯里的咖啡量为 b，那么a 和 b 的大小为（ ）A a b B a b C a b D与勺子大小有关2若2 20072 20082 20082a 2007 ，则关于 a 的说法正确的是（ ）A 是正整数，而且是偶数 B是正整数，而且是奇数C不是正整数，而是无理数 D无法确定2 x x 33方程 (x 1) 1的所有整数解的个

2、数是（ ）A 5 个 B4 个 C3 个 D2 个4如图，直线 l 1： y x 1与直线 l2： （1，2）在（ ）1y x 把平面直角坐标系分成四个部分，点2A 第一部分 B第二部分 C第三部分 D第四部分5方程 | x 3 | 3x | 1的解的个数是（ ）A 1 个 B2 个 C3 个 D4 个yx三1 2二四yO一y x 1 BPA OxC第 4 题 第 6 题6如图，点 P 为弦 AB 上的一点。连接 OP。过点 P 作 PCOP，PC 交O 于 C若 AP8，PB2，则 PC 的长是（ ）A 4 B 2 2 C5 D无法确定二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）2 x2 27

3、已知已知 a 、b 是一元二次方程 x 1 0的两个根，则代数式 3a 2b 3a 2b的值等于 8已知1b a ，81 b2 a2a ，则 a4 a的值为 9如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形 AOCD ，已知 AD3，AO8，OC5，若点 P 在梯形内且 SPADS PAOSPOC，S PCD ，那么点 P 的坐标是 10如图，正方形 ABCD 和正方形 CGEF 的边长分别是 2 和 3，且点 B、C、G 在同一直线上， M 是线段 AE 的中点，连结 MF ，则 MF 的长为 yA D3AFDME8B5 G CO C x第 9 题 第 10 题11军训基地购买苹果慰问学员，已知苹

4、果总数用八进位制表示为 abc，七进位制表示为c b a，那么苹果的总数用十进位制表示为 2 bx c a12若二次函数 y ax ( 0)的图象的顶点在第一象限，且过点（ 0，1）和（ 1，0）则 S a b c的值的变化范围是 三、解答题（每小题 15 分，共 60 分）13已知 A 港在 B 港的上游，小船于凌晨 3：00 从 A 港出发开往 B 港，到达后立即返回，来回穿梭于 A、B 港之间， 若小船在静水中的速度为 16 千米小时，水流速度为 4 千米小时，在当晚 23：00 时，有人看见小船在距离 A 港 80 千米处行驶求 A、B 两个港口之间的距离14如图， RtABC 的内切

5、圆 O 和斜边 BC 的切点为 T，求证： BT TCSABCBTO AC15已知：关于 x 的方程2 2 2 0x m x m 有两个符号不同的实数根 x1 ， x2 ，且x x2 0；关于 x 的方程12 2 2 3 0mx n x m 有两个有理数根且两根之积等于 2求整数 n 的值16已知二次函数2 2 2y x mx n （1）若此二次函数的图象经过点（ 1，1），且记 m，n 4两数中较大者为 P，试求 P的最小值（2）若 m，n 变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定点的坐标参考答案一、

6、选择题1C 2 B 3B 4B 5B 6A二、填空题75 832917( ， 3) 1082211220 120 S2三、解答题13设两港口之间距离为 S，则 S 80 233=20（小时） 则小船行驶 AB 间一周的时间不小于80 80 2 1016 4 16 4 3（小时） 小船为行驶一周后，由再出行 80 千米或还差80 千米行驶一周，又或还差80千米行驶 2 周 （ 5 分）（ 1）第一种情况：S S 8020 , S 120（千米） （ 8 分）20 12 20 （ 2）情况二S S8020 12（ 3）情况三20, S 200 （千米） （ 11 分）2S 2S 8020 1220

7、, S 100 （千米） （ 14 分）综上所述， A 、B 两港口之间的距离可能是100 千米或 120 千米或 200 千米 （15 分)14证明：如图，设 AB 切 O 于 E，AC 切 O 于 F，连结OE、OF 、OT O 为 ABC 的内切圆，切点分别为 T、E、F，BTBE、AEAF、CFCT1BT (21BCBAAC ) ，CT (2CACBAB) ，1BT CT BC (BA AC ) BC (BA CA)41 2 2 1 2 2 2 BC ( BA AC) BC ( AB AC4 42AB AC )B2 2 2BC AB AC ， 1BT CT AB AC S ABC2TO

8、E15由方程知：A C Fx1 x2 0， x1 x2 0 x10， x2 0 （3 分）2m 2 8 0 x1 x2 m 2 0 x1 x2 m 2 0 2m2 （6 分）由方程知：2 3mm22 2 3 0m m m 3（舍去）， m 1（8 分）代入得：2 ( 2) 2 0x n x方程的两根为有理数，2 2n 2 8 k ，其中 k 为正整数，2 2n 2 k 8即 n 2 k n 2 k 8 （ 11 分）因为 n，k 均为整数，所以 n 2 k 与 n 2 k 的奇偶性相同，且 n 2 k n 2 k ，n 2 k 4n 2 k 2或n 2 k 2n 2 k 4 n 5或 n 1

9、（15 分）16 （ 1）由过点（ 1， 1）得到：2nm 2要比较m，n4 的的大小，即：m (n 4)2n2(n4)12(2n2n8)12(n4)(n2)2n2(n 2或n 4) P （ 5 分）n 4 ( 2 n 4)如图所示，当n 2时， 2P （ 8 分）min（2）图象与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为 A（x1，0），B（ x2， 0），2） C（0， n 2，若 n 0，则与三个交点不符， x1x2 n20， x1，x2 分布在又 x1x2 n原点左右两侧 （ 10 分）2 又 | | 1x1 x n ，存在点 P0（0，1）使得 |OA | |OB| |OP0| |OC |，2所以 A，B，C，P 四点共圆，这些抛物线必过定点 P0（0，1） （ 15 分）