完整版北大版金融数学引论第二章答案DOC.docx

完整版北大版金融数学引论第二章答案DOC.docx

《完整版北大版金融数学引论第二章答案DOC.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版北大版金融数学引论第二章答案DOC.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

完整版北大版金融数学引论第二章答案DOC

第二章习题答案

1.某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。

如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。

计算X。

解：

S=1000s20¬p7%+Xs10¬p7%

X=

50000−1000s¬

=651.72

s10¬p7%

20p7%

2.价值10,000元的新车。

购买者计划分期付款方式：

每月底还250元，期限4年。

月结算名利率18%。

计算首次付款金额。

解：

设首次付款为X，则有

10000=X+250a48¬p1.5%

解得X=1489.36

3.设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1。

试计算该年金的现值。

解：

n

PV=na¬npi

1−vn

n

=n1

=（n+1）nn2−nn+2

（n+1）n

4．已知：

a¬np=X，a2¬np=Y。

试1

用X和Y表示d。

解：

a2¬np=a¬np+a¬np（1−d）n则

Y−X

d=1−（X）n

5．已知：

a¬7p=5.58238,a11¬p=7.88687,a18¬p=10.82760。

计算i。

解：

解得

6.证明：

1

1−v10=

10¬p+a∞¬p。

s

s10¬p

a18¬p=a¬7p+a11¬pv7i=6.0%

北京大学数学科学学院金融数学系第1页

证明：

s10¬p+a∞¬p（1+i）10−1+11

s¬

=i

10

i=1−v10

10p

（1+i）−1

i

7.已知：

半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：

开始4年每半年200元，然后减为每次100元。

解：

PV=100a¬8p3%+100a20¬p3%=2189.716

8.某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。

然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。

设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。

计算每年的退休金。

解：

设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日

1000¨25¬p8%=X¨15¬p7%

解得

9.已知贴现率为10%，计算¨¬8p

。

解：

d=10%，则i=1

X=8101.65

=5.6953

10.求证：

（1）¨¬np=a¬np

+1−vn；

（2）¨¬np=s¬−np

1−d−1=19

¨¬8p

=（1+i）

1−v8

i

+1n

1+（1+i）ni−v

并给出两等式的实际解释。

证明：

（1）¨¬np

=1−dvn=1−ivn=1−vn

所以

（2）¨¬np

=（1+i）n−1

1+i

¨¬np=a¬np+1−vn

（1+i）n−1=（1+i）n−1

=i

n−1

d1+ii+（1+i）

所以

¨¬np=s¬−np1+（1+i）n

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：

1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。

解：

PV=100a49¬p1.5%−100a¬2p1.5%=3256.88

AV=100s49¬p1.5%−100s¬2p1.5%=6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金A和B。

年金A在第1－10年和第21－30年中每

年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y，在第11－20年中没有。

已知：

v10=1，计算Y。

解：

因两种年金价值相等，则有2

a30¬pi+a10¬piv10=Ya30¬−piYa10¬piv10

所以Y=3−v10−2v30

1+v10−2v30=1.8

14.已知年金满足：

2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另

外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。

计算i。

解：

由题意知，

2a2¬npi+3a¬npi=362a¬npivn=6

解得a¬p+s¬pi=8.33%

3

15.已

a¬7p=

X

。

求，Y和Z。

知a11¬

p

aY¬pX

+sZ¬p

解：

由题意得解得

1−v7

1−v11

=（1+i）X−v3（1+i）Z−vY

16.化简a15¬p（1+v15+v30）。

解：

X=4,Y=7,Z=4

a¬p（1+v15+v30）=a¬p

北京大学数学科学学院金融数学系第3页

17.计算下面年金在年初的现值：

首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。

解：

年金在4月1日的价值为P

=1+4.4.5%×2000=46444.44，则

5%

PV=P（1+i）2+23

=41300.657

18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。

解：

设递延时间为t，有1

解得

t=−ln（1+lniPi）

P=ivt

19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。

从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。

计算X。

解：

设年实利率为i，由两年金的现值相等，X有

1000¨20¬pi=iv29

解得X=1000（（1+i）30−（1+i）10）

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：

前n年，A、B和C三人

平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。

如果四人的遗产份额的现值相

同。

计算（1+i）n。

解：

设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值

为i

3a¬np

i

，而D得到遗产的现值为vn。

由题意得

所以1−vn

3

（1+i）n=4

=vn

21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二

个n年，C接受第三个n年，D接受所有剩余的。

已知：

C与A的份额之比为0.49，求B与D的份额之比。

版权所有，翻版必究解：

由题意知

那么

PVCPVAPVB

=a¬np

v2na¬npa¬np

vn

=0.49

=0.61

13n

PVDiv

22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。

计算最后一次还款的数量和时间。

100a¬np4.5%v4<1000

解：

100a+1¬p4.5%v4

1000解得n=17

n>

列价值方程

解得100a16¬p4.5%+Xv21=1000X=146.07

23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。

如果

以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。

解：

两年金现值相等，则4×a36¬pi=5×18，可知v18=0.25

由题意，（1+i）n=2解得n=9

24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：

每月底还100元，5年还清；k个月后一

次还6000元。

已知月结算名利率为12%，计算k。

解：

由题意可得方程

解得

25.已知a¬2pi=1.75，求i。

解：

由题意得

解得

100a60¬p1%=6000（1+i）−k

k=29

1−v2=1.75i

i=9.38%

26.某人得到一万元人寿保险赔付。

如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20

年

的期末年金为每年1072元。

计算年利率。

解：

27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。

已知：

在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K。

解：

由题意可得价值方程

10000=105Ka¬2p4%v3+Ka¬2p4%+10000v10

则K=10000−10000v10

105a¬2p4%v3+a¬2p4%v5=979.94

28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。

第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。

计算首次付款金额X的表达式。

解：

选取第一次还款日为比较日，有价值方程

1

P（1+i）2=X+2Xa¬4pi+2Xa¬5pj（1+i）−4

所以

P（1+i）12

X=

1+2a¬4pi+2a¬5pj（1+i）−4

29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：

每两年付款2000元，共计8次。

解：

30.计算下面十年年金的现值：

前5年每季度初支付400元，然后增为600元。

已知年利率为12%。

（缺命令）

解：

PV=4×400+4×600v5=11466.14

31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。

解：

32.给出下面年金的现值：

在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。

解：

1

（1+）24−1

=a¬−a¬

PV=s¬

a24¬piv3=

i

（1+i）

−1]

28p4p

427[（1+i）4

pi

s¬3p+s¬1p

北京大学数学科学学院金融数学系第6页

33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。

解：

设年实利率为i，则（1+2%）2=1+i。

有题意得

75750

0+s¬i=Ra30¬pi

i20pi

解得R=1114.77

34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。

解：

由题意知

解得i=20%

1=

is¬3pi

125

91

35.已知：

1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。

解：

由题意得

解得R=1.9520=

1=R

da¬2pii

36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。

试用贴现率表示递延时间。

解：

设贴现率为d，则

1+i

（2）

2

=1

（1−d）12

设递延时间为t，由题意

得10000=2×500vt¨

（2）∞¬p

1

t=

解得ln20+ln（1−（1−d）2）ln（1−d）

37.计算：

3a¬

（2）np=2a

（2）2¬np=45s¬

（2）

1p，计算i。

解：

ii

3×a¬npi=2×

a¬npi

=45×

is¬1pi

解得：

vn=1

i=

1i

（2）

。

i2i2

230

北京大学数学科学学院金融数学系第7页

38.已知i（4）=16%。

计算以下期初年金的现值：

现在开始每4个月付款1元，共12年。

（问题）

解：

39.已知：

δt=1+1t。

求¯¬np的表达式。

n

解：

¯¬p

=

∫ne−R0tδsdsdt=ln（1+n）

0

40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。

解：

第一种年金的现值为

∫vtdt=1−e−δ

1

0δ

第二种年金的现值为e−δt，则

所以t=1+1δlnδi

1−e−δδ

=e−δt

41.已知：

δ=0.08。

计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。

（结果和李凌飞的不同）

解：

设季度实利率为i。

因a（t）=eδt，则e14δ=（1+i）所以

1−v80

PV=100¨80¬pi

=100（1+i）

i=4030.53

42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。

同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？

解：

设年实利率为i，则i=eδ−1

设基金可维持t年，由两现值相等得

40000=2400a¬tpi

解得t=28

北京大学数学科学学院金融数学系第8页

43.已知某永久期末年金的金额为：

1，3，5，...。

另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。

解：

由题意：

1113

（1+i）6=（1+i）7⇒i=112

PV=v+3v2+···+（2n−1）vn+···

=v[1+PV+2（v+v2+）]

=v（1+PV+2v1−v）

解得:

PV=66

44.给出现值表达式Aa¬np+B（Da）n|所代表的年金序列。

用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：

首次100元，然后每次减少3元。

解：

年金序列：

A+nB,A+（n−1）B,.,A+2B,A+B

所求为25a25¬p+3（Da）25|

45.某期末年金（半年一次）为：

800,750,700,.,350。

已知半年结算名利率

为16％。

若记：

A=a10¬p8%，试用A表示这个年金的现值。

解：

考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：

2×（10−A）

300a10¬p8%i

（2）=6250−325A

+500（Da）10|8%=300A+

46.年利率8％的十年储蓄：

前5年每年初存入1000元，然后每年递增5％。

计算第十年底的余额。

解：

由题意：

AV=1000s¬5p8%（1+8%）6+（1000×1.05×1.085+1000×1.052×1.084+···+1000×1.055×1.08）

=100（1+8%）5−1

08%

1.086+1000×1.05×1.0

85

1.08）5

1.05

1.08

=16606.72

47.已知永久年金的方式为：

第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年

底各300元，依此类推。

证明其现值为:

v4

100

北京大学数学科学学院金融数学系i−vd第9页

解：

把年金分解成：

从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金...。

从而

PV=v410011=100v411=100v4

ia¬2ii1−v2i−vd

pi

48.十年期年金：

每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。

证明其现值为：

1600¨10¬p（I（4）¨）（4）1|元

证：

首先把一年四次的付款折到年初：

m=4,n=1,R=100m2=1600从而每年初当年的年金现值：

1600（I（4）¨）（4）元

再贴现到开始时：

1|

1600¨10¬p（I（4）¨）（4）1|元

49.从现在开始的永久年金：

首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利率8％，计算现值。

解：

半年的实利率：

j=（1+8%）12−1=3.923%

PV=1+

1.03+1.032+

1+j（1+j）2

1.03

···

=（1−1+j）−1

=112.59

50.某人为其子女提供如下的大学费用：

每年的前9个月每月初500元，共计4年。

证明当前的准备金为：

6000¨¬4p¨（12）9/12|

证：

首先把9个月的支付贴现到年初：

m=12,n=9/12,R=500m=6000从而每年初当年的年金现值：

贴现到当前：

北京大学数学科学学院金融数学系

6000¨（12）

9/12|

6000¨¬4p¨（12）9/12|第10页

51.现有如下的永久年金：

第一个k年每年底还；第二个k年每年底还2R；第三个k年每年底还3R；依此类推。

给出现值表达式。

解：

把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金（n=0,1,2,···）:

每个年金的值为

在分散在每个k年的区段里：

再按标准永久年金求现值：

Ra∞¬p

Ra∞|ak|

R（a∞|）2ak|

52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款

从第三年底开始的永久年金：

1,2,3,···的现值。

计算贴现率。

解：

由题意：

X=1

1

i1+i11

20X=（1

解得：

i=0.05i+i2）（1+i）2

即：

d=i1+i=0.04762

53.四年一次的永久年金：

首次1元，每次增加5元，v4=0.75，计算现值。

与原答案有出入

解：

（期初年金）

PV=1+6v4+11v9+···=

（期末年金）

∑∞

（5n−4）v（4n−4）=

i=1

5

（1−v4）2

−4

1−v4

=64

PV¨=v+6v5+11v10+···=v·PV

=59.5587

54.永久连续年金的年金函数为:

（1+k）t，年利率i，如果：

0

与原答案有出入

解：

由于0

PV=∫∞∫1+k）t=1

∞

（1+k）te−δtdt=（

1+idt

ln（1+i）−ln（1+k）

00

北京大学数学科学学院金融数学系第11页

55.递延一年的13年连续年金的年金函数为t2−1，利息力为（1+t）−1，计算该年金现值。

与原答案有出入

解：

PV=exp（−∫1

1dt）∫14（t2−1）exp（−∫t−1

1ds）dt=47.43

01+t101+s

56.给出下列符号的表达式:

∑n

t=1

（Ia）t|和

∑n

t=1

（Da）t|

解：

由（Ia）t|表达式有：

∑n

（Ia）t|=

ntvt

t=1

=

∑

n

¨tp¬−t

vt

i

t=1

1∑n1∑

¨¬−tp

it=1

it=1

=1∑n

i2

[（1+i）−vt−1]−

1

i（Ia）n|展开求和即得

由（Da）

=1t=1

i[n（1+i）−2¨¬np+nvn]

2

t|表达式有：

∑n

∑nt−a¬tp

t=1（Da）t|=t=1i

=1∑n∑

t−

n1−vt

it=1t=1i

=1n（n+1）−1

i2i2

i

（n−a¬np）

=2n（n+1）−n+a¬np

i2

57.现有两种永久年金：

A－金额为p的固定期末年金；B－金额为q,2q,3q,···的递增期末年金。

分别对两种年金的现值之差为0和得到极大两种情况计算年利

率。

北京大学数学科学学院金融数学系第12页

版权所有，翻版必究

PV=pa∞¬pi=p

解：

年金现值分别为：

（1）当PVA=PVB时有：

A

PVB=q（Ia）∞|

=

ip=iq+q

iqq

i+i2

解得：

i=q

p−q,p>q

i不存在,p≤q

p+q+2q=0

（2）令f（i）=pi−qi−q

i2i2i3

f0（i）=−

解得：

i=2q

p−qp>q

58.某零件的使用寿命为9年，单位售价为2元；另一种产品，使用寿命15年，单价增加X。

如果某人需要35年的使用期，假定在此期间两种产品的价格均以年增4%的幅度增加，要使两种产品无差异的X为多少？

（缺少利率?

下面的计算年利率i=5%）（与原答案有出入）

解：

用9年一周期的产品，则有支付的现值为：

PV1=2×[1+（1.0

4

1.0

5

）9+（1.0

4

1.0

5

）18+（1.0

4

1.0

5

）27]

用15年一周期的产品，则有支付的现值为：

1.04

1.04

PV2=（2+X）×[1+（

1.0）15+（1.0）30]

由PV1=PV2有：

X=0.699255

59.计算m+n年的标准期末年金的终值。

已知：

前m年年利率7%，后n年年利率11%，sm¬p7%=34,s¬np11%=128。

解：

由s¬np的表达式有：

（1+0.11）n=0.11s¬np11%+1

AV=sm¬p7%×（1+0.11）n+s¬np11%

=sm¬p7%×（0.11s¬np11%+1）+s¬np11%

=640.72

北京大学数学科学学院金融数学系第13页

60.甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。

A股票每

年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。

B股票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也

是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。

为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同，分别对n=15,20两种情况计算乙的股票出售价格。

解：

设X为买价，有价值方程：

从而有：

解得：

X=

0.4s10¬p6%+2=0.8sn−10|6%+X（1+0.06）−（n−10）X=（0.4s10¬p6%+2−0.8sn−10|6%）（1+0.06）（n−10）

5.22n=15

2.48n=20

61.某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半

年结算名利率8%结算利息。

另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐

款5000元。

（从1991年的7月开始？

）每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金。

计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。

解：

由题意：

AV=100000（1+4%）20+5000s20¬p4%−12000（1+4%）s20¬p4%=109926.021

s¬2p4%

s¬2p4%

62.已知贷款L经过N（偶数）次、每次K元还清，利率i。

如果将还贷款次数减少一半，记每次的还款为K1，试比较K1与2K的大小。

解：

由题意：

1

K1am¬pi=Ka2m¬pi⇒K1=K[1+（1+i）m]<2K

63.已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i。

如果将每次的还款额增加一倍，比较新的还款次数与N/2的大小。

解：

由题意：

N

2Ka¬

=Ka¬

⇒vM=1+v

>v2N

即：

M

Mpi

Npi

2

第14页

北京大学数学科学学院金融数学系

64.从1990年的元旦开始在每年的1月和7月的第一天存款500元，年利率6%，问：

什么时刻，余额首次超过一万元、十万元。

解：

半年实利率：

i=（1+6%）1/2−1=2.9563%余额首次超过X的时刻：

500¨2n|i≥X

8X=10000

从而解得：

n≈

35X=100000

65.帐户A从1985年元旦开始每年初存款1000元，共计10年；帐户B从1985年元旦开始每年初存款500元；两帐户年利率均为5%。

问：

何时帐户B的余额首次超过帐户A。

解：

由题意，设所求时间为n:

1000¨10¬p5%≤500¨¬np5%解得：

n−1≥30故在2015年的元旦B超过A。

66.已知A=sn|i,B=sn+1|i。

用A和B给出n和i的表达式。

解：

由=（1+i）n−1得：

（1+i）A=B−1

i

从而i=B−A−1

Aln（A

2+1）

带入sn|i=A解得：

n=

B2−A−1

ln（B−1

A）

67.分别对以下三种情况给出i的表达式:

1）A=a¬npi,B=s¬npi

2）A=a¬npi,B=a2¬npi

3）A=a¬npi,B=s2¬n