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初三数学竞赛试题决赛

初三数学竞赛试题(决赛)

(时间:

120分钟满分:

120分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.两杯等量的液体,一杯是咖啡,一杯是奶油.舀一勺奶油到咖啡杯里,搅匀后舀一勺混

合液注入到奶油杯里.这时,设咖啡杯里的奶油量为a,奶油杯里的咖啡量为b,那么

a和b的大小为()

A.abB.abC.abD.与勺子大小有关

2.若

2200722008220082

a2007,则关于a的说法正确的是()

A.是正整数,而且是偶数B.是正整数,而且是奇数

C.不是正整数,而是无理数D.无法确定

2xx3

3.方程(x1)1的所有整数解的个数是()

A.5个B.4个C.3个D.2个

4.如图,直线l1:

yx1与直线l2:

(-1,2)在()

1

yx把平面直角坐标系分成四个部分,点

2

A.第一部分B.第二部分C.第三部分D.第四部分

5.方程||x3|3x|1的解的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

y

x

1

2

y

O

yx1B

P

AO

x

C

第4题第6题

6.如图,点P为弦AB上的一点。

连接OP。

过点P作PC⊥OP,PC交⊙O于C.若AP

=8,PB=2,则PC的长是()

A.4B.22C.5D.无法确定

二、填空题(每小题5分,共30分)

2x

22

7.已知已知a、b是一元二次方程x10的两个根,则代数式3a2b3a2b

的值等于.

8.已知

1

ba,

8

1b

2a

2a,则a

4a

的值为.

9.如图,在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD,已知AD=3,AO=8,OC=5,

若点P在梯形内且S△PAD=S△PAO=S

△POC,S△PCD,那么点P的坐标是.

10.如图,正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3,且点B、C、G在同一直

线上,M是线段AE的中点,连结MF,则MF的长为.

y

AD

3

A

F

D

M

E

8

B

5G

C

OCx

第9题第10题

11.军训基地购买苹果慰问学员,已知苹果总数用八进位制表示为abc,七进位制表示为

cba,那么苹果的总数用十进位制表示为.

2bxca

12.若二次函数yax(0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和

(-1,0).则Sabc的值的变化范围是.

三、解答题(每小题15分,共60分)

13.已知A港在B港的上游,小船于凌晨3:

00从A港出发开往B港,到达后立即返回,

来回穿梭于A、B港之间,若小船在静水中的速度为16千米/小时,水流速度为4千

米/小时,在当晚23:

00时,有人看见小船在距离A港80千米处行驶.求A、B两

个港口之间的距离.

14.如图,Rt△ABC的内切圆⊙O和斜边BC的切点为T,求证:

BT·TC=S△ABC.

B

T

·

O

A

C

15.已知:

关于x的方程①

2220

xmxm有两个符号不同的实数根x1,x2,

x>x2>0;关于x的方程②

1

22230

mxnxm有两个有理数根且两根

之积等于2.求整数n的值.

16.已知二次函数

222

yxmxn.

(1)若此二次函数的图象经过点(1,1),且记m,n4两数中较大者为P,试求P

的最小值.

(2)若m,n变化时,它们的图象是不同的抛物线,如果每条抛物线与坐标轴都有三

个不同的交点,过这三个交点作圆,证明这些圆都经过同一定点,并求出这个定

点的坐标.

参考答案

一、选择题

1.C2.B3.B4.B5.B6.A

二、填空题

7.58.

3

2

9.

17

(,3)10.

8

2

2

11.22012.0<S<2

三、解答题

13.设两港口之间距离为S,则S80.

23-3=20(小时).则小船行驶AB间一周的时间不小于

80802

10

1641643

(小时).

∴小船为行驶一周后,由再出行80千米或还差80千米.行驶一周,又或还差80

千米行驶2周.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)

(1)第一种情况:

SS80

20,S120(千米).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8分)

201220

(2)情况二

SS

80

2012

(3)情况三

20,S200(千米)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(11分)

2S2S80

2012

20,S100(千米).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(14分)

综上所述,A、B两港口之间的距离可能是100千米或120千米或200千米.(15分)

14.证明:

如图,设AB切⊙O于E,AC切⊙O于F,连结OE、OF、OT.

∵⊙O为△ABC的内切圆,切点分别为T、E、F,

∴BT=BE、AE=AF、CF=CT

1

∴BT=(

2

1

BC+BA-AC),CT=(

2

CA+CB-AB),

1

BTCT[BC(BAAC)][BC(BACA)]

4

1221222

[BC(BAAC)][BC(ABAC

44

2ABAC)]

B

222

BCABAC,

∴1

BTCTABACS.

ABC

2

T

O

E

15.由方程①知:

ACF

x1x20,x1>x2>0∴x1>0,x20··················(3分)

∵△=

2

m280∴x1x2m20x1x2m20

∴-2<m<2·······························································(6分)

由方程②知:

23

m

m

2

2230

mm∴m3(舍去),m1(8分)

代入②得:

2

(2)20

xnx

∵方程的两根为有理数,

∴△=

22

n28k,其中k为正整数,

∴△=

22

n2k8

即n2kn2k8.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(11分)

因为n,k均为整数,所以n2k与n2k的奇偶性相同,

且n2k>n2k,

n2k4

n2k2

n2k2

n2k4

∴n5或n1(15分)

16

(1)由过点(1,1)得到:

2

n

m.

2

要比较m,n+4的的大小,即:

m(n4)

2

n

2

n

4)

1

2

2

n

2n

8)

1

2(n

4)(n

2)

2

n

2

(n2或n4)

∴P

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)

n4(2n4)

如图所示,当n2时,2

P.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8分)

min

(2)图象与坐标轴有三个不同的交点,可设交点坐标为A(x1,0),B(x2,0),

2).C(0,-n

2,若n=0,则与三个交点不符,∴x1x2=-n2<0,∴x1,x2分布在

又x1x2=-n

原点左右两侧.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分)

2又∵||1

x1xn,∴存在点P0(0,1)使得|OA|·|OB|=|OP0|·|OC|,

2

所以A,B,C,P四点共圆,这些抛物线必过定点P0(0,1).⋯⋯(15分)

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