完整版北大版金融数学引论第二章答案DOC.docx

1、完整版北大版金融数学引论第二章答案DOC第二章习题答案1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X。解：S=1000s20p7%+Xs10p7%X=500001000s =651.72s10p7%20 p7%2.价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X，则有10000=X+250a48p1.5%解得 X=1489.363.设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1。试计算该年金的现值。解： nPV =

2、nanpi1vnn= n 1= (n+1)nn2nn+2(n+1)n4已知：anp =X，a2np =Y。试 1用X和Y表示d。解：a2np =anp +anp (1d)n则Y Xd=1( X )n5已知：a7p =5.58238,a11p=7.88687,a18p=10.82760。计算i。解：解得6.证明： 11v10=10p+ap 。ss10pa18p =a7p +a11pv7 i=6.0%北京大学数学科学学院金融数学系 第1页证明： s10p +ap (1+i)101+1 1s = i10i = 1v1010 p(1+i) 1i7.已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值

3、：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：PV =100a8p3% +100a20p3% =2189.7168.某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日100025p8%=X15p7%解得9.已知贴现率为10%，计算8p。解：d=10%，则 i=1X=8101.65=5.695310.求证：(1)np =anp+1vn；(2)np =snp1d 1=198p=(1+i)1v8i+1 n1+

4、(1+i)n i v并给出两等式的实际解释。证明：(1)np=1dvn=1ivn=1vn 所以(2)np=(1+i)n11+inp =anp +1vn(1+i)n1=(1+i)n1= in1d 1+i i +(1+i)所以np =snp 1+(1+i)n12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解：PV =100a49p1.5% 100a2p1.5% =3256.88AV =100s49p1.5% 100s2p1.5% =6959.3713.现有价值相等的两种

5、期末年金A和B。年金A在第110年和第2130年中每年1元，在第1120年中每年2元；年金B在第110年和第2130年中每年付款金额为Y，在第1120年中没有。已知：v10=1，计算Y 。解：因两种年金价值相等，则有 2a30pi+a10piv10=Ya30piYa10piv10所以 Y =3v102v301+v102v30=1.814.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。计算i。解：由题意知，2a2npi+3anpi =36 2anpivn=6解得 a p +s p i=8.33%315.已a7p=X。求 ，Y和

6、Z。知 a11paYp X+sZp解：由题意得解得1v71v11= (1+i)Xv3 (1+i)ZvY16.化简a15p (1+v15+v30)。解：X=4,Y =7,Z=4a p (1+v15+v30)=a p北京大学数学科学学院金融数学系 第3页17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解：年金在4月1日的价值为P=1+4.4.5%2000=46444.44，则5%PV = P (1+i)2+23=41300.65718.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。解：设递延时间为t，有 1解得t=ln(1+lniP

7、i)P = i vt19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。解：设年实利率为i，由两年金的现值相等，X 有100020pi= i v29解得 X=1000(1+i)30(1+i)10)20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1+i)n。解：设遗产为，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值为i3anpi，而D得到遗产的现值为vn。由题意得所以 1vn3(1+i)n=4=vn21.永久期末年金

8、有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二个n年，C接受第三个n年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49， 求B与D的份额之比。版权所有，翻版必究解：由题意知那么PVC PVA PVB= anpv2n anp anpvn=0.49=0.6113nPVD iv22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。100anp4.5%v4列价值方程解得 100a16p4.5%+Xv21=1000 X=146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等

9、。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。解：两年金现值相等，则4a36pi=518，可知v18=0.25由题意，(1+i)n=2 解得n=924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。解：由题意可得方程解得25.已知a2pi=1.75，求 i。解：由题意得解得100a60p1% =6000(1+i)kk=291v2=1.75ii=9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解：27.某人在银行中存入

10、一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元， 且第十年底的余额为一万元，计算K。解：由题意可得价值方程10000=105Ka2p4%v3+Ka2p4% +10000v10则 K= 1000010000v10105a2p4%v3+a2p4%v5 =979.9428.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程1P(1+i)2=X+2Xa4pi+2Xa5pj (1+i)4所以P(1+

11、i)12X=1+2a4pi+2a5pj (1+i)429.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。（缺命令）解：PV =4400+4600v5=11466.1431.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解： 1(1+ )241= a aPV = sa24piv3=i(1+i)128 p 4p4 27(1+i)4pis

12、3p +s1p北京大学数学科学学院金融数学系 第6页33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。解：设年实利率为i，则(1+2%)2=1+i。有题意得75 7500 + s i =Ra30pii 20 pi解得 R=1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。解：由题意知解得 i=20%1 =is3pi1259135.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。解：由题意得解得 R=1.95 20=1 = Rd a2pi i36.已知

13、每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。解：设贴现率为d，则1+i(2)2= 1(1d)12设递延时间为t，由题意得 10000=2500vt(2)p1t=解得 ln20+ln(1(1d)2) ln(1d)37. 计算：3a(2)np =2a(2)2np =45s(2)1p ，计算i。解： i i3anpi=2anpi=45i s1pi解得：vn=1,i=1 i(2)。i2 i22 30北京大学数学科学学院金融数学系 第7页38.已知i(4)=16%。计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元，共12年。（问题）解：39.已知：t=1+1t。求np 的

14、表达式。n解： p=n eR0tsdsdt=ln(1+n)040.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。解：第一种年金的现值为 vtdt= 1e10 第二种年金的现值为et， 则所以 t=1+1lni1e =et41.已知：=0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）解：设季度实利率为i。因a(t)=et，则e14 =(1+i)所以1v80PV =10080pi=100(1+i)i =4030.5342.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元

15、的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？解：设年实利率为i，则i=e1设基金可维持t年，由两现值相等得40000=2400atpi解得 t=28北京大学数学科学学院金融数学系 第8页43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，.。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。解：由题意： 11 13(1+i)6=(1+i)7i=112PV =v+3v2+(2n1)vn+=v1+PV +2(v+v2+ )=v(1+PV +2v 1v)解得:PV =6644.给出现值表达式Aanp +B(Da)n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次100元，

16、然后每次减少3元。解：年金序列：A+nB,A+(n1)B,. ,A+2B,A+B所求为25a25p+3(Da)25|45. 某期末年金（半年一次）为：800,750,700,. ,350。已知半年结算名利率为16。若记：A=a10p8%，试用A表示这个年金的现值。解：考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：2(10A)300a10p8% i(2) =6250325A+500(Da)10|8%=300A+46.年利率8的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5。计算第十年底的余额。解：由题意：AV =1000s5p8% (1+8%)6+(10001.051.085

17、+ 10001.0521.084+10001.0551.08)=100 (1+8%)510 8%1.086+10001.051.0851.08)51.051.08=16606.7247.已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:v4100北京大学数学科学学院金融数学系 ivd 第9页解：把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金.。从而PV =v4 100 1 1 =100v4 1 1 =100 v4i a2 i i1v2 ivdpi48.十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日

18、200元；7月1日300元；10月1日400元。证明其现值为：160010p (I(4)(4)1| 元证：首先把一年四次的付款折到年初：m=4,n=1,R=100m2=1600从而每年初当年的年金现值：1600(I(4)(4)元再贴现到开始时： 1|160010p (I(4)(4)1| 元49.从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3，年利率8，计算现值。解：半年的实利率：j=(1+8%)12 1=3.923%PV =1+1.03 + 1.032 +1+j (1+j)21.03=(1 1+j )1=112.5950.某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元

19、，共计4年。证明当前的准备金为：60004p (12)9/12|证：首先把9个月的支付贴现到年初：m=12,n=9/12,R=500m=6000从而每年初当年的年金现值：贴现到当前：北京大学数学科学学院金融数学系6000(12)9/12|60004p (12)9/12| 第10页51.现有如下的永久年金：第一个k年每年底还；第二个k年每年底还2R；第三个k年每年底还3R；依此类推。给出现值表达式。解：把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金(n=0,1,2,): 每个年金的值为在分散在每个k年的区段里： 再按标准永久年金求现值：RapRa| ak|R(a|)2 ak|52.X表示首次付款

20、从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款从第三年底开始的永久年金：1,2,3,的现值。计算贴现率。解：由题意：X=11i1+i 1 120X=(1解得：i=0.05 i+i2)(1+i)2即：d=i 1+i=0.0476253.四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v4=0.75，计算现值。与原答案有出入解：(期初年金)PV =1+6v4+11v9+=(期末年金)(5n4)v(4n4)=i=15(1v4)241v4=64PV =v+6v5+11v10+=vPV=59.558754.永久连续年金的年金函数为:(1+k)t，年利率i，如果：0ki，计算该年金现值。与原答案有出入

21、解：由于0kqi不存在, pqp + q +2 q =0(2)令f(i)=pi qi qi2 i2 i3f0(i)=解得：i=2qpq pq58.某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单价增加X。如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年 增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X为多少？(缺少利率?下面的计算年利率i=5%)(与原答案有出入)解：用9年一周期的产品，则有支付的现值为：PV1=21+( 1.041.05)9+( 1.041.05)18+( 1.041.05)27用15年一周期的产品，则有支付的现值为：1.041.04PV2=(2+X

22、)1+(1.0 )15+( 1.0 )30由PV1=PV2有：X=0.6992 5 559.计算m+n年的标准期末年金的终值。已知：前m年年利率7%，后n年年利率11%，smp7% =34,snp11% =128。解：由snp 的表达式有：(1+0.11)n=0.11snp11%+1AV = smp7%(1+0.11)n+snp11%= smp7%(0.11snp11% +1)+snp11%=640.72北京大学数学科学学院金融数学系 第13页60.甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元

23、的价格将所有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B股票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同，分别对n=15,20两种情况计算乙的股票出售价格。解：设X为买价，有价值方程：从而有：解得：X=0.4s10p6% +2=0.8sn10|6%+X(1+0.06)(n10) X=(0.4s10p6%+20.8sn10|6%)(1+0.06)(n10)5.22 n=152.48 n=2061.某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30

24、日和12月31日用半年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。解：由题意：AV =100000(1+4%)20+5000 s20p4% 12000(1+4%)s20p4% =109926.021s2p4%s2p4%62.已知贷款L经过N（偶数）次、每次K元还清，利率i。如果将还贷款次数减少一半，记每次的还款为K1，试比较K1与2K的大小。解：由题意：1K1ampi =Ka2mpi K1=K1+ (1+i)m v2 N即：MN/2

25、M piN pi2第14页北京大学数学科学学院金融数学系64.从1990年的元旦开始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%，问： 什么时刻，余额首次超过一万元、十万元。解：半年实利率：i=(1+6%)1/21=2.9563%余额首次超过X的时刻：5002n|i X8X=10000从而解得：n35 X=10000065.帐户A从1985年元旦开始每年初存款1000元，共计10年；帐户B从1985年元旦开始每年初存款500元；两帐户年利率均为5%。问：何时帐户B的余额首次超过帐户A。解：由题意，设所求时间为n:100010p5% 500np5%解得：n130故在2015年的元旦B超过A。66.已知A=sn|i,B=sn+1|i。用A和B给出n和i的表达式。解：由=(1+i)n1得：(1+i)A=B1i从而i=BA1A ln(A2 +1)带入sn|i=A解得：n=B2A1ln(B1A)67.分别对以下三种情况给出i的表达式: 1)A=anpi,B=snpi2)A=anpi,B=a2npi3)A=anpi,B=s2n