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1、热力学统计物理第九章答案热力学统计物理第九章答案【篇一：热力学统计物理 课后习题 答案】t8.4求弱简并理想费米(玻色)气体的压强公式 解：理想费米(玻色)气体的巨配分函数满足 ln?lln1?e?l l ? 在弱简并情况下： 2?v2?v3/23/22 ln?g3?2m?1/2ln1?e?ld?g3?2m?d?3/2ln1?e?l 30hh0 ? ? ? ? 2?v3/22?3/2 ?g3?2m?ln1?e?l 3?h ? ? ?0 ? 3/2 dln1?e ? ?l ? ? ? ? 2?vd?3/22 ?g3?2m?3/2?l 30he?1 与（8.2.4）式比较，可知 ln? 再由（8.

2、2.8）式，得 3/23/2 ?1n?h2?1?h2? ?nkt?1? ln?nkt?1?v2?mkt?2?mkt?42?42? ? 2 ?u 3 ?e? n?h2? ?v?2?mkt? 3/2 ?3/2 h2?n? ?e? ?v?t?2?mkt? ? n ?n v 3/23/2 ?1?n?h2?n?n?h2? ?p?ln?kt?1?nkt?1?v2?mkt?t2?mkt?t?42?42? 8.10试根据热力学公式 s?熵。 解：(8-4-10)式给出光子气体的内能为u? cv?u? dt及光子气体的热容量c?，求光子气体的v?t ?t?v ?2k4 15c3? 4vt-（1） 3 ?u4?2

3、k4)v?vt3-（2） 则可以得到光子气体的定容热容量为cv?(33?t15c?根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有 s? cv?p dt?()vdv?s0-（3） t?t 取积分路线为（0，v）至（t，v）的直线，即有 t4?2k44?2k423 s?vtdt?vt-（4） 3333?015c?45c? 其中已经取积分常量s0为零。 8.试证明一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象 1d?d? ?n(1) v?e?/ktc?1 1/2 对于一维和二维理想玻色气体，由第六章习题可知分别有： 2l?m? 一维：d?d? h?2? d? 2?l2 md? 二维：d?d?2h

4、解：0k时电子的最大能量 ?2?2n?0?3? 2m?v? 2/3 ?1.055?10?3? ? ?342?31 2 2?9.1?10 ?5.9?1028 ? 2/3 ?8.9?10?19j?5.6ev 202?8.9?10?19j6?1 最大速率 v? ?1.4?10m?s?31 m9.1?10 2n?0?2 ?5.9?1028?2/38.9?10?19?2.1?1010pa 5v5 8.15试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率。 0k时的简并压 p? ? 证明：根据式子（8-5-4），绝对零度下自由电子气体中电子动量大小的分布为 f=1p?pf f=0ppf-（1） 其中pf是费米动量，

5、即0k时电子的最大动量。因此电子的平均动量为8?v3h?8vh3 ? pf 0pf 14pf 3 ?pf-（2） 134 p2dppf 3p3dp 3p3 ?f?vf-（3） m4m4 因此电子的平均速率为? 8.20假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n试求0 k时二维电子气体的费米能量、 内能和简并压 4?l2 d?d?2md? h 所以0k时电子的最大能量由下式确定： ?0? ? 4?l2 ?n 2h h2nh2 ?0?n 2 4?ml4?m 内能 4?l2 u?0?2m h 2 ?0? ? 4?l2?2?0?1?4?ml2?212 ?0? ?d?2m?n?0?n?2?22?hn?2h

6、 对于二维电子气体，vl2 1?2?2?12222 ?l?n?n?2?n?n?xyxy?2m2m?l? ? ?v ? ?1 ?l?l?1 ?2?2nx2?ny2?v?2?vv?2m? ? 所以0k时的简并压p?al l ?u1?l ?all?n?0? ?vvv2l 8.22试根据热力学公式 s? cv ?tdt及低温下的热容量，求金属中自由电子气体的熵。 解：根据式（8-5-19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为 ?2kt -(1) cv?nk 2?(0) 根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有s? cv?p dt?()vdv?s0-(2) t?t 取积分路线为 （0

7、，v） 至 （t，v）的直线，即有 ?2nk2t?2kt -(3) s?dt?nk?02?(0)2?(0) 其中已取积分常量s0为零。 8.23试求低温下金属中自由电子气体的巨配分函数的对数，从而求电子气体的压强、内能和熵。 解：根据式（8-1-13），自由电子气体巨配分函数的对数可表达为 ln?lln1?e l ? ?l ? 4?v3/2 ?3?2m?1/2ln1?e?ld?h0 ? ? 4?v ?3 h ?2m? 3/2? ?x 1/2 ln1?e?xldx-(1) ? 其中第二步用了（6-2-17）式，第三步做了变数变化?=x 将上式的积分分为两段： 4?vln?3 h ?2m? 3/2

8、? ?x 1/2 ln1?e ? ?xl ?dx?x ? ? 1/2 ln1?e?xldx-(2) ? 在第一个积分中将对数函数改写为 ln1?e?xl?lne?xl?ln1?e?xl?(?x)?ln1?e?xl?(?x)?ln1?e? 其中 ?(?x) 。在第二个积分中作变数变换 ?x，（2）式可改写为 ? 4?v ln?3 h ? ?2m? 3/2 54 (?)?i1?i2-(3) 15 其中i1? ?ln?1?e?(?) ?l d? ? i2? ?l ln1?e(?)d?-(4) ?0 ? 在低温 ? ? ? kt ?1 的情形下， i1和i2 可近似为 ?l i1?i2?ln1?e ?

9、(?) d?(?) ? 0n?1 (?1)n?1?n? ed? n ?(?) ? n?1 ? (?1)n?2 -（5） ?(?)2 12n16?v 于是ln? 15h3 ?2m? 3/2 5?2 (?)(1?)-（6） 8?2 3/2 根据费米统计中热力学量的统计表达式可得 ?8?v?2m? ?ln?3?3h? 2 ? (?)(1?)-（7） 2 8? u? ?3ln?ln?-（8） ?2? p? 1?1 ln?ln?-（9） ?v?v ?5 ln?ln?)?k(ln?)-（10） ?2 u?k(ln? 由于在低温下 ? ? kt ?1 ，作为第一级近似可以略去式（7）中的第二项而有 3/2

10、?8?v?2m? ?ln?3?3h? (?) ?2?(0)2n即?-（11） (3?)? 2mvkt 计及（7）式的第二项，可将（7）式改写为 222 ?2?n?2n2 ?(3?)?(1?2)?(3?)?(1?) 2 2mv2mv8?12? 再将上式中第二项的 ? 用第一级近似代入，得 ? ?(0) kt 1? ?2 kt2 -（12） 12?(0) 或?(0)1? ?2 kt2 -（13） 12?(0) （13）式与（8-5-17）一致。 用式（7）除式（6），并将（12）式代入可将 ln? 表示为 ，t，?(0) 的函数 2?(0)?2kt2?2kt22?(0)5?2kt2 ln?1?1?

11、1?-(14) 5kt12?(0)2?(0)5kt12?(0) 代回式（8），（9），（10）即得 35?2kt2 u?(0)1?-(15) 512?(0)【篇二：热力学与统计物理课后答案 - 副本】ass=txt选用教材：汪志诚主编，高等教育出版社 第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数?，压强系数?和等温压缩系数kt。 1?p?1nr1? ?p?t?vpvt 金属丝的截面积。一般来说，?和y是t的函数，对仅有微弱的依赖关系。如果温度变化范围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由t1降至t2时，其张力的增加为：?ya?t2?t1?。 解：由f?l，t? ，

12、l，t?0，可得：? ?微分为：d?dl?dt，由题意可知：dl?0。 ?l?t?t?l 即：d?aydt，积分得：?-?ay(t2-t1) 1.7 在25下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为：v?18.066?0.715?10?3p?0.046?10?6p2cm3.mol?1。如果保持温度不变，将1 mol的水从1 pn加压至1000 pn，求外界所作的功。 解：将体积与压强的关系简记为：v?a?bp?cp2，求导可得：dv?b?2cp?dp 温度不变，将1 mol的水从1 pn加压至1000 pn，此过程中外界所作的功为： ?vbpb2?1?1 w?pdv?p?b?2cp?dp?

13、bp2?cp3?1000?33.1j.mol1vapa3?2? 1.1 0 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强p0时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能u与原来大气中的u0之差为u?u0?p0v0，其中v0是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。 解：假设气体冲入小匣之前的状态为（p0，v0,t0），内能是u0。气体冲入小匣后的状态为（p0，v,t），这时的内能为u；外界对气体所做的功为：p0dv0。 由热力学第一定律：?u?q?w，q?0，可得：?u?u0?p0dv0 v00 即： u?u0?p0v0 （证毕），

14、理想气体的内能： u?u0?cv?t?t0?，由物态方程：p0v0?rt0 ?du?pdv?dv?证明：cn?cv?p? （1） dt?dt?n?n?dt?n 由理想气体的物态方程 pv?rt，可得：pdv?vdp?rdt （2） 以及理想气体多方过程 pvn?c，可得：pnvn?1dv?vndp?0pndv?vdp?0（3），用（2）式减（3）式可得：pdv?pndv?rdt， rr?dv? （4），将（4）式代入（1）式可得：cn?cv? （5） ?1?n?dt?n1?np cp 1.9 试证明：理想气体在某一过程中的热容量cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n?cn?cp cn

15、?cv 。假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。 解：由热力学第一定律：du? ，对于理想气体：du?cvdt，而?pdv ， ?cndt。 代入可得：cvdt?cndt?pdv 即：?cn?cv?dt?pdv （1），理想气体的物态方程：rt?pv（2） 由（1）式和（2）式可得：(cn?cv) 将理想气体物态方程的全微分： dtdv?r（3） tvdpdvdtdt? ，代入 （3）式，消去， pvtt可得(cn?cv)dpdvc?cp?(cn?cp)?0：令：n?n pvcn?cv 即：dpdv?n?0，若cn，cp，cv都是常量，则积分得：pvn?c pv 证明了该过程是多方过程。 1

16、.17温度为0的1 kg水与温度为100的恒温热源接触后，水温达到100。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使整个系统的熵保持不变，应如何使水温从0升至100？已知水的比热容为4.18 j?g?1?k?1。 解：为了求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。其温度分布在0与100之间。令水依次从这些热源吸收热量，使水温由0升至100。在这可逆过程中，水的熵变为： 373?s水?mcpdtt273?mcpln373373?103?4.18?ln?1304.6j?k?1 273273 这一过程中水所吸收的总热量q为： q?mcp?t?1000?4.18?373?273?4.18?

17、105j 为求热源的熵变，假设热源向温度比100略低的另一热源放出热量q。在这可逆过程中，热源的熵变为：?s热源4.18?105?j?k?1?1120.6j?k?1， 373 整个系统的总熵变为：?s总?s水?s热源?184j?k?1。为使水温从0升至 100而整个系统的熵保持不变，将水逐个与温度分布在0与100之间的一系列热源接触。这一系列热源的熵变之和为： ?s热源?mcpdt373373?mcpln?1000?4.18?ln?1304.6j?k?1 273t273273373 整个系统的总熵变为：?s总?s水?s热源?0 1.18 10 a的电流通过一个25 ?的电阻器，历时1 s。（i

18、）若电阻器保持为室温27，试求电阻器的熵增加值。（ii）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27，电阻器的质量为10 g，比热容cp为0.84j?g?1?k?1，问电阻器的熵增加为何？ 解：（i）以t，p为状态参量，该过程是等压过程，如果电阻器的温度也保持为室温27不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。 （ii）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的热量q将全部被电阻器吸收使其温度由t1升为t2，即：i2rt?mcp?t2?t1?。【篇三：热力学统计物理_第四版_汪志诚_课后答案】xt1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数?。 解：已知理想气体的物态方程为 pv?nr

19、t,（1） 由此易得 ? 1?v?nr1 ?,（2） ? v?t?ppvt ? 1?p?nr1 ?,（3） ? p?t?vpvt ?t? 1?v?1?nrt?1?.（4） v?p?t?v?p2?p 1.2 证明任何一种具有两个独立参量t,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数?，根据下述积分求得： 如果?,?t? 1 t1 ，试求物态方程。 p 解：以t,p为自变量，物质的物态方程为 v?v?t,p?, 其全微分为 ?v?v? dv?dt?dp. （1） ? ?t?p?p?t 全式除以v，有 dv1?v?1?v?dt?dp. ?vv?t?pv?p?t 根据体胀系数?和等温压

20、缩系数?t的定义，可将上式改写为 1dv ?dt?tdp. （2） v 上式是以t,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 lnv?dt?tdp?.（3） 若?,?t? 1t1 ，式（3）可表为 p ?11? lnv?dt?dp?. （4） p?t 选择图示的积分路线，从(t0,p0)积分到?t,p0?，再积分到（t,p），相应地体 积由v0最终变到v，有 ln vtp =ln?ln, v0t0p0 即 pvp0v0 ， ?c（常量） tt0 或 pv? 式（5）就是由所给?,?t?实验数据。 2 （5） c. t 1t1 求得的物态方程。 确定常量c需要进一步的p1.3 在0?c和

21、1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为 ?5?1?7 ?4.85?10k和?t?7.8?10pn?1?.和?t可近似看作常量，今使铜块加热至10?c。 问： （a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少？ ?解：（a）根据1.2题式（2），有 dv ?dt?tdp. （1） v 上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dv，温度差dt和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，dp与dt的关系为 dp? ? dt. （2） ?t 在?和?t可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得 p2?p1? ? ?t?t?. （3） ?t21

22、 将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。 但是应当强调，只要初态?v,t1?和终态?v,t2?是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。 这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。 将所给数据代入，可得 4.85?10?5 p2?p1?10?622pn. ?7 7.8?10 因此，将铜块由0?c

23、加热到10?c，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn （b）1.2题式（4）可改写为 ?v ?t2?t1?t?p2?p1?. （4） v1 将所给数据代入，有 3?v ?4.85?10?5?10?7.8?10?7?100v1 ?4.07?10?4. 因此，将铜块由0?c加热至10?c，压强由1pn增加100pn，铜块体积将增加原体积的4.07?10?4倍。 1.4 简单固体和液体的体胀系数?和等温压缩系数?t数值都很小，在一定温度范围内可以把?和?t看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为 v(t,p)?v0?t0,0?1?t?t0?tp?. 解: 以t,p为状态参量，物质的物

24、态方程为 v?v?t,p?. 根据习题1.2式（2），有 dv ?dt?tdp. （1） v 将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在?和?t可以看作常量的情形下，有 ln v ?t?t0?t?p?p0?, （2） v0 或 v?t,p?v?t0,p0?e ?t?t0?t?p?p0? .（3） 考虑到?和?t的数值很小，将指数函数展开，准确到?和?t的线性项，有 v?t,p?v?t0,p0?1?t?t0?t?p?p0?. （4） 如果取p0?0，即有 v?t,p?v?t0,0?1?t?t0?tp?. （5） 1.5 描述金属丝的几何参量是长度l，力学参量是张力j，物态方程是 f?j,l,t?

25、0 实验通常在1pn下进行，其体积变化可以忽略。 线胀系数定义为 4? 1?l? l?t?j 等温杨氏模量定义为 y? l?j? a?l?t 其中a是金属丝的截面积，一般来说，?和y是t的函数，对j仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由?1降至?2时，其张力的增加为 ?j?ya?t2?t1? 解：由物态方程 f?j,l,t?0 （1） 知偏导数间存在以下关系： ?l?t?j? ?1. （2） ?t?j?j?l?l?t 所以，有 ?j?l?j? ? ?t?l?t?j?l?t a （3） ?l?y l ?ay. 积分得 ?j?ya?t2?t1?.（4） 与1.3题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差 ?j?j?l,t2?j?l,t1? 就满足式（4），与经历的过程无关。 1.6一理想弹性线的物态方程为 ?ll2?0 j?bt?2?, ?l0l? 5