1、初三数学竞赛试题决赛初三数学竞赛试题(决赛)(时间: 120 分钟 满分: 120 分)一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)1两杯等量的液体,一杯是咖啡,一杯是奶油 . 舀一勺奶油到咖啡杯里,搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里 . 这时,设咖啡杯里的奶油量为 a,奶油杯里的咖啡量为 b,那么a 和 b 的大小为( )A a b B a b C a b D与勺子大小有关2若2 20072 20082 20082a 2007 ,则关于 a 的说法正确的是( )A 是正整数,而且是偶数 B是正整数,而且是奇数C不是正整数,而是无理数 D无法确定2 x x 33方程 (x 1) 1的所有整数解的个
2、数是( )A 5 个 B4 个 C3 个 D2 个4如图,直线 l 1: y x 1与直线 l2: (1,2)在( )1y x 把平面直角坐标系分成四个部分,点2A 第一部分 B第二部分 C第三部分 D第四部分5方程 | x 3 | 3x | 1的解的个数是( )A 1 个 B2 个 C3 个 D4 个yx三1 2二四yO一y x 1 BPA OxC第 4 题 第 6 题6如图,点 P 为弦 AB 上的一点。连接 OP。过点 P 作 PCOP,PC 交O 于 C若 AP8,PB2,则 PC 的长是( )A 4 B 2 2 C5 D无法确定二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)2 x2 27
3、已知已知 a 、b 是一元二次方程 x 1 0的两个根,则代数式 3a 2b 3a 2b的值等于 8已知1b a ,81 b2 a2a ,则 a4 a的值为 9如图,在平面直角坐标系内放置一个直角梯形 AOCD ,已知 AD3,AO8,OC5,若点 P 在梯形内且 SPADS PAOSPOC,S PCD ,那么点 P 的坐标是 10如图,正方形 ABCD 和正方形 CGEF 的边长分别是 2 和 3,且点 B、C、G 在同一直线上, M 是线段 AE 的中点,连结 MF ,则 MF 的长为 yA D3AFDME8B5 G CO C x第 9 题 第 10 题11军训基地购买苹果慰问学员,已知苹
4、果总数用八进位制表示为 abc,七进位制表示为c b a,那么苹果的总数用十进位制表示为 2 bx c a12若二次函数 y ax ( 0)的图象的顶点在第一象限,且过点( 0,1)和( 1,0)则 S a b c的值的变化范围是 三、解答题(每小题 15 分,共 60 分)13已知 A 港在 B 港的上游,小船于凌晨 3:00 从 A 港出发开往 B 港,到达后立即返回,来回穿梭于 A、B 港之间, 若小船在静水中的速度为 16 千米小时,水流速度为 4 千米小时,在当晚 23:00 时,有人看见小船在距离 A 港 80 千米处行驶求 A、B 两个港口之间的距离14如图, RtABC 的内切
5、圆 O 和斜边 BC 的切点为 T,求证: BT TCSABCBTO AC15已知:关于 x 的方程2 2 2 0x m x m 有两个符号不同的实数根 x1 , x2 ,且x x2 0;关于 x 的方程12 2 2 3 0mx n x m 有两个有理数根且两根之积等于 2求整数 n 的值16已知二次函数2 2 2y x mx n (1)若此二次函数的图象经过点( 1,1),且记 m,n 4两数中较大者为 P,试求 P的最小值(2)若 m,n 变化时,它们的图象是不同的抛物线,如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点,过这三个交点作圆,证明这些圆都经过同一定点,并求出这个定点的坐标参考答案一、
6、选择题1C 2 B 3B 4B 5B 6A二、填空题75 832917( , 3) 1082211220 120 S2三、解答题13设两港口之间距离为 S,则 S 80 233=20(小时) 则小船行驶 AB 间一周的时间不小于80 80 2 1016 4 16 4 3(小时) 小船为行驶一周后,由再出行 80 千米或还差80 千米行驶一周,又或还差80千米行驶 2 周 ( 5 分)( 1)第一种情况:S S 8020 , S 120(千米) ( 8 分)20 12 20 ( 2)情况二S S8020 12( 3)情况三20, S 200 (千米) ( 11 分)2S 2S 8020 1220
7、, S 100 (千米) ( 14 分)综上所述, A 、B 两港口之间的距离可能是100 千米或 120 千米或 200 千米 (15 分)14证明:如图,设 AB 切 O 于 E,AC 切 O 于 F,连结OE、OF 、OT O 为 ABC 的内切圆,切点分别为 T、E、F,BTBE、AEAF、CFCT1BT (21BCBAAC ) ,CT (2CACBAB) ,1BT CT BC (BA AC ) BC (BA CA)41 2 2 1 2 2 2 BC ( BA AC) BC ( AB AC4 42AB AC )B2 2 2BC AB AC , 1BT CT AB AC S ABC2TO
8、E15由方程知:A C Fx1 x2 0, x1 x2 0 x10, x2 0 (3 分)2m 2 8 0 x1 x2 m 2 0 x1 x2 m 2 0 2m2 (6 分)由方程知:2 3mm22 2 3 0m m m 3(舍去), m 1(8 分)代入得:2 ( 2) 2 0x n x方程的两根为有理数,2 2n 2 8 k ,其中 k 为正整数,2 2n 2 k 8即 n 2 k n 2 k 8 ( 11 分)因为 n,k 均为整数,所以 n 2 k 与 n 2 k 的奇偶性相同,且 n 2 k n 2 k ,n 2 k 4n 2 k 2或n 2 k 2n 2 k 4 n 5或 n 1
9、(15 分)16 ( 1)由过点( 1, 1)得到:2nm 2要比较m,n4 的的大小,即:m (n 4)2n2(n4)12(2n2n8)12(n4)(n2)2n2(n 2或n 4) P ( 5 分)n 4 ( 2 n 4)如图所示,当n 2时, 2P ( 8 分)min(2)图象与坐标轴有三个不同的交点,可设交点坐标为 A(x1,0),B( x2, 0),2) C(0, n 2,若 n 0,则与三个交点不符, x1x2 n20, x1,x2 分布在又 x1x2 n原点左右两侧 ( 10 分)2 又 | | 1x1 x n ,存在点 P0(0,1)使得 |OA | |OB| |OP0| |OC |,2所以 A,B,C,P 四点共圆,这些抛物线必过定点 P0(0,1) ( 15 分)
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