初三数学竞赛试题决赛.docx
《初三数学竞赛试题决赛.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三数学竞赛试题决赛.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
初三数学竞赛试题决赛
初三数学竞赛试题（决赛）
（时间：
120分钟满分：
120分）
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油.舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混
合液注入到奶油杯里.这时，设咖啡杯里的奶油量为a，奶油杯里的咖啡量为b，那么
a和b的大小为（）
A．abB．abC．abD．与勺子大小有关
2．若
2200722008220082
a2007，则关于a的说法正确的是（）
A．是正整数，而且是偶数B．是正整数，而且是奇数
C．不是正整数，而是无理数D．无法确定
2xx3
3．方程（x1）1的所有整数解的个数是（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
4．如图，直线l1：
yx1与直线l2：
（－1，2）在（）
1
yx把平面直角坐标系分成四个部分，点
2
A．第一部分B．第二部分C．第三部分D．第四部分
5．方程||x3|3x|1的解的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
y
x
三
1
2
二
四
y
O
一
yx1B
P
AO
x
C
第4题第6题
6．如图，点P为弦AB上的一点。
连接OP。
过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C．若AP
＝8，PB＝2，则PC的长是（）
A．4B．22C．5D．无法确定
二、填空题（每小题5分，共30分）
2x
22
7．已知已知a、b是一元二次方程x10的两个根，则代数式3a2b3a2b
的值等于．
8．已知
1
ba，
8
1b
2a
2a，则a
4a
的值为．
9．如图，在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD，已知AD＝3，AO＝8，OC＝5，
若点P在梯形内且S△PAD＝S△PAO＝S
△POC，S△PCD，那么点P的坐标是．
10．如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B、C、G在同一直
线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为．
y
AD
3
A
F
D
M
E
8
B
5G
C
OCx
第9题第10题
11．军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进位制表示为abc，七进位制表示为
cba，那么苹果的总数用十进位制表示为．
2bxca
12．若二次函数yax（0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和
（－1，0）．则Sabc的值的变化范围是．
三、解答题（每小题15分，共60分）
13．已知A港在B港的上游，小船于凌晨3：
00从A港出发开往B港，到达后立即返回，
来回穿梭于A、B港之间，若小船在静水中的速度为16千米／小时，水流速度为4千
米／小时，在当晚23：
00时，有人看见小船在距离A港80千米处行驶．求A、B两
个港口之间的距离．
14．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O和斜边BC的切点为T，求证：
BT·TC＝S△ABC．
B
T
·
O
A
C
15．已知：
关于x的方程①
2220
xmxm有两个符号不同的实数根x1，x2，
且
x＞x2＞0；关于x的方程②
1
22230
mxnxm有两个有理数根且两根
之积等于2．求整数n的值．
16．已知二次函数
222
yxmxn．
（1）若此二次函数的图象经过点（1，1），且记m，n4两数中较大者为P，试求P
的最小值．
（2）若m，n变化时，它们的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三
个不同的交点，过这三个交点作圆，证明这些圆都经过同一定点，并求出这个定
点的坐标．
参考答案
一、选择题
1．C2．B3．B4．B5．B6．A
二、填空题
7．58．
3
2
9．
17
（，3）10．
8
2
2
11．22012．0＜S＜2
三、解答题
13．设两港口之间距离为S，则S80．
23－3=20（小时）．则小船行驶AB间一周的时间不小于
80802
10
1641643
（小时）．
∴小船为行驶一周后，由再出行80千米或还差80千米．行驶一周，又或还差80
千米行驶2周．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）
（1）第一种情况：
SS80
20,S120（千米）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）
201220
（2）情况二
SS
80
2012
（3）情况三
20,S200（千米）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）
2S2S80
2012
20,S100（千米）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）
综上所述，A、B两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米．（15分）
14．证明：
如图，设AB切⊙O于E，AC切⊙O于F，连结OE、OF、OT．
∵⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为T、E、F，
∴BT＝BE、AE＝AF、CF＝CT
1
∴BT＝（
2
1
BC＋BA－AC），CT＝（
2
CA＋CB－AB），
∴
1
BTCT[BC（BAAC）][BC（BACA）]
4
1221222
[BC（BAAC）][BC（ABAC
44
2ABAC）]
B
222
∵
BCABAC，
∴1
BTCTABACS．
ABC
2
T
O
E
15．由方程①知：
ACF
∵
x1x20，x1＞x2＞0∴x1＞0，x20··················（3分）
∵△＝
2
m280∴x1x2m20x1x2m20
∴－2＜m＜2·······························································（6分）
由方程②知：
23
m
m
2
∴
2230
mm∴m3（舍去），m1（8分）
代入②得：
2
（2）20
xnx
∵方程的两根为有理数，
∴△＝
22
n28k，其中k为正整数，
∴△＝
22
n2k8
即n2kn2k8．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）
因为n，k均为整数，所以n2k与n2k的奇偶性相同，
且n2k＞n2k，
∴
n2k4
n2k2
或
n2k2
n2k4
∴n5或n1（15分）
16
（1）由过点（1，1）得到：
2
n
m．
2
要比较m，n＋4的的大小，即：
m（n4）
2
n
2
（
n
4）
1
2
（
2
n
2n
8）
1
2（n
4）（n
2）
2
n
2
（n2或n4）
∴P
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）
n4（2n4）
如图所示，当n2时，2
P．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）
min
（2）图象与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为A（x1，0），B（x2，0），
2）．C（0，－n
2，若n＝0，则与三个交点不符，∴x1x2＝－n2＜0，∴x1，x2分布在
又x1x2＝－n
原点左右两侧．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）
2又∵||1
x1xn，∴存在点P0（0，1）使得|OA|·|OB|＝|OP0|·|OC|，
2
所以A，B，C，P四点共圆，这些抛物线必过定点P0（0，1）．⋯⋯（15分）
升级会员 