热力学统计物理第九章答案.docx
《热力学统计物理第九章答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《热力学统计物理第九章答案.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
热力学统计物理第九章答案
热力学统计物理第九章答案
【篇一：
热力学统计物理课后习题答案】
t>8.4求弱简并理想费米（玻色）气体的压强公式．解：
理想费米（玻色）气体的巨配分函数满足
ln?
?
?
?
?
lln1?
e?
?
?
?
?
l
l
?
?
在弱简并情况下：
2?
v2?
v3/23/22
ln?
?
?
g3?
2m?
?
?
1/2ln1?
e?
?
?
?
?
ld?
?
?
g3?
2m?
?
?
d?
3/2ln1?
e?
?
?
?
?
l
30hh0
?
?
?
?
?
?
?
?
2?
v3/22?
3/2
?
?
g3?
2m?
?
?
?
ln1?
e?
?
?
?
?
l
3?
h
?
?
?
?
?
0
?
3/2
dln1?
e
?
?
?
?
?
?
?
l
?
?
?
?
?
2?
vd?
3/22?
?
g3?
2m?
?
?
?
3/2?
?
?
?
l
30he?
1
与（8.2.4）式比较，可知
ln?
?
再由（8.2.8）式，得
3/23/2
?
?
1n?
h2?
?
1?
h2?
?
?
?
?
?
?
?
?
nkt?
1?
?
ln?
?
?
nkt?
1?
?
?
?
?
v2?
mkt?
?
2?
mkt?
?
?
?
?
42?
?
?
42?
?
?
2
?
u3
?
e?
?
n?
h2?
?
?
?
?
v?
2?
mkt?
?
3/2
?
3/2
h2?
?
?
n?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?
?
?
?
?
v?
t?
2?
mkt?
?
n
?
nv
3/23/2
?
?
1?
n?
h2?
?
?
?
n?
n?
h2?
?
?
?
?
?
?
?
?
p?
ln?
?
kt?
1?
?
?
nkt?
1?
?
?
?
?
?
?
v2?
mkt?
t2?
mkt?
t?
?
?
?
?
?
?
42?
?
?
?
42?
?
8.10试根据热力学公式s?
熵。
解：
（8-4-10）式给出光子气体的内能为u?
cv?
?
u?
dt及光子气体的热容量c?
?
?
，求光子气体的v?
t
?
?
t?
v
?
2k4
15c3?
4vt-------
（1）3
?
u4?
2k4）v?
vt3---------
（2）则可以得到光子气体的定容热容量为cv?
（33?
t15c?
根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有
s?
?
[
cv?
p
dt?
（）vdv]?
s0----------（3）t?
t
取积分路线为（0，v）至（t，v）的直线，即有
t4?
2k44?
2k423
s?
vtdt?
vt----------------（4）3333?
015c?
45c?
其中已经取积分常量s0为零。
8.试证明一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象．
1d?
?
?
d?
?
n…
（1）
v?
e?
/ktc?
1
1/2
对于一维和二维理想玻色气体，由第六章习题可知分别有：
2l?
m?
一维：
d?
?
?
d?
?
?
?
h?
2?
?
d?
?
?
2?
l2
md?
?
?
二维：
d?
?
?
d?
?
2h
解：
0k时电子的最大能量
?
2?
2n?
?
?
0?
?
?
3?
?
2m?
v?
2/3
?
1.055?
10?
?
3?
?
?
342?
31
2
2?
9.1?
10
?
5.9?
1028
?
2/3
?
8.9?
10?
19j?
5.6ev
202?
8.9?
10?
19j6?
1
最大速率v?
?
?
1.4?
10m?
s?
31
m9.1?
10
2n?
?
0?
2
?
?
5.9?
1028?
2/38.9?
10?
19?
2.1?
1010pa
5v5
8.15试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率。
0k时的简并压p?
?
?
?
?
证明：
根据式子（8-5-4），绝对零度下自由电子气体中电子动量大小的分布为f=1p?
pf
f=0ppf-----------
（1）
其中pf是费米动量，即0k时电子的最大动量。
因此电子的平均动量为
8?
v3h?
8vh3
?
?
pf
0pf
14pf
3
?
?
pf--------------
（2）134
p2dppf
3p3dp
3p3
?
?
f?
vf---------------（3）m4m4
因此电子的平均速率为?
8.20假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n．试求0k时二维电子气体的费米能量、
内能和简并压．
4?
l2
d?
?
?
d?
?
2md?
h
所以0k时电子的最大能量由下式确定：
?
?
0?
?
4?
l2
?
?
n2h
h2nh2
?
?
?
0?
?
?
n2
4?
ml4?
m
内能
4?
l2
u?
0?
?
2m
h
2
?
?
0?
?
4?
l2?
2?
0?
1?
4?
ml2?
212
?
?
?
?
0?
?
d?
?
2m?
n?
?
0?
n?
2?
?
22?
hn?
2h
对于二维电子气体，v＝l2
1?
2?
?
?
2?
12222
?
l?
?
?
n?
n?
2?
?
n?
n?
?
xyxy?
2m2m?
l?
?
?
?
?
?
?
?
?
v
?
?
1
?
l?
?
l?
1
?
2?
?
?
2nx2?
ny2?
?
?
v?
2?
?
?
?
?
vv?
2m?
?
?
所以0k时的简并压p?
?
?
al
l
?
u1?
?
l
?
?
all?
?
n?
?
0?
?
vvv2l
8.22试根据热力学公式s?
cv
?
tdt及低温下的热容量，求金属中自由电子气体的熵。
解：
根据式（8-5-19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为
?
2kt
--------------
（1）cv?
nk
2?
（0）
根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有
s?
?
[
cv?
p
dt?
（）vdv]?
s0-----------
（2）t?
t
取积分路线为（0，v）至（t，v）的直线，即有
?
2nk2t?
2kt
-------------（3）s?
dt?
nk?
02?
（0）2?
（0）
其中已取积分常量s0为零。
8.23试求低温下金属中自由电子气体的巨配分函数的对数，从而求电子气体的压强、内能和熵。
解：
根据式（8-1-13），自由电子气体巨配分函数的对数可表达为
ln?
?
?
?
lln1?
e
l
?
?
?
?
?
?
l
?
4?
v3/2
?
3?
2m?
?
?
1/2ln1?
e?
?
?
?
?
ld?
h0
?
?
?
?
4?
v
?
3
h
?
2m?
?
?
?
?
?
?
?
3/2?
?
?
x
1/2
ln1?
e?
?
?
xldx----------------
（1）
?
?
其中第二步用了（6-2-17）式，第三步做了变数变化?
?
=x
将上式的积分分为两段：
4?
vln?
?
3
h
?
2m?
?
?
?
?
?
?
?
3/2?
?
[?
x
1/2
ln1?
e
?
?
?
?
xl
?
dx?
?
x
?
?
?
?
1/2
ln1?
e?
?
?
xldx]---------------
（2）
?
?
在第一个积分中将对数函数改写为
ln1?
e?
?
?
xl?
lne?
?
?
xl?
ln1?
e?
?
xl?
?
（?
?
x）?
ln1?
e?
?
xl?
?
（?
?
x）?
ln1?
e?
?
其中?
?
?
（?
?
x）。
在第二个积分中作变数变换?
?
?
?
x，
（2）式可改写为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4?
v
ln?
?
3
h
?
?
?
2m?
?
?
?
?
?
?
?
3/2
54
[（?
?
）?
i1?
i2]---------------（3）15
其中i1?
?
ln?
1?
e?
（?
?
?
?
）
?
?
l
d?
?
?
i2?
?
?
l
ln1?
e（?
?
?
?
）d?
------------------（4）?
0
?
?
在低温?
?
?
?
?
?
kt
?
?
1的情形下，i1和i2可近似为
?
?
l
i1?
i2?
?
ln1?
e
?
?
（?
?
）
d?
?
（?
?
）
?
?
?
?
?
0n?
1
（?
1）n?
1?
n?
ed?
n
?
（?
?
）
?
n?
1
?
（?
1）n?
2
----------------（5）?
（?
?
）2
12n
16?
v
于是ln?
?
15h3
?
2m?
?
?
?
?
?
?
?
3/2
5?
2
（?
?
）（1?
）-------------（6）
8?
2
3/2
根据费米统计中热力学量的统计表达式可得
?
8?
v?
2m?
?
?
?
?
ln?
?
3?
?
?
3h?
?
?
?
2
?
（?
?
）（1?
）-------------（7）2
8?
u?
?
?
3ln?
?
ln?
-------------（8）?
?
2?
p?
1?
1
ln?
?
ln?
-------------（9）?
?
v?
v
?
?
5
ln?
?
?
ln?
）?
k（ln?
?
?
）------------（10）?
?
?
?
2
u?
k（ln?
?
?
由于在低温下?
?
?
?
kt
?
?
1，作为第一级近似可以略去式（7）中的第二项而有
3/2
?
8?
v?
2m?
?
?
?
?
ln?
?
3?
?
?
3h?
?
?
?
（?
?
）
?
2?
（0）2n即?
?
?
------------------（11）（3?
）?
?
2mvkt
计及（7）式的第二项，可将（7）式改写为
222
?
2?
?
n?
?
2n2
?
?
?
（3?
）?
（1?
2）?
（3?
）?
（1?
）2
2mv2mv8?
12?
再将上式中第二项的?
?
用第一级近似代入，得
?
?
?
?
（0）
kt
{1?
?
2
kt2
]}------------------（12）
12?
（0）[
[
或?
?
?
（0）{1?
?
2
kt2
]}------------------（13）
12?
（0）
（13）式与（8-5-17）一致。
用式（7）除式（6），并将（12）式代入可将ln?
表示为，t，?
（0）的函数
2?
（0）?
2kt2?
2kt22?
（0）5?
2kt2ln?
?
{1?
[]}{1?
[]}?
{1?
[]}-（14）
5kt12?
（0）2?
（0）5kt12?
（0）
代回式（8），（9），（10）即得
35?
2kt2
u?
（0）{1?
[]}----------------（15）
512?
（0）
【篇二：
热力学与统计物理课后答案-副本】
ass=txt>选用教材：
汪志诚主编，高等教育出版社
第一章热力学的基本规律
1.1试求理想气体的体胀系数?
，压强系数?
和等温压缩系数kt。
1?
?
p?
1nr1?
?
?
?
p?
?
t?
vpvt
金属丝的截面积。
一般来说，?
和y是t的函数，对￡仅有微弱的依赖关系。
如果温度变化范围不大，可以看作常量。
假设金属丝两端固定。
试证明，当温度由t1降至t2时，其张力的增加为：
?
￡?
?
ya?
?
t2?
t1?
。
解：
由f?
￡?
l，t?
，l，t?
?
0，可得：
￡?
￡
?
?
￡?
?
?
￡?
微分为：
d￡?
?
?
dl?
?
?
dt，由题意可知：
dl?
0。
?
?
l?
t?
?
t?
l
即：
d￡?
?
?
aydt，积分得：
?
￡?
-?
ay（t2-t1）
1.7在25℃下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积为：
v?
18.066?
0.715?
10?
3p?
0.046?
10?
6p2cm3.mol?
1。
如果保持温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn，求外界所作的功。
解：
将体积与压强的关系简记为：
v?
a?
bp?
cp2，求导可得：
dv?
?
b?
2cp?
dp温度不变，将1mol的水从1pn加压至1000pn，此过程中外界所作的功为：
?
?
vbpb2?
1?
?
1w?
?
?
pdv?
?
?
p?
b?
2cp?
dp?
?
?
bp2?
cp3?
1000?
33.1j.mol1vapa3?
2?
1.10抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。
当压强达到外界压强p0时将活门关上。
试证明：
小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能u与原来大气中的u0之差为u?
u0?
p0v0，其中v0是它原来在大气中的体积。
若气体是理想气体，求它的温度和体积。
解：
假设气体冲入小匣之前的状态为（p0，v0,t0），内能是u0。
气体冲入小匣后的状态为（p0，v,t），这时的内能为u；外界对气体所做的功为：
p0dv0。
由热力学第一定律：
?
u?
q?
w，q?
0，可得：
?
u?
u0?
?
?
?
p0dv0v00
即：
u?
u0?
p0v0（证毕），
理想气体的内能：
u?
u0?
?
cv?
t?
t0?
，由物态方程：
p0v0?
?
rt0
?
?
?
du?
pdv?
?
dv?
证明：
cn?
?
?
?
?
?
?
cv?
?
p?
（1）dt?
dt?
n?
?
n?
dt?
n
由理想气体的物态方程pv?
rt，可得：
pdv?
vdp?
rdt
（2）
以及理想气体多方过程pvn?
c，可得：
pnvn?
1dv?
vndp?
0
pndv?
vdp?
0（3），用
（2）式减（3）式可得：
pdv?
pndv?
rdt，
rr?
dv?
（4），将（4）式代入
（1）式可得：
cn?
cv?
（5）?
?
?
1?
n?
dt?
n1?
np
cp
1.9试证明：
理想气体在某一过程中的热容量cn如果是常数，该过程一定是多方过程，多方指数n?
cn?
cp
cn?
cv。
假设气体的定压热容量和定容热容量是常量。
解：
由热力学第一定律：
du?
?
，对于理想气体：
du?
cvdt，而?
?
pdv，?
cndt。
代入可得：
cvdt?
cndt?
pdv
即：
?
cn?
cv?
dt?
pdv
（1），理想气体的物态方程：
rt?
pv
（2）由
（1）式和
（2）式可得：
（cn?
cv）
将理想气体物态方程的全微分：
dtdv?
r（3）tvdpdvdtdt?
?
，代入（3）式，消去，pvtt可得（cn?
cv）dpdvc?
cp?
（cn?
cp）?
0：
令：
n?
npvcn?
cv
即：
dpdv?
n?
0，若cn，cp，cv都是常量，则积分得：
pvn?
cpv
证明了该过程是多方过程。
1.17温度为0℃的1kg水与温度为100℃的恒温热源接触后，水温达到100℃。
试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。
欲使整个系统的熵保持不变，应如何使水温从0℃升至100℃？
已知水的比热容为4.18j?
g?
1?
k?
1。
解：
为了求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源。
其温度分布在0℃
与100℃之间。
令水依次从这些热源吸收热量，使水温由0℃升至100℃。
在这可逆过程中，水的熵变为：
373?
s水?
?
mcpdtt273?
mcpln373373?
103?
4.18?
ln?
1304.6j?
k?
1273273
这一过程中水所吸收的总热量q为：
q?
mcp?
t?
1000?
4.18?
?
373?
273?
?
4.18?
105j
为求热源的熵变，假设热源向温度比100℃略低的另一热源放出热量q。
在这可逆过程中，热源的熵变为：
?
s热源4.18?
105?
?
j?
k?
1?
?
1120.6j?
k?
1，373
整个系统的总熵变为：
?
s总?
?
s水?
?
s热源?
184j?
k?
1。
为使水温从0℃升至
100℃而整个系统的熵保持不变，将水逐个与温度分布在0℃与100℃之间的一系列热源接触。
这一系列热源的熵变之和为：
?
s热源?
?
?
mcpdt373373?
?
mcpln?
?
1000?
4.18?
ln?
?
1304.6j?
k?
1273t273273373
整个系统的总熵变为：
?
s总?
?
s水?
?
s热源?
0
1.1810a的电流通过一个25?
的电阻器，历时1s。
（i）若电阻器保持为室温27℃，试求电阻器的熵增加值。
（ii）若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为27℃，电阻器的质量为10g，比热容cp为0.84j?
g?
1?
k?
1，问电阻器的熵增加为何？
解：
（i）以t，p为状态参量，该过程是等压过程，如果电阻器的温度也保持为室温27℃不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。
（ii）如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的热量q将全部被电阻器吸收使其温度由t1升为t2，即：
i2rt?
mcp?
t2?
t1?
。
【篇三：
热力学统计物理_第四版_汪志诚_课后答案】
xt>1.1试求理想气体的体胀系数?
压强系数?
和等温压缩系数?
?
。
解：
已知理想气体的物态方程为
pv?
nrt,
（1）
由此易得
?
?
1?
?
v?
nr1
?
?
（2）?
?
v?
?
t?
ppvt
?
?
1?
?
p?
nr1
?
?
（3）?
?
p?
?
t?
vpvt
?
t?
?
1?
?
v?
?
1?
?
nrt?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.（4）v?
?
p?
t?
v?
?
p2?
p
1.2证明任何一种具有两个独立参量t,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?
及等温压缩系数?
?
，根据下述积分求得：
如果?
?
?
t?
1
t1
，试求物态方程。
p
解：
以t,p为自变量，物质的物态方程为
v?
v?
t,p?
其全微分为
?
?
v?
?
?
v?
dv?
?
dt?
?
?
dp.
（1）?
?
t?
p?
?
p?
?
t
全式除以v，有
dv1?
?
v?
1?
?
v?
?
?
dt?
?
?
dp.?
vv?
?
t?
pv?
?
p?
t
根据体胀系数?
和等温压缩系数?
t的定义，可将上式改写为
1
dv
?
?
dt?
?
tdp.
（2）v
上式是以t,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有
lnv?
?
?
?
dt?
?
tdp?
.（3）
若?
?
?
t?
1t1
，式（3）可表为p
?
11?
lnv?
?
?
dt?
dp?
.（4）
p?
?
t
选择图示的积分路线，从（t0,p0）积分到?
t,p0?
，再积分到（t,p），相应地体
积由v0最终变到v，有
ln
vtp
=ln?
ln,v0t0p0
即
pvp0v0
，?
?
c（常量）
tt0
或
pv?
式（5）就是由所给?
?
?
t?
实验数据。
2
（5）c.t
1t1
求得的物态方程。
确定常量c需要进一步的p
1.3在0?
c和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为
?
5?
1?
7
?
?
4.85?
10k和?
t?
7.8?
10pn?
1?
.和?
t可近似看作常量，今使铜块加热至10?
c。
问：
（a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变？
（b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少？
?
解：
（a）根据1.2题式
（2），有
dv
?
?
dt?
?
tdp.
（1）v
上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dv，温度差dt和压强差dp之间的关系。
如果系统的体积不变，dp与dt的关系为
dp?
?
dt.
（2）?
t
在?
和?
t可以看作常量的情形下，将式
（2）积分可得
p2?
p1?
?
?
t?
t?
.（3）?
t21
将式
（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。
但是应当强调，只要初态?
v,t1?
和终态?
v,t2?
是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。
这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。
本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。
在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。
将所给数据代入，可得
4.85?
10?
5
p2?
p1?
?
10?
622pn.?
7
7.8?
10
因此，将铜块由0?
c加热到10?
c，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn
（b）1.2题式（4）可改写为
?
v
?
?
?
t2?
t1?
?
?
t?
p2?
p1?
.（4）v1
将所给数据代入，有
3
?
v
?
4.85?
10?
5?
10?
7.8?
10?
7?
100v1?
4.07?
10?
4.
因此，将铜块由0?
c加热至10?
c，压强由1pn增加100pn，铜块体积将增加原体积的4.07?
10?
4倍。
1.4简单固体和液体的体胀系数?
和等温压缩系数?
t数值都很小，在一定温度范围内可以把?
和?
t看作常量.试证明简单固体和液体的物态方程可近似为
v（t,p）?
v0?
t0,0?
?
?
1?
?
?
t?
t0?
?
?
tp?
?
.
解:
以t,p为状态参量，物质的物态方程为
v?
v?
t,p?
.
根据习题1.2式
（2），有
dv
?
?
dt?
?
tdp.
（1）v
将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在?
和?
t可以看作常量的情形下，有
ln
v
?
?
?
t?
t0?
?
?
t?
p?
p0?
（2）v0
或
v?
t,p?
?
v?
t0,p0?
e
?
?
t?
t0?
?
?
t?
p?
p0?
.（3）
考虑到?
和?
t的数值很小，将指数函数展开，准确到?
和?
t的线性项，有
v?
t,p?
?
v?
t0,p0?
?
?
1?
?
?
t?
t0?
?
?
t?
p?
p0?
?
?
.（4）
如果取p0?
0，即有
v?
t,p?
?
v?
t0,0?
?
?
1?
?
?
t?
t0?
?
?
tp?
?
.（5）
1.5描述金属丝的几何参量是长度l，力学参量是张力j，物态方程是
f?
j,l,t?
?
0
实验通常在1pn下进行，其体积变化可以忽略。
线胀系数定义为
4
?
?
1?
?
l?
?
?
l?
?
t?
j
等温杨氏模量定义为
y?
l?
?
j?
?
?
a?
?
l?
t
其中a是金属丝的截面积，一般来说，?
和y是t的函数，对j仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。
试证明，当温度由?
1降至?
2时，其张力的增加为
?
j?
?
ya?
?
t2?
t1?
解：
由物态方程
f?
j,l,t?
?
0
（1）
知偏导数间存在以下关系：
?
?
l?
?
?
t?
?
?
j?
?
?
?
?
?
?
?
?
1.
（2）?
t?
j?
?
j?
?
l?
?
l?
t
所以，有
?
?
j?
?
?
l?
?
?
j?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t?
l?
?
t?
j?
?
l?
t
a
（3）?
?
l?
?
y
l
?
?
?
ay.
积分得
?
j?
?
ya?
?
t2?
t1?
.（4）
与1.3题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差
?
j?
j?
l,t2?
?
j?
l,t1?
就满足式（4），与经历的过程无关。
1.6一理想弹性线的物态方程为
?
ll2?
0
j?
bt?
?
2?
?
l0l?
5
升级会员 